Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Производная функции и ее применение в инженерном вузе. Учебное пособие.pdf
Решение. Найдем производную:
∈
≠
3
у ' =(х
Следовательно, функция возрастает при х
+2х) '=3х2+2>0.
(-∞;+∞).
4.2. Точки максимума и минимума функций
Рассмотрим функцию y=f(x), определенную в некоторой
окрестности точки х
Определение. Точка х
.
0
называется точкой максимума
0
функции y=f(x), если существует такая окрестность точки х
для всех
f(x) < f(x
xx ≠ из этой окрестности выполняется неравенство
0
), т.е. f(x0) – наибольшее среди значений функции в
0
этой окрестности (рис.14).
, что
0
Рис. 14
Точка х
если существует такая окрестность точки х
называется точкой минимума функции y=f(x),
0
, что для всех 0xx
0
из этой окрестности выполняется неравенство f(x)> f(x
f(x
) – наименьшее среди значений функции в этой окрестности
0
(рис.15).
), т.е.
0
41
Рис. 15
Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума этой функции.
Одна и та же функция может иметь несколько точек максимума и минимума с различными значениями функции в них.
Рис.16
Так у функции, график которой изображен на рисунке 16,
х
и х3 – точки максимума, х2 и х4 – точки минимума. Заметим, что
1
значение функции в точке минимума х
ции в точке максимума х
42
.
1
больше значения функ-
4
Теорема. Необходимый признак экстремума.
Пусть х
– точка экстремума функции y= f(x). Тогда про-
0
изводная в этой точке равна нулю или не существует.
Доказательство. Пусть х
– точка экстремума и пусть в
0
этой точке существует производная. Так как на некотором интервале, содержащем х
, значение f(x0) – наибольшее или наимень-
0
шее среди значений, принимаемых на этом интервале, то по теореме Ферма f '(x
)=0.
0
Геометрический смысл теоремы.
Если в точке экстремума х
существует производная, то
0
касательная, проведенная к графику функции в точке
М
(х0, f(x0)), параллельна оси ОХ (cм. рис.17).
0
Рис. 17
Примером функции, не имеющей производной в точке
экстремума, является функция у=|х|, которая в точке х=0 имеет
минимум и не имеет производной (см. рис. 18).
Доказанное условие экстремума является необходимым,
но не является достаточным.
Например, функция у=х
2
у'=3х
=0, но не имеет в этой точке экстремума.
3
в точке х=0 имеет производную
43
Рис. 18
Определение. Точка х
называется критической для
0
функции у=f(x), если функция определена в некоторой окрестности этой точки, а производная в этой точке равна нулю или не
существует.
Вопрос о наличии экстремума в критических точках решается с помощью достаточных условий экстремума.
Теорема. Первый достаточный признак экстремума.
Пусть функция f(x) непрерывна в критической точке х0 и
дифференцируема в некоторой окрестности точки х
может, самой точки х
). Тогда, если при переходе через точку х0
0
слева направо производная f '(x) меняет знак, то х
(кроме, быть
0
является точ-
0
кой экстремума.
Если при переходе через точку х
водная меняет знак с плюса на минус, то х
слева направо произ-
0
– точка максимума
0
функции.
Если же при переходе через точку х
водная меняет знак с минуса на плюс, то х
Доказательство
. Рассмотрим δ-окрестность точки х
слева направо произ-
0
– точка минимума.
0
0
Пусть выполняются условия:
f '(x) > 0 V
x ∈ (x
– δ, x0) и f '(x) < 0 V x ∈ (x0, x0 + δ).
0
.
44
Тогда по достаточному признаку возрастания и убывания
функция f(x) возрастает на интервале (х
интервале (х
, х0 + δ) (рис.19). На рисунке стрелка, идущая вверх,
0
– δ, х0) и убывает на
0
означает возрастание функции на интервале, а стрелка, идущая
вниз, означает убывание функции.
Рис. 19
Участок возрастания непрерывной функции сменился участком
убывания, следовательно, х
– точка максимума (рис. 20) .
0
Рис. 20
Аналогично теорема доказывается для случая, когда f´(x) < 0 V
x
∈ (x
– δ, x
0
) и f´(x) > 0 V x ∈(x
0
, x0 + δ) (рис. 21).
0
Замечание. Если при переходе через критическую точку
производная не меняет знака, то экстремума в этой точке нет.
45
Рис. 21
Пример 2. Найти интервалы монотонности и точки экс-
тремума функции y = x
Решение. Находим производную
2
y'=3x
– 3=3(x2 – 1)=3(x – 1)(x + 1).
3
– 3x + 2.
Находим критические точки. Производная равна нулю при
х
= - 1 и х2= +1. Критические точки разбивают ось ОХ на три
1
интервала ( - ∞; - 1), (- 1; 1), (1; + ∞). Отметим на рисунке 22 знаки производной на каждом интервале.
Рис. 22
Следовательно, х1= -1 – точка максимума, f(-1)=4. Критическая точка х
=1 – точка минимума, f(1)=0. Функция возрас-
2
тает на интервалах ( - ∞; - 1) и (1; + ∞); убывает на интервале
( -1; 1). График функции изображён на рис. 23.
46
Пример 3. Найти интервалы монотонности и точки экс-
∈
тремума функции
Рис. 23
y = 1 –
3
Решение. Функция определена при х
2
()
.1
x −
( - ∞; + ∞).
Находим производную
1
y' =
2
3
−
3
)1(
−− x
=
3
.
132−−x
Находим критические точки. Производная не существует
при х = 1. Критическая точка х = 1 разбивает ось ОХ на два интервала ( - ∞; 1) и ( 1; + ∞). Отметим на рисунке 24 знаки производной на каждом интервале.
Рис. 24
Следовательно, х = 1 – точка максимума, f(1) = 1. Функция возрастает на интервале ( - ∞; 1); убывает на интервале (1; +
∞). График функции изображен на рис. 25.
47
<′′
−
′
′
−
′
′
=
−
=
=
−
<−=−′
′
=
′
=
Рис. 25
Теорема. Второй достаточный признак экстремума.
Рассмотрим функцию ),(xfy = определенную в некоторой
окрестности точки .
вторую производную. Если
ка максимума функции. Если ,0)(,0)(
x Пусть функция )(xf имеет в точке 0x
0
′
=
′
=
,0)(,0)(
xfxf то
00
>
xfxf то
00
x точ-
0
x
0
точка минимума функции ).(xf
Заметим, что 0)(
=
xf может быть как в точках, где экс-
0
тремума нет, так и в точках экстремума. Например, для функ-
3
ции
xy = в точке 0
2
′
′′
==
минимума, но также .012,04
x экстремума нет, хотя в этой точке
;06,03
==
xyxy а для функции 4xy = точка
23
′
′′
==
==
xyxy В этом случае ис-
0x точка
следование нужно вести с помощью первого достаточного признака экстремума.
Исследуем вторым способом на экстремум функ-
3
цию 23
Находим вторую производную
являются .1,1
x точка максимума функции. Так как ,0)1(
f то 1
−−= 1
1
′′
+−= xxy (пример 2). Первая производная
2
y'=3x
– 3=3(x2 – 1)=3(x – 1)(x + 1).
′′
.6xy =
Критическими точками
= xx Так как ,06)1(,0)1(
21
,06)1( >=
x - точка минимума функции.
2
′
=−
ff то
f
48
Функцию
=
3
2
)1(1 −−= xy (пример 3) нельзя исследовать
на экстремум по второму достаточному признаку, так как ее про-
изводная
′
−=
y не существует в критической точке .1
3
132−
x
x
4.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a,b], тогда
она достигает своего наибольшего значения и своего наименьшего значения на этом отрезке. Эти значения функция может принять либо в точках экстремума, либо на концах отрезка [a,b].
Получаем следующее правило нахождения наибольшего и
наименьшего значений функции на отрезке [a,b]:
найти критические точки функции на отрезке [a,b];
1)
2)
вычислить значения функции во всех критических точках
и на концах отрезка, т.е. в точках х = а и х = b;
из всех вычисленных значений функции выбрать наи-
3)
большее М и наименьшее m.
На рис. 26 наибольшее значение функции M = f(x
ется в точке максимума х
, а наименьшее значение m = f(b) дос-
0
) достига-
0
тигается на правом конце отрезка.
Рис. 26
49
Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значения
x
x
функции
f(x) = 3x
Решение. Находим производную:
4
– 4x3 – 2 на отрезке [-1;2].
y' = (3x
4
– 4x3 – 2)' = 12x3 – 12x2 = 12x2(x – 1).
Находим критические точки. Производная равна нулю
при х
= 0 и х2 = 1. Обе критических точки лежат на отрезке
1
[-1;2]. Находим значения функции в критических точках и на
концах отрезка:
f(0) = - 2, f(1) = 3
f(-1) = 3
f(2) = 3
(-1)4 – 4 (-1)3 – 2 = 5,
24 – 4 23 – 2 = 14.
14 – 4 13 – 2 = -3,
Итак, наибольшее значение функции M = f(2) = 14, наименьшее значение функции m = f(1) = -3.
Пример 5. Из квадратного листа жести со стороной a ,
вырезая по углам равные квадраты и сгибая края, составляют открытую коробку. Как получить коробку наибольшей вместимости?
Решение.
Обозначим через
– сторону вырезаемых квадратов, через y –
объём коробки (рис. 27).
Рис. 27
Тогда y = x( a – 2x)2. Задача свелась к нахождению наиболь-
шего значения функции y = f(
) на отрезке [0;
а
].
2
Находим производную
50