Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Производная функции и ее применение в инженерном вузе. Учебное пособие.pdf
x
AT
Δ
tgα = ,
AT
= отсюда получим AT = tgα·Δx.
AM
Согласно геометрическому смыслу производной,
tgα = f '(x). Поэтому
AT = f '(x) ·Δx = dy.
Итак, дифференциал функции y = f(x) в точке x равен при-
ращению ординаты касательной к графику функции в точке
M(x, f(x)), когда аргумент x получит приращение Δx. В этом и
состоит геометрический смысл дифференциала функции.
2.3. Основные свойства дифференциалов
. Дифференциал постоянной равен нулю:
Свойство 1
dc = 0.
Действительно, по формуле (11) имеем:
dc = c'dx = 0·dx = 0.
Свойство 2. Постоянное число можно выносить за знак
дифференциала:
d(cu) = cdu.
Действительно, по формуле (11) имеем:
d(cu) = (cu)'dx = c·u'dx = cdu.
Свойство 3. Дифференциал суммы дифференцируемых
функций равен сумме дифференциалов:
d(u + v) = du + dv.
Действительно,
d(u + v) = (u + v)'dx = u'dx + v'dx = du + dv.
Свойство 4. Дифференциал произведения дифференци-
руемых функций находится по формуле:
d(uv) = udv + vdu
Свойство 5. Дифференциал частного дифференцируемых
функций находится по формуле:
−
Свойство 6
u
⎞
⎛
=
d
⎟
⎜
v
⎠
⎝
udvvdu
).0(2≠
v
v
. Инвариантность формы дифференциала.
Рассмотрим дифференцируемые функции u = u(x), y = f(u).
Тогда дифференциал сложной функции y = f(u(x)) находится по
формуле:
dy = f '(u)du. (12)
31
Если сравним формулу (12) с формулой (11), то получим,
что дифференциал имеет неизменную (инвариантную) форму относительно аргумента. Действительно, по формуле производной
сложной функции имеем:
dy = (f(u(x)))'dx = f '(u) ·u'(x)dx = f '(u)du,
т.к. du = u'(x)dx.
Пример 4. Найти дифференциал сложной функции
xy sin= .
Решение. По формуле (12) имеем:
.,coscossin)(sin xu где xdxduuudxd =⋅=⋅==
2.4. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Приращение Δy функции y = f(x),дифференцируемой в
точке ,
x можно представить в виде (10):
0
Δy = f '(x)·Δx + α·Δx = dy + α·Δx, где α →0 при Δx→0.
Отбрасывая бесконечно малую α·Δx , которая имеет более высокий порядок малости, чем Δx, получаем приближённое равенство
Δy ≈ dy,
причём это равенство тем точнее, чем меньше Δx.
Так как Δy = f(x
+ Δx) – f(x0) = f(x) - f(x0) и dy = f '(x0)Δx, то мож-
0
но записать
f(x) – f(x
) ≈ f '(x0)·Δx, или
0
f(x) ≈ f(x0) + f '(x0) ·Δx, где Δx = x – x0. (13)
Эта формула используется для приближенного вычисления значений функций.
Пример 5. Вычислить приближённо ln0,95.
Решение. Рассмотрим функцию f(x) = lnx.
По формуле (13) имеем:
lnx ≈ lnx
0
+
Пусть x = 0,95, x
ln0,95 ≈ ln1 +
1
xxΔ⋅
0
= 1. Тогда Δx = x – x0 = - 0,05.
0
1
()
, т.к.
()
lnxx =
05,0
−⋅
= - 0,05.
1
′
.
1
Пример 6. Вычислить приближённо arctg1,04.
32
Решение. Рассмотрим функцию f(x) = arctgx.
x
π
Её производная f '(x) =
1
.
2
1
+
По формуле (13) имеем:
arctgx ≈ arctgx
Пусть x = 1,04, x
= 1, Δx = x – x0 = 0,04.
0
Тогда arctg1,04 ≈ arctg1 +
+ .
0
04,0
=
11
+
4
1
+ 0,02 ≈ 0,805.
xxΔ⋅+
2
0
1
§3. СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
Важную роль в математическом анализе играют следующие
теоремы о дифференцируемых функциях.
3.1. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа
Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [a,b] и в некоторой точке с, лежащей между точками а и b, (а < с < b),
принимает свое наибольшее или наименьшее значение. Если в
точке с существует производная, то она равна нулю:
f '(c)=0.
Геометрический смысл теоремы
Теорема Ферма
Построим график функции f(x). Пусть, например, f (c) –
наибольшее значение функции на отрезке [a,b] и функция диф-
ференцируема в точке с (см. рис. 9). Тогда в точке М(с, f(c)) существует касательная к графику функции. Пусть α – угол наклона
касательной к оси ОХ. Воспользуемся геометрическим смыслом
производной:
f ' (c)=tg α=0.
Следовательно, угол α=0. То есть ка
сательная к графику в
точке М(с, f(c)) параллельна оси абсцисс.
33
Рис. 9
≤
≤
≤
≤
−
x
<
Δ
x
Δ
Δ
x
<
Δ
=
′
Доказательство. Пусть для определенности в точке c
функция )( xf принимает наибольшее значение, т.е. )()( cfxf
для всех
Δ+=Δ cfxcfy Отсюда следует, что 0≤
Тогда приращение функции
.bxa
.0)()(
y
при ,0>Δx
ΔΔx
Δ
y
0≥
при .0
x По определению производной
Δ
Δ
′
=
cf
y
0lim)(
≤
0
→Δ
x
Δ
Следовательно, .0)(
при ,0>Δx 0lim)(
cf
′
=
cf
y
≥
0
→Δ
x
при .0
x
Теорема Ролля
Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема в интервале (a,b) и на концах отрезка принимает равные значения f(a)=f(b), то внутри отрезка найдется такая точка
∈ (а, b), что f '(c)=0.
с
34
Геометрический смысл теоремы
M
[
=
При выполнении условий теоремы внутри отрезка найдется точка с, что касательная к графику функции в точке
М(с, f(c)) параллельна оси ОХ. Очевидно, таких точек может быть
несколько (рис.10).
Доказательство. Так как функция )(xf непрерывна на отрез-
[]
ке
ba,, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего
значения
Если
водная 0)( =′xf в любой точке отрезка.
Если
принимает в некоторой точке
концах отрезка значения функции равны: ).()( bfaf
случае, по теореме Ферма .0)( =′cf
и наименьшего значения .m
,mM = то функция )( xf постоянна на
,mM > тогда хотя бы одно из этих значений функция
Рис. 10
c , .bca<< Действительно, на
]
ba, и ее произ-
В таком
35
Теорема Лагранжа
C
Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема в интервале (а,b), то внутри отрезка найдется такая
точка с
∈(а,b),что справедливо равенство:
f(b)-f(a)=f '(c) (b-a). (14)
Геометрический смысл теоремы
Рассмотрим график функции y=f(x), определенной на отрезке [a,b], и точки А(а, f(a)) и В(b, f(b)) графика. Построим
секущую АВ (cм. рис.11) Запишем формулу (14) в виде:
)()(
afbf
−
ab
−
Отношение
′
).(
cf
=
afbf−− )()(
BC
=
ab
A
==ϕtg
;
K
АВ
где φ – угол наклона секущей АВ к оси ОХ,
- угловой коэффициент секущей АВ.
К
АВ
f '
(с) = К
ку функции в точке М(с,f(с)). Таким образом, К
– угловой коэффициент касательной к графи-
кас.
= К
АВ
, т.е. се-
кас.
кущая АВ параллельна касательной.
Рис. 11
Теорема Лагранжа утверждает, что на графике функции
y=f(x) между точками А и В найдется такая точка М, в которой
касательная параллельна секущей АВ.
36
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
λ
=
=
−=−=
λ
λ
′
⋅−′
=
λ
=
ϕ
=
ϕ
.)()( xxfxF
−=
Подберем λ так, чтобы
чим
−
afbf
afbfab
удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: она непрерывна на
отрезке
ность функций, непрерывных на
′
′
0
⎡
⎢
0
⎣
менении производных.
ловия:
стности точки х
причем φ(х) ≠ 0 и φ'(х) ≠ 0 в указанной окрестности;
или ∞ :
[]
ba, и дифференцируема на интервале ),( ba как раз-
),( ba , на концах отрезка принимает равные значения
).()( bFaF = На основании теоремы Ролля найдется такая точка
,, bcac << что .0)( =
′
=
)(
cf
=
Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида
∞
⎤
⎡
и
⎥
⎢
∞
⎦
⎣
Теорема.
Пусть для функций f(x) и φ(х) выполнены следующие ус-
а) они определены и дифференцируемы в некоторой окре-
б) функции f(x) и φ(х) при х→х
0)(
lim
=−
λ
)()(
afbf
−
−
⎤
при вычислении пределов, который основан на при-
⎥
⎦
.
ab
за исключением, быть может, самой точки х
0
)(
=−=−
),()(
λλλ
cF Но ,1)()(
′
)()()( =
−
cfcfcF
3.2. Правило Лопиталя
lim
→→
xxxx
00
−
−
ab
=
xxf
)()(
.
−
Тогда функция )(xF
ab
[]
ba, и дифференцируемых на
′
)()(
afbf
.0
Следовательно,
совместно стремятся к 0
0
xfxF поэтому
).()( bFaF
Полу-
).()()()( bFbbfaafaF
Отсюда
0
,
или =
lim
)(
lim
→→
)(
xxf
xxxx
00
;∞
37
в) существует (конечный или бесконечный) предел отно-
′
x
′
шения производных:
xf
)(
.
lim
→
ϕ
xx
0
′
)(
x
Тогда существует и предел отношения функций, равный
пределу отношения производных:
lim
→
xf
)(
=
lim
)(
x
ϕ
xx
0
′
xf
)(
.
(15)
′
)(
x
ϕ
→
xx
0
Замечания.
1. Правило Лопиталя справедливо и при х→∞ (при соот-
ветствующих условиях).
2. Правило Лопиталя можно применять несколько раз.
Пример 1. Найти .
lim
→
0
Решение.
lim
=
0sin
xx
0
lim
−
3
x
−
0
x
⎤
⎡
=
=
x
2
′
)3(
lim
⎥
⎢
0
⎦
⎣
′
)cos1(
lim
Пример 2. Найти .
0
sin
6
x
−
x
lim
x +∞→
)sin(
xx
3
′
)(
x
0
⎡
===
⎢
0
⎣
x
ln
x
Решение.
x
ln
lim
Пример 3.
x
∞
⎡
=
⎢
∞
⎣
Найти
⎤
=
lim
⎥
⎦
x
lim
+∞→x
e
Решение.
2
=
lim
lim
x
∞
⎤
⎡
=
x
+∞→x
e
+∞→x
e
=
⎥
⎢
∞
⎦
⎣
)2(
x
=
lim
x
′
)(
+∞→x
lim
x
+∞→x
e
x
e
xxx−
sin
3
′
=
lim
xxx
⎤
=
lim
⎥
⎦
cos1
−
2
0
→→→
3
x
)(sin
x
′
)6(
x
0
x
⎤
⎡
=
=
⎥
⎢
0
⎦
⎣
′
lim
→→→→
xxxx
000
cos
6
x
1
.
==
6
′
x
)(ln
′
)(
2
.
x
2
′
)(
=
x
′
)(
.02=
lim
xxx
lim
1
.0
==
xx
+∞→+∞→+∞→
∞
x2
x
+∞→x
e
⎤
⎡
=
=
⎥
⎢
∞
⎦
⎣
38
§4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПРИ ПОМОЩИ ПРОИЗВОДНЫХ
Производная применяется к исследованию функций и по-
строению графиков функций.
4.1. Возрастание и убывание функций
Определение.
Функция y=f(x) называется возрастающей
в интервале (a,b), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. f(x
(x1,х
∈ (a,b)). На рисунке 12 приведен пример графика возрас-
2
) < f(x2) при х1 < x
1
тающей функции.
Рис. 12
Функция y=f(x) называется убывающей в интервале (a,b),
если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. f(x
) > f(x2) при х1 < x
1
2 (x1,х2
∈(a,b )). На
рис. 13 приведен пример графика убывающей функции.
2
39
Рис. 13
∈
∈
Возрастающие и убывающие функции в интервале называются монотонными в этом интервале.
Теорема (достаточный признак возрастания и убывания функции на интервале).
Пусть функция y=f(x) имеет производную в интервале
(а,b). Если в каждой точке интервала производная f '(x) > 0, то
функция f(x) возрастает на интервале (а,b).
Если в каждой точке интервала f '(x) < 0, то функция
f(x) убывает на интервале (а,b).
Доказательство. Пусть f '(x) > 0 при х
смотрим произвольные точки х
Применим к отрезку [х
f(x
)- f(x1)= f ' (с) (х2-х1),
2
где с
тельно, f(x
(x1,х2). По условию f '(с) > 0, х2-х1>0. Следова-
)- f(x1) > 0 или f(x2) > f(x1), т.е. функция f(x) на
2
, х2] формулу Лагранжа (14) :
1
, х
∈ (а,b), причем х
1
2
(а,b). Рас-
< х2.
1
интервале (а,b) возрастает. Аналогично доказывается вторая
часть теоремы.
Пример 1.
Доказать, что функция х3+2х при любом х
возрастает.
40