Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Производная и дифференциал функции одной переменной. Учебное пособие
.pdf
xxx
yyy
xBxAy
sin
A
y
xBx
Ay
t
tst
t
s
s
s
Показано, что функция
нию
22
xx
x
2
.
0294
удовлетворяет уравне-
5sin
xey
222
.
05sin295cos20
xexe
xexexeyyy
5sin85sin215cos2029'4
xxx
Задача 5.3. Показать, что функция
, CC – любые постоянные величины, удовлетворяет уравнению
21
44.
x
eyyy
2
1
2
exeCeCy
2
, где
Решение. Вычислим производную функции y :
xxxx
2
1
2
2
Теперь вычисляем вторую производную функции
2
1
1
2
2
2
2
2
2
444
2
22
2
2
4224
2
2
.
exeCeCeCy
:
y
xxxxx
2
2
exeCeCeC
exeCeCeCeCy
xxxx
.
Подставим полученные выражения производных в левую
часть заданного уравнения и приведем подобные члены, получим:
2
2
Показано, что функция
уравнению
2
1
2
1
44
2
2
2
2
x
.
eyyy
2
2
2
1
2
2
2
1
xxx
exeCeCy
удовлетворяет
2
xxxxxx
4844444
eCeCexeCeCeCyyy
2
xxxxxxxxx
.4444448
eeeeexeCeCexeC
Задача 5.4. Показать, что функция
,, B
– любые постоянные величины, удовлетворяет уравнению
2
.
0
yy
cos
Решение. Вычислим вторую производную функции
Подставляя выражения для
y и
в левую часть заданного
22
sincos)cossin(
, где
:
y
xBxAxBxAy
.
уравнения и приводя подобные члены, получим:
Показано, что функция
уравнению
2
sincos удовлетворяет
.
0
yy
22222
xBxAxBxAyy
.
0sincossincos
90
Задача 5.5. Показать, что функция
t
t
s
t
t
s
s
s
1
s
, где
c
ln
– по-
0c
стоянная величина, в области своего задания удовлетворяет урав-
22
s
.
нению
s
s
2
)(
t
Решение. Область задания функции
1
s
определяется
c
ln
условиями:
,0
t
11
то есть
,
t
.
,0
cc
Вычислим производную функции
ct
,1
:
1
ln
ctt
s
1
2
lnln)ln(
t
c
ctcttctt
ct
1ln
ct
ln
2
ctt
Заметим, что эта производная существует во всей области
определения функции
.
Вычислим вторую производную:
s
ln
ct
1ln
2
ctt
1
t
ln
ctctt
3
ctt
2
2
)1(ln2ln
ln
4
ctt
2
ctt
2ln3ln2
ctct
3
)ln(
)ln(ln2)1(ln)ln()1(ln
cttcttctcttct
.
Заметим, что вторая производная также существует во всей
области определения функции
.
Подставим полученные выражения производных в левую
часть заданного уравнения и приведем подобные члены. Получим:
s
2
s
s
.
22
2ln3ln2)(
ctct
3
)ln(
ctt
22
2
ctctctct
)ln(
ct
ln
2
)1(ln
4
ctt
2ln4ln22ln3ln2
ln
)ln(
ctt
1
233
cttctt
Вычислим правую часть уравнения:
.
91
t
t
2
tss
xuy
tSt
y
Замечая, что для
s
,
t
,0
ln
t
11
cc
ct
)ln(
1
.
23
c
ln
1
233
ln
,
cttctt
убеждаемся в справедливости предлагаемого равенства.
1
Итак, мы показали, что функция
в области своего за-
cttsln
22
.
дания удовлетворяет уравнению
s
s
)(
2
Задача 5.6. Доказать формулу (5.5) для вычисления производ-
ной порядка
произведения двух функций )()(xv
.
n
Решение. Докажем формулу методом математической индук-
ции.
1. База. Убедимся в справедливости формулы (5.5) при
Подразумевая под производными порядка
)0(
1
1
C получим:
1
xuxu
)0(
,
)()(
, с учетом выполнения равенств
)()(
xvxv
1
)0()1(0
сами функции
0
1
2. Индукционный переход. Предположим, что формула (5.5)
n
справедлива для производной порядка
n
)(
n
n
k
0
:
)()(
k
kkn
)()()()(
xvxuCxvxu
.
Докажем, что из предположения следует справедливость фор-
мулы (5.5) и для производной порядка
1
n
)1(
n
k
k
1
n
0
1n , то есть
)()1(
kkn
)()()()(
xvxuCxvxu
.
Используя формулы (2.10), (2.11) и (2.12), продифференциру-
ем выражение (5.5) и представим результат в виде двух сумм:
n
)1(
n
n
k
0
k
)()(
kkn
))()(()()(
xvxuCxvxu
.
1
n
0
,
1
C
1
)1()0(1
)()()()()()()()(
xvxuCxvxuCxvxuxvxuy
.
92
n
tSt
y
k
0
n
k
0
k
n
k
n
где введено обозначение
)()1(
kkn
kkn
n
k
n
k
0
1
n
m
.
1
km
1)()1(
m
n
1
)1()(
kkn
xvxuCxvxuC
)()1(
mmn
Объединим далее слагаемые, содержащие производные оди-
наковых порядков. С учетом равенств
0
CC
1
nn
n
,
1
n
0
будем иметь:
)0()1()1(
)()())()((
xvxuxvxu
)1()0()()1(1
nkknk
)0()1(0
)()())()((
xvxuCxvxu
)1()0(1
nn
1
)()1(
kkn
.
)()(
xvxuC
xvxuCxvxuC
Так как
k
n
k
nn
n
k
n
n
1
k
n
k
1
n
1
k
k
n
CCC
n
n
k
, получим:
11
)1(
n
1
k
1
n
0
n
1
n
)()1(
kkn
n
Таким образом, индукционный переход доказан и формула
(5.5) справедлива для производной любого порядка 1n .
Задача 5.7. Задан закон движения материальной точки
tt
BeAetS33)(
. Доказать, что ускорение пропорционально
пройденному пути.
Решение. Вычислим скорость:
3333
BeAeBeAetStv
33)()(
Теперь вычислим ускорение:
Таким образом, поскольку
a
, то ускорение пропорцио-
)(9)(
BeAeBeAetvta
9933)()(
нально пройденному пути.
Задача 5.8. Доказать, что функция
нением
x
, удовлетворяет условию
cy
1ln
, заданная неявно урав-
yyy
y
93
))()()()(
,
)()()()(
xvxuCxvxuC
1
n
CC
n
.
)()()()()(
xvxuxvxuCC
)()()()(
tttt
.
tttt
3333
.
3
.
xxx
1
1
Решение. Продифференцируем уравнение, определяющее
x
x
x
t
t
n
t
n
tnt
x
считая
y зависящим от
:
x
1ln
;
cy
y
xyy
1
x
2
y
;
0
y
x
y
yyxyy
xx
02
,
y
откуда найдем
y
y
x
.
yx
Продифференцируем полученное уравнение:
)1()(
yyyxy
y
xx
xx
2
)(
yx
и подставим в него выражение для
или
. После приведения к общему
y
x
y
xx
yxy
x
2
)( yx
знаменателю получим:
y
y
xx
yx
yx
2
yx
2
y
.
3
)()( yx
Подставим найденные выражения в левую и правую части за-
данного условия:
3
yy
;
xx
3
y
x
y
3
)( yx
3
y
,
yx
убеждаемся в том, что они равны.
Доказано, что функция
x
cy
1ln , удовлетворяет условию
y
y , заданная неявно уравнением
3
.
yyy
xxx
Задача 5.9.
для функции, заданной параметрически:
2ln
Найти значение второй производной
,
y
при
y
x
94
x
t
t
t
n
t
n
t
x
y
tx
t
sinln
2
Решение. Найдем сначала значение
2ln
:
или
2lnsinln
откуда
sin
t
0
1
,
t
0
2
.
t
0
6
,sinln
,
)2,0(t .
lnsinln
t ,
0
, при котором
tt
0
1
2
Дифференцируем функции
t
cos
t ctg
)(
si
)(
t
si
По формуле (5.11) получим:
y
x
Подставим значение
Ответ.
y при 2ln
x
tg
9
))((
t
ctg
3
t
sin2
0
3
cos
,
t
)(
t
1
3
,
)(
2
t
)()()()(
tttt
t
ctg
2
2
t
t
t
2
sin4
2
t , получим:
6
.
и
sinln)(
t
1
2
ctg
t
sin2
2
2
1
.
t
2
sin4
2
ctg
sin4
ctg
t
t
2
2sin
2
3
ctg
t
2
t
sin
.
3
cos2
1
4
y .
xx
2
8
:
sinln)(tt
2
t
,
2
t
2
2
t
3
9
33
95
Задача 5.10. [4] Пусть функция
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
xf
x
f
xf
x
fXx
f
x
f
x
X
t
x
f
X
x
x
f
X
x
f
X
f
X
t
xfx
fXx
f
X
x
fXx
f
X
x
fXx
f
x
fXx
f
x
X
в
в нуль:
эта функция имеет на интервале
(
бы одна точка
различной точке
1n
...
xfxfxfxf
),( ba производные вплоть до n -го
) порядка включительно, то внутри интервала найдется хотя
1n
),(0bax
, в которой
n
на интервале
)(
. Доказать, что если
0)()(...)()(
121
nn
)(
0)(
xf
0
),( ba
обращается
bxxxxa
nn
121
.
Решение. Заметим, что из существования на промежутках
],[21xx , …,
xx ),( ba
1nn
рывность функции
дом из промежутков ],[
],[
на каждом из них. Таким образом, на каж-
)(
производной
xx , …,
21
xx
1nn
)(
функция
],[
следует непре-
удовле-
)(
творяет условиям теоремы Ролля, следовательно, внутри каждого
из них найдется хотя бы одна точка
торой
интервала
xf
. Таким образом, хотя бы в
0)(1
i
производная
),( ba
обращается в ноль.
)(
Далее, из существования второй производной )(
вале
следует непрерывность
),( ba
промежутков
121
],[
xx , …,
1
1
. Поэтому на каждом из
)(
11
функция )(
],[
nnxx
, ni ...,,1
),(
xxx
11iii
различных точках
n
удовлетворяет
, в ко-
на интер-
условиям теоремы Ролля, следовательно, хотя бы в одной точке
1
в
12
различных точках
1n
, 1..,,1
),(
xxx
iii
1
ni ,
2
xf
вторая производная
),( ba
. Таким образом, хотя бы
0)(
i
обраща-
)(
ется в ноль.
Продолжая подобные рассуждения, убедимся в том, что
в 2
n точках обращается в ноль, )(
IV
xf – в 3
n точках и т. д.
)(
Дойдя до производной n порядка, получим, что хотя бы
)(
в 1)1(
чим:
nn точке она обращается в ноль: 0)(
n
.
xx10
nn
xf . Обозна-
1
Итак, доказано, что внутри интервала найдется хотя бы одна
)(
точка
, в которой
),(
0
bax
n
.
0)(
xf
0
96
§ 6. УСЛОВИЯ ПОСТОЯНСТВА И МОНОТОННОСТИ
x
f
X
x
f
x
f
x
X
t
x
f
X
x
x
f
x
f
X
f
X
t
x
f
x
f
X
x
f
X
x
f
X
x
f
x
f
X
x
f
x
f
x
f
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ
Теорема 6.1.
на промежутке
Пусть функция
(конечном или бесконечном, открытом или за-
определена и непрерывна
)(
мкнутом) и имеет внутри этого промежутка производную. Для
того чтобы
была постоянной на промежутке Х, необходимо
)(
и достаточно, чтобы было выполнено равенство
(
лежит внутри
0)(
Доказательство. Необходимость. Если
то
Достаточность. Пусть
точки
xx выполнены все условия теоремы Лагранжа. Тогда
21
Но 0)(
произвольные точки
(внутри X).
0)(
x , 2x , принадлежащие
1
],[
c
. Следовательно, )()(
,
)(
. Пусть
cons
. Рассмотрим произвольные
0)(
))(()()(
xxcfxfxf
, ),(
1212
.
).
,
cons
)(
xx
. Для промежутка
21
xxc
.
21
xfxf
. Поскольку 1x , 2x –
21
Определение 6.1.
жутке
жутке
. Говорят, что
, если для любых Xxx
)()(
xfxf
21
свойств, называется
Пусть функция
возрастает (убывает) на проме-
)(
, , таких что
21
)()(
xfxf . Функция, обладающая любым из этих
21
монотонной.
Определение 6.2. Пусть функция
жутке
на промежутке X, если для любых Xxx
ет)
. Говорят, что
xx , выполнено неравенство )()(
21
строго возрастает (строго убыва-
)(
Функция, обладающая любым из этих свойств, называется
монотонной
.
определена на проме-
)(
xx
, выполнено
21
определена на проме-
)(
, , таких что
21
xfxf
21
xfxf .
строго
)()(
21
Теорема 6.2 (необходимое условие монотонности диффе-
ренцируемой функции).
на на промежутке
ли )(
возрастает (убывает) на промежутке X, то 0)(
0)(
xf для всех x, лежащих внутри X.
Пусть функция
и имеет внутри него производную
задана и непрерыв-
)(
. Ес-
)(
,
97
Доказательство. Пусть
x
x
x
f
x
x
f
x
f
x
f
X
x
f
x
f
x
f
X
f
x
f
f
x
f
x
f
x
f
x
x
x
f
x
x
f
x
f
xf
x
f
x
f
x
x
x
fx
f
x
f
x
xxx
x
x
f
x
fxx
f
xf
Xfx
f
xxxxxf
x
x
– внутренняя точка X. По опреде-
лению производной
xfxxf
)()(
.
xfxxf
)()(
. Тогда по тео-
Если
xf
lim)(
x
0
возрастает, то 0
)(
реме о предельном переходе в неравенстве
Аналогично рассуждаем в случае убывания
.
0)(
.
)(
Теорема доказана.
Замечание 6.1. Так как строго монотонная функция является
монотонной, то теорема 6.2 справедлива и для строго монотонной
функции.
Теорема 6.3 (достаточное условие строгой монотонности
дифференцируемой функции).
прерывна на промежутке
. Если
)(
(0) внутри X, то
0)(
(убывает) на промежутке
Доказательство. Пусть Xxx
xx выполнены условия теоремы Лагранжа. Тогда
],[
21
, то )()(
0)( c
, то )()(
Если 0)( c
ли
Пусть функция
и имеет внутри него производную
.
, и
21
xfxf
21
xfxf и
21
и )(
xxcfxfxf
, ),(21xxc
))(()()(
1212
строго возрастает на X; ес-
строго убывает на X.
)(
строго возрастает
)(
xx
задана и не-
)(
. Для промежутка
21
.
Теорема доказана.
Задачи к § 6
Задача 6.1.
Найти интервалы строгой монотонности и посто-
янства функции:
а) 384152)(
xf
)(
б)
23
xx
x
xxxxf ;
,2,32
.2,1
Решение
П. а). Вычислим производную функции
22
:
)(
.
xxxxxxxf
)2)(7(6)145(684306)(
98
Поскольку
x
f
x
x
x
f
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
x
x
x
x
x
x
f
x
f
x
x
f
x
f
X
fxf
x
x
xxxf
xxx
а 0)(
и
)7,(
)2,7(
при )2,7(
строго убывает.
)(
Ответ. На интервалах )7,(
тает, на интервале
функция
),2(
при
0)(
, то по теореме 6.3 на интервалах
и ),2(
)2,7(
строго убывает.
)(
П. б). Вычислим производную функции
или
)7,(
строго возрастает, на интервале
)(
)(
строго возрас-
)(
. При
2
,
),2(
xxf ,
следовательно, функция строго возрастает. При
0)(
0232)(
2
,
по теореме 6.1 здесь функция постоянна.
Ответ. На интервале
тервале
),2(
)(
постоянна.
)2,(
строго возрастает, на ин-
)(
Задача 6.2. Доказать неравенства:
x
а)
б)
e
при
1
tg при
;
),0(
2,0x
.
Решение
П. а). Рассмотрим функцию 1)( xexf
x
. Неравенство 1
),0[
e
равносильно неравенству
x
на промежутке
Докажем его. Вычислим производную функции:
x
.
1)(
exf
. Таким образом,
0
x
определена,
удовлетво-
)(
На промежутке
непрерывна и
при
0)(
функция 1)( xexf
),0[
ряет всем условиям теоремы 6.3. Следовательно, функция )(
возрастает на промежутке
Таким образом, доказано, что при всех ),0(
П. б). Составим функцию
и непрерывна на промежутке
xf
)(
2,0X . Вычислим ее производную:
1
2
cos
, поэтому
),0[
tg)(
cos1
1
cos
1
e
. Она определена
2
.
2
.
0)0()(
x
.
0)(
.
99
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]