Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Производная и дифференциал функции одной переменной. Учебное пособие
.pdf
Ответ.
f
x
x
x
xxf
x
x
x
x
f
f
x
x
x
f
f
x
x
x
x
П. и).
.
1)0('
1
)(arcsin)(
xxf
. Производная определена при
2
1
x
всех x, удовлетворяющих неравенству
1||
. Тогда
1
f
2
1
.
1
1
2
Ответ.
П. к).
всех
R
Ответ.
2
2
3
1
f .
2
. Тогда
)7(
f .
32
3
1
xxf
f
)arctg()(
1
)7(
71
. Производная определена при
2
1
1
.
2
50
1
50
П. л). Согласно таблице производных будем иметь:
cos)(
1
xf при
)(
при
,
0
.
0
1
Следуя указанию, найдем односторонние производные при
:
0
x
0
x
xf
0
, 1
1coslim)0(
f
x
1
lim)0(
0
.
1
Поскольку они равны, то согласно замечанию 1.2
Ответ. 1)0(
.
П. м). По формулам дифференцирования будем иметь:
)(
xf , если
12
;
4
xxf
)arcctg()(
1
, если
2
1
.
21
Следуя указанию 2, найдем односторонние производные при
:
x
1
0
f
lim)1(
01
x
,
f
44
30
lim)1(
x
1
01
2
x
1
.
1)0(
1
.
2
Поскольку )1()1(
f
f
x
x
x
x
не существует.
)1(
Ответ.
не существует.
)1(
ff , то согласно замечанию 1.2
Задача 2.2. Найти производные следующих функций, пользу-
ясь формулами и правилами дифференцирования:
а)
x
cos)( x
sin
xexf
3
2
;
x
ln
xf arctg2
б)
)(
в)
г)
д)
е)
xf
)(
ж)
з)
)( ;
xf
xf
и)
)(
7
;
5
4
3
2
)(tg)(
xxf ;
x
3ctg
2
;
arctg
1
4
3
sin
x
3
5arcsin
3
x
arctg
4
1
2
xxf
x
1
x
x
32
x
;
)1(lnarcsin)(
xxf
1
2
cos12arctg)(
;
2
2
25
)412ln(3arccos)(
xxxxf ;
x
63
)2(logarccos
xx
.
Указание 3. При решении воспользуемся формулами и прави-
лами дифференцирования, представленными в сводной таблице
формул и правил дифференцирования 2.8. При решении примеров
а) и б) будут использованы только правила (2.10)–(2.13):
,
v'u'vu
uv'u'vuv
u
,
v
uv'u'v
,
2
v
а далее потребуется формула (2.14) дифференцирования сложной
функции:
x
31
.
)()())(( xzxzyxzy
xz
Производные от перечисленных здесь функций, как правило,
x
x
x
z
z
y
n
t
z
x
x
f
имеют вид, не поддающийся упрощению с помощью тождественных преобразований. Однако, если преобразования возможны, они
будут проведены.
Решение
3
П. а). Записав выражение
2
в виде степенной функции
x
3
2
2
3
,
xx
используя правила (2.10)–(2.13) и таблицу производных, будем
иметь:
2
Ответ.
xx
xx
x
)(coscos)()(
xexexf
x
xexe
sincos
П. б). Записав выражение
2
)(ln
x
1
xxx
sinlncos
x
2
x
)(ln
)sin(cos)(
xxexf
7
в виде степенной функции
5
4
ln
2
)(lnsinln)(sin
xxxx
2
3
1
3
.
)(
x
3
sinlncos
2
xxxx
.
3
3
x
и используя правила дифференцирования и таблицу производных,
получим:
Ответ.
4
5
)(
xf
28
5
9
5
x
2
1
x
7arctg27)(
.
2
9
4
5
xxxxf
5
1
2
.
2
1
x
П. в). Перед нами сложная функция. Представим ее как «це-
почку функций»:
y tg,
3
2
2
3
. Тогда
xxz
y
1
z
cos
2
z
,
z
x
. По формуле (2.14) получим
3
32x
)(
xf
2
3
32
.
3
22
)(cos3
xx
Ответ.
z
y
n
tln
z
x
x
f
П. г). Представим
функций»:
1
y
z
,
2
1
xf
)(
arcsi
tzt2
2
3
,
1
,
t
u
u
.
3
22
)(cos3
xx
2
2
,
tz
1
,
u
x
2
,
u
. Используя замечание 2.2,
x
как «цепочку
)1(lnarcsin)(
xxf
. Тогда
1 xu
по аналогии с формулой (2.4) получим:
)(
Ответ.
xf
)(
П. д). Выражение
utzyxf
xutz
1
4
x
)1(ln1
x
)1ln(
4
x
x
1
)1(ln1
2
cos12arctg
представляет собой про-
x
.
xx
1
1
)1ln(2
1
.
xx
2
1
изведение функций. Воспользуемся формулой (2.11) сводной табл. 2.8.
Получим
xxf
1
cos)12arctg()(
x
x
Вычислим производные, входящие в состав
– сложная функция, по формуле (2.4) получим:
12arctg x
cos)12arctg(
1
22
.
x
. Функция
)(
x
12arctg
1
x
)12(1
2
2
122
1
.
122
xxx
Аналогично
2
1
2
cos
Ответ.
xf
)(
П. е). Функция
1
cos2
1
xf
cos
xx
122
2
)(
arctg
sin
xxx
1
2
x
x
3ctg
представляет собой частное
1
x
4
111
xx
x
.
sin
22
x
2
1
12arctg
2
x
sin
.
x
от деления функций. По формуле (2.13) получим
33
3ctg3ctg
x
f
x
x
x
f
x
xxxx
xxx
x
f
xf
)(
arctg
Вычислим производные, входящие в состав
arctg
Ответ.
xf
)(
П. ж). Функция
ляет собой произведение. По формуле (2.11) найдем
Используя правило дифференцирования сложной функции,
вычислим производные, входящие в выражение
1
4
x )14(
3ctg
1
1
1
4
2ln2
2
1
2
3sin
x
x
arctg(
arctg
x
3
2
1
x
3arccos5
x
x
3ctg
1
4
1
2
4
45
xx
1
2
x
4
3ctg3ctg3ctg
xxx
2ln2)3ctg(2ln22
2ln3
.
2
3sin
1
1
1
4
2)
x
1
x
3
x
4
xx
3ctg
25
xxxxf
25
xxx
.)412ln(3arccos
44
3arccos53
31
2
.
2
)412ln(
xx
2
2
412
xx
2
412
xx
)241(2
xx
41)412(
2
41
xxxx
xx
)4arctg(1/2)4arctg(1/2
.
)(
x
)3(
2
3sin
1
xxx
)14(
25
)412ln(3arccos)(
xxxxf представ-
)412ln()3(arccos)(
:
)(
xxx 3arccos3arccos53arccos
1
31
8
x
2
412
x
2
412
xx
222
.
1
.
xx
.
3
,
32
34
Ответ.
xxx
x
x
f
24
15
)('
xf
.
2
П. з). Выражение
2
93
1
3
sin
x
3
x
x
5arcsin
3
)412ln(3arccos
xxx
представляет собой частное от
деления функций. По формуле (2.13) получим
5
3arccos2
2
41
xx
5arcsin35arcsin3
.
xf
Функция
1
x
sin
)(
x
3
x
3
1
3
sin
представляет собой произведение двух
1
sin3
x
5arcsin2
3
x
3
xx3
функций. Используя формулы (2.11) и (2.14), найдем ее производную:
sin
1
x
x
3
1
x
sin3
x
x
3
1
sin3
x
3
x
1
sin)(
3
32
x
cos
32
x
6
x
1
3
1
3
x
333
x
.
cos
1
sin
1
3
x
3
xx
1
x
3
Правило (2.14) используем также для вычисления производ-
ной сложной функции
Подставляя полученные выражения в производную
x5arcsin
3:
x
xxx
5arcsin5arcsin5arcsin
3ln35arcsin3ln33
5
.
2
251
x
)(
, бу-
дем иметь
x
xf
)(
x
1
2
sin3
x
3
x
5arcsin3
sin3
3
x
3
cos
3
x
6
x
3
3
5arcsin2
1
3ln
x
x
5arcsin2
1
x
3
5
251
5arcsin
x
3
2
.
35
После вынесения общих множителей в числителе и знамена-
x
f
x
xx
x
x
y
x
x
x
y
теле дроби и сокращения окончательно получим выражение
для
.
)(
xf
Ответ.
)(
П. и). Функция
1
2
x
sin
3
)(
xf
3
x
x
5arcsin
arctg
1
x
3
x
6
32
x
4
ctg
1
x
3
2
x
2
3ln5
.
23
x
251
63
x
)2(logarccos
xx
пред-
ставляет собой произведение трех функций. Применив формулу
(2.8) для вычисления производной произведения трех функций,
получим
32
Функция
xf
)(
arctg
arctg
arctg
1
arctg
1
1
1
x
x
4
x
32
x
4
32
x
4
x
32
представляет собой частное от деления
4
2
2
2
2
2
2
x
x
63
x
63
)2(logarccos
xx
63
xx
)2(logarccos
xx
.)2(logarccos
функций. Вычислим ее производную по правилу (2.13), причем для
вычисления производной числителя и знаменателя используем правило (2.14).
Тогда
arctg
32
x
4
1
x
3
3
x
arctg2
1
2
x
6
x
4
x
1
1
4
1
x
12
4
arctg11arctg
3
x
)4(
arctg
4
x
324432
xxxx
32
x
.
По правилу (2.14) для остальных производных получим:
2
)(arccos
x
1
1
2
)(
x
4
x
2
x
,
4
1
x
36
63
x
y
x
x
x
x
2
63
)2(log
x
x
x
)2(
x
x
63
2ln)2(
x
x
62ln23
x
63
x
.
2ln)2(
Ответ.
)(
xf
arctg
2
x
32
x
4
)1(
x
32
arctg6
xx
46
1)1(
xx
x
2
arctg2
arctg
63
)2(log
x
323
xx
2/34
)1(
x
1
32
x
4
arccos
2
2
x
2
x
63
x
xx
x
63
x
Задача 2.3.
Найти производные следующих функций, задан-
ных неявно:
2
а)
б)
22
1
xy
4
в) )(sin
Решение. Считая, что переменная
менной
, продифференцируем обе части этих равенств как сложные функции переменной
функцию
и y.
yx
exy
;
23 y
exyyx .
x
;
0arctg)(
y
является функцией пере-
, затем выразим производную
y
П. а). Используя правила (2.10), (2.11) и (2.14), продифферен-
цируем правую и левую части заданного уравнения. Получим:
2222
222
yxyxyx
,
22)()()(
xyyxyxy
x
22
.
yxxyeyxee
)2()()(
x
Из равенства
выразим производную
y
Ответ.
x
2
2
x
.
y
x
2
yx
yex
2
2
exy
yx
)1(2
.
yx
2
yxxyexyy
)2(22
x
П. б). При дифференцировании заданного уравнения получим
)2(logarccos
x
2ln)2(
x
53
)622ln3(
как
.
1
xy
4
37
x
0arctg)(
y
или
1
y
x
4
откуда выражаем производную
22
yxy
22
yxx
Ответ.
4
y
x
4
y
.
xyy
x
0)1(
,
22
yx
.
x
П. в). Продифференцируем отдельно обе части равенства:
cos)(cos)(sin .
23)()()( yxyyyxyxxyyxxyyx
yyyyy
yeeeee
x
Из равенства
выразим
Ответ.
232
cos23
y
.
x
y
x
3
yy
xx
22
yyx
3
.
xyxee
2cos
yy
yeeyxyyyxyx
x
Задача 2.4.
функций при
а)
Найти производные следующих неявно заданных
xx :
0
22
yx
, 0y , при
1
;
40x
1625
arccos yx
б)
x
y
22
, 0y , при
0
0
x .
Решение
П. а). Сначала найдем значение
22
уравнения
yx
. С учетом того, что
1
1625
Продифференцируем равенство
y при 4
0
22
yx
x из заданного
0
y , получим
0
:
1
0
1625
2
x
yy
x
0
.
825
Подставим в полученное уравнение значения
12
8
25
85
y ,
x
0
и
x
y
0
xx
2322323
,
12
y .
0
5
:
0
38
откуда получим значение производной:
16
Ответ. При
П. б). Решая уравнение
С учетом условия
y
x
16
y .
4
x
0
x
15
arccos yx
2
получим
0
y
0
0
.
15
x
y
2
y
.
0
.
y
22
при
x
0
2
Продифференцируем левую и правую части заданного урав-
нения
arccos yx
x
22
:
y
x
arccos
x
y
Подставляя значения
y
1
x
0
22
2
x
2
y
22
22)(
,
0
y
0
yxy
x
22
xyy
)(
yxyy
xyy
.
yyxyx
x
в равенство
2
yyx
x
yxy
,
получим
2
,
y
2
x
2
откуда найдем значение производной
1
y .
x
, найдем
0
xx
,
22222
xyy
1
Ответ. При
x
0
y .
0
x
39
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]