Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Производная и дифференциал функции одной переменной. Учебное пособие
.pdf
Задача 2.5. Вычислить производные следующих функций
xfy
xfy
x
x
x
x
x
x
:
)(
4
2
x
arcsin
lnxxx
x
x
sin
xy
)2(cos ;
x
x
2sin
2
)(tg
x
;
.
а)
б)
в)
y
y
Решение. Это показательно-степенные функции. Чтобы найти
их производные, необходимо предварительно прологарифмировать
функцию
затем найти
П. а). Прологарифмируем функцию
:
)(
)(lnln xfy ,
как производную неявно заданной функции.
y
x
x
)2ln(cos
y
4ln
sin
,
2
sin
xy
)2(cos :
4
2
x
а затем продифференцируем полученное равенство:
у
x
4.
y
sin
)2ln(cos
x
2
x
В правой части этого равенства стоит частное от деления
функций. При его дифференцировании используем формулу (2.13):
)2ln(cos
sin
x
2
x
4
4
4
x
2sin2
x
2cos
4
sin
2
4
sin
2
4
sin2cos
22
4
)2ln(cossinsin)2ln(cos
xxxx
x
xxxx
)2ln(coscossin2sin
xxxx
)2ln(cos2cossin22sin
.
Из равенства
y
x
4
y
2
4
xx
sin2cos
xxxx
)2ln(cos2cossin22sin
40
получим
x
x
2
yy
4
x
4
xx
sin2cos
xxxx
)2ln(cos2cossin22sin
.
Подставив сюда выражение функции y из условия, найдем искомую
производную.
Ответ.
4
1
x
2
sin
xxy
)2(cos4)(
П. б). В результате логарифмирования функции
2sin
x
4
sin
2
)2ln(cos2cossin2
xxx
.
x
x
arcsin
y
x
2sin
получим
xy
lnln .
arcsin
x
2sin
x
Производная левой части
y
x
y
.
)(ln
y
При дифференцировании правой части этого равенства вос-
пользуемся свойством логарифма:
.
lnlnln
Тогда, используя формулы (2.10), (2.11) и (2.14), получим:
x
arcsin
)2ln(sin)ln(arcsin
x
ln xxx
arcsin
x
ln
x
x
2sin
2sin
arcsin
x
1
ln
x
2
1
ln
x
2
2sin
arcsin
2sin
x
x
x
x
x
x
1
1arcsin
1
2
xx
2
xx
1arcsin
x
2cos2
x
2sin
2ctg2
.
41
Из равенства
x
fy
xx
x
x
x
2ctg2
получим
y
1
x
y
.
y
x
ln
x
2
arcsin
2sin
x
x
x
1
2
xx
1arcsin
Ответ.
x
x
arcsin
xy
)(
x
2sin
1
ln
x
2
arcsin
2sin
x
x
x
П. в). После логарифмирования функции
1
1arcsin
y
2
xx
lnxxx
x
)(tg
x
x
2ctg2
будем
2
.
иметь
1
22
.
lnln
xxxxy tgln
2
Используя формулы (2.10), (2.11) и (2.14), продифференцируем полученное равенство.
Тогда
cos
1
2
x
xxxy
ln2ln)(ln
11
x
2
tgln2
1
22
xxx
tg
x
или
y
2
x
tglnln2ln
y
2
x
xxxx
,
x
2sin
откуда получим
2
x
.
2sin
x
2
x
tglnln2ln
xxxx
.
2sin
x
Ответ.
2
x
ln
xx
xy
x
)(
x
2
2
x
2/
)(tg
tglnln2ln
xxxyy
Задача 2.6.
степенных функций )(
Вычислить производные заданных показательно-
при
xx , используя логарифмиче-
0
ское дифференцирование:
x
cos
а)
б)
8xxy при 2
при
xy
)(sin
2
2
x ;
0
0
4
x .
42
Решение
x
xy
x
x
П. а). Прологарифмируем заданную функцию:
)ln(sincosln
и продифференцируем полученное равенство:
)ln(sincosln xxy .
Используя формулу (2.11) и правило (2.14), получим
)ln(sincos)ln(sin)(cos)ln(sincos xxxxxx
xxx
cos)ln(sinsin
1
sin
Из равенства
y
x
xx
)ln(sinsin
y
2
x
cos
sin
x
получим
2
)ln(sinsin)(sin
sin
x
x
cos
sin
2
x
x
x
x
cos
cos
)ln(sinsin
xxyy
xxx
Вычислим значение полученной производной в точке
2
y
4
Ответ.
2
2
2
y .
4
2
2
ln
2
2
1
2
2
П. б). Вычислим значение функции
Получим
0
4
fy
162)2(
2
2
2ln
2
. Прологарифмируем заданную
1
2
2
2
1
2
2
2
2
8xxy при
функцию:
2
ln
y
x
2
,
)8ln(
x
2
43
2
cos
x
)ln(sinsin)(sin
xxx
.
sin
.
:
x
0
4
1
2ln
2
.
1
2
2
.
2
x
0
а затем продифференцируем полученное равенство:
x
x
y
t
2
x
y .
)(ln
2
2
x
)8ln(
Применяя при дифференцировании правой части равенства
формулу (2.11) и правило (2.14), получим:
2
x
2
2
)8ln(
)8ln(
x
2
xx
)8ln(
2
x
2
2
2
8
x
xx
)2(
2
2
x
2
)8ln(
2
x
2
3
x
2
)8ln(
xx
.
2
8
Тогда из равенства
y
x
2
xx
y
3
x
)8ln(
2
8
x
найдем производную и вычислим ее значение в точке
и
160y :
Ответ.
8
.
)14(ln32)2(
.
4ln216)2(y
4
Задача 2.7. Найти производные
y
функций, заданных пара-
x
метрически:
а)
б)
в)
t
e
x
2
t
,sin
taatx
;cos
taay
3
,cos
tax
3
;sin
tay
,
ty
.arctg
Решение
П. а). Воспользуемся формулой (2.15). Тогда получим:
taa
y
x
)cos(
t
taat
)sin(
t
ta
sin
cos
taa
sin
t
.
t
cos1
2
x
0
44
Ответ.
t
y
x
sin
,sin
taatx
t
.
cos1
t
П. б). Воспользовавшись формулами (2.15) и (2.14), будем
иметь:
3
ta
)sin(
y
Ответ.
x
t
3
ta
)cos(
3
,cos
tax
.tg
ty
П. в). Применим формулу (2.15) к функции
Тогда
y
t
y
x
x
t
e
)(arctg
t
t
.
t
2
t
t
При вычислении производных
2
tta
cossin3
2
tta
sincos3
x
и
y
t
воспользуемся формулами
t
sin
cos
t
t
tg
t
t
e
x
2
t
(2.14), (2.13) и получим:
arctg
t
t
e
x
t
t
2
t
t
4
t
ty
t
22
)()(
tt
e
t
ette
Подставляя найденные производные в выражение для
y
x
t
ttte
1
1
t
2
tt
,
)1(
t
2
1
2
t
t
t
tt
2
tet
e
2
y
33
x
.
)1)(4()1()4(
ttte
t
e
x
,
2
t
x
3
t
t
.
ttte
)1)(4(
Ответ.
y
.
,
ty
.arctg
t
4
t
34
t
.
, получим:
45
Задача 2.8. Вычислить производные
n
t
t
x
x
x
функций, заданных
y
x
параметрически:
t
2
3
2
y
tex
,sin
cos
tey
при
,ln)1(
ttx
при
t
2
2
;
0
t
0
00x ;
ty
,log
tx
2
при
2
t
10x .
а)
б)
в)
Решение
П. а). В результате применения формул (2.15), (2.11) и (2.14)
получим:
2
t
)cos(
te
y
x
2
t
t
)sin(
te
t
Тогда параметрическое задание
y
x
Подставим в эти уравнения значение
.
2
y
x
Ответ.
при
2
y
x
.
0
x
0
П. б). Найдем сначала значение
значение
получим
и (2.11), найдем производную
. Решая уравнение
0
x
0
. По формуле (2.15), используя формулы (2.10)
10t
2
0
y
3
)(
t
y
x
t
2
ln)1(
tt
t
22
tt
y
2
t
,sin
tex
sincos2
2cos
si
tt
0
функции
x
3/2
sincos2
tete
22
x
tt
cossin2
tete
имеет вид
tt
4
t
.
e
0
t
0
, которому соответствует
tt
0
,
0ln)1(
1
2
t
ln23
ttt
sincos2
sin2cos
, получим
2
3
ty
.
.
1
t
tt
t
4
e
.
tt
,
0
x
0
ttx
,ln)1(
46
Подставим в выражение производной значение
x
x
x
1
.
y
x
6
1
Ответ.
П. в). Значению
y при
x
6
.
0
x
0
соответствует значение
x
1
0
По формулам (2.15) и (2.14) получим выражение для
t
2
log
t
t
t
2
y
x 2
Подставим в это выражение значение
y
x
26
Ответ.
2
y
x
2
при
2ln256
22
t
t
22ln2
2
t
1
tt
2lnlog2
2
t
2
.
2ln2562log42ln2
.
1
x
0
Задача 2.9.
а) к кривой
б) к кривой
в) к параболе 103
, лежащей справа от начала координат;
O
г) к параболе
, у которой абсцисса отрицательна;
y
1
д) к полуокружности
натой
y
0
е) к эллипсу
ж) к гиперболе
з) к параболе
и) к кривой
Составить уравнение касательной:
x
xy в точке
x
e
y
при условии
3
2
x
2
a
2
x
в точке ее пересечения с осью ординат;
3
1
2
xxy в точке ее пересечения с осью
2
x
2
y
2
b
2
2
y
x
2
2
b
a
pxy 2
cosln
в той точке пересечения с прямой
xxy
32
2
10 xy в точке
;
0
0
в произвольной точке;
1
в произвольной точке;
1
(0p ) в произвольной точке;
t
,
2
)(cosln
ty
47
;
)4,2(0M
1
t
0
:
y
x
222
log2ln2
, получим
2
0
yxM
, получим
20 tt
tt
.
с орди-
),(
000
.
xfy
xfy
xxy
x
y
x
y
x
y
f
x
f
x
x
x
x
xx
xfy
f
x
x
xxxx
x
xfy
f
в точке, соответствующей значению
3
tax
,cos
3
tay
sin
.
к) к астроиде
в точке
M
0
aa
,
22
22
0
t ;
3
Решение. Уравнение касательной к графику функции
в точке
)(
имеет вид (1.4)
),(
yxM
000
xxxfxfy
))(()(
000
или
где
– производная функции
My
)(
0
.
),(
yxM
000
П. а). Найдем производную заданной функции
,
xxMyyy
))((
000
, вычисленная в точке
)(
xy
зуя правило логарифмического дифференцирования:
,
lnln
x
, исполь-
y
x
ln
y
x
1
xx
,
1ln
x
x
x
.
)1(ln1ln
xxxyy
Теперь определим значение производной при 2
.
)12(ln4)2(
Составим уравнение касательной к кривой
xy ,
xy
2)12(ln44
или
.
)12ln2(4)12(ln4
Ответ. )12ln2(4)12(ln4
.
П. б). Вычисляя значение функции
пересечения заданной кривой с осью ординат.
)1,0(0M
x
e
Найдем производную функции
y
:
13
48
:
x
в точке
, найдем точку
)0(
:
)4,2(0M
23
f
x
xy
x
xx
xfy
f
x
x
xxx
xx
xfy
f
3)1(
exxe
23
)1(
Тогда
)(
xf
1)0(
e
3
x
1
x
.
Составим уравнение касательной к кривой
:
M
0
)1,0(
1.
Ответ. 1
П. в). Найдем точку
2
y .
),(
yxM пересечения параболы y
000
xx с осью Ox, лежащую справа от начала координат.
103
Для этого решим уравнение
2
и выберем из его корней 5
откуда искомая точка –
x и 2
1
M .
0
x положительный корень,
2
)0,2(
Определим производную функции
и подставим в нее значение
2
2
x
0
:
.
7)2(
Составим уравнение касательной в точке
27
xy .
Ответ.
y
П. г). Найдем точку
2
xx и прямой
32
откуда получим
x
.
147
пересечения параболы
),(
yxM
000
, для которой
y
2
0
0
1
2
2
x , 1
1
2
x ,
. Вычислим:
2
02
2
Определим производную функции
2
вычислим:
.
2)2(
49
xxx
0103
132
,
x
xxxxf
x
,
:
)(
xxxxf ,
23
)13(
xxe
x
y
23
)1(
e
.
x
в точке
13
:
)(
32)103()(
:
)0,2(0M
y
:
0
0
.
33)2(2)2()2(
fy
2232)(
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]