Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Производная и дифференциал функции одной переменной. Учебное пособие
.pdf
Теорема 9.4 (достаточное условие перегиба графика).
x
f
x
f
X
x
f
x
x
y
x
f
x
xxx
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
x
f
x
x
f
x
x
Пусть функция
го вторую производную )(
, где
xx
0
x
0
знак, то точка
задана на промежутке X и имеет внутри не-
)(
. Тогда если при переходе через
лежит внутри промежутка
)(,
xfxM является точкой перегиба графика
000
,
меняет
)(
функции.
Доказательство. Оно следует из теоремы 9.2.
Пример 9.2.
Рассмотрим функцию
1
y , определенную и
2
1
непрерывную на всей числовой оси. Вычислим производные:
y
)1(2x
делим ее экстремумы: 0
теореме 7.3
, если
0y
,
22
2
y
y при 0x. Поскольку 02)0(
M – точка максимума. Определим перегибы:
)1,0(
0
1
. Отметим, что на интервале
x
x
3
, на интервалах
0y
зом, по теореме 9.4
M ,
1
2222
2)1(2)1(
)1(
x
1
и
,
3
3
1
,
M – точки перегиба.
4
3
xxx
42
1
3
2
,
y
3
1
,
4
3
2
)31(2
x
x
32
)1(
. Опре-
y , по
1
1
. Таким обра-
0
,
3
3
График функции представлен на рис. 9.10.
1
75,0
1
3
0
Рис. 9.10
1
3
120
Задачи к § 9
x
f
x
xxx
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
x
f
x
x
f
x
x
Задача 9.1. Найти интервалы выпуклости вверх, выпуклости
вниз и точки перегиба функции
x
4
exxf
)32()(
;
x
12
;
а)
б)
)(
xf
y
:
)(
2
в)
г)
д)
3
)(
.
xf
32)( xxf ;
cos)(
;
)21ln(
x
21
Решение
П. а). Воспользуемся результатами решения задачи 7.1 а):
x
4
,
xexf
472)(
откуда получим
444
Уравнение
второй производной:
Ответ. На интервале
тервале
функция выпукла вверх; ),2(
)2,(
имеет корень
0)(
при
0)(
функция выпукла вниз; на ин-
),2(
,
2
П. б). Функция определена для всех 2
xxx
xeexexf
. Исследуем знаки
2
при
0)(
8
e – точка перегиба.
. Найдем ее произ-
водные:
)(
xf
откуда
при
0)(
,
2
Ответ. На промежутке )2,(
на промежутке ),2(
выпукла вниз, точек перегиба нет.
П. в). Функция определена при всех
xx
)12()2(2
)2(
при
0)(
функция выпукла вверх,
5
xx
xxxf ,
,
22
)2(
32
21025)(
.
2
. Найдем ее произ-
R
водные:
2
2
)(
3
,
)32(
xxf
3
.
)84(8)8()47(8)(
.
2
121
5
x
f
x
f
x
f
x
x
f
Z
Z
x
f
Z
k
x
f
Z
Z
Z
Z
k
x
f
x
f
x
f
R
x
x
Первая и вторая производные не существуют при
интервалы, на которых
3
0)(
, на
3
2
2
выпукла вверх; точка
,
ется точкой перегиба.
Ответ. На интервале
тервале
региба.
П. г). Функция определена для всех
откуда
8
)(
9
,
, если
0)(
xxf
3
)32(
сохраняет знак: на
)(
. Следовательно, точка
0)(
3
функция выпукла вниз, на ин-
,
2
kx 22,
8
3
x
3
является точкой пе-
0,
2
. Найдем производные:
R
xxxxf sin1cos)(
,
xxxf cossin1)(
,
.
5
329
3
x . Определим
2
,
3
k
явля-
0,
2
. При
3
2
2
при
вверх. Следовательно,
выпукла вниз; на интервалах
выпукла вверх;
kkx 2
Ответ. На интервалах
,2
2
2
kkx 2
3
,2
2
kx 22,
,
k
, 0)(
,
,
kx 2
2
2
2
– точки перегиба.
122
– функция выпукла вниз,
,
k
,2
2
3
,2
2
– функция выпукла
0)(
– точки перегиба.
,
kk 2
kk 2
k
,
k
, функция
, функция
П. д). Функция определена при всех
x
f
x
f
x
f
R
x
x
1
x . Используя реше-
2
ние задачи 5.6, найдем ее вторую производную:
)21()21ln()21()21ln(2 xxxx
11
21)21ln(21)21ln()( xxxxxf
11
333
)21()21ln(8)21(8)21(4 xxxx
1
1
ex
,
2
2
2/3
)1(
откуда
0)(
, при
при
0)(
1
2
Ответ. На интервале
вверх; на интервале
2/3
1
e
,
2
3
– точка перегиба.
2/3
2
e
4
,
1
)21ln(23
3
)21(
xx
2/3
1
ex . При
2
2/3
ex 0)(
),1(
.
1
1
1
2/3
e функция выпукла вниз;
2
e функция выпукла
,
2
2
),1(
2/3
)1(
Задача 9.2. Доказать, что функция y , заданная неявно урав-
2
нением
ln xyy
, точек перегиба не имеет.
Решение. Отметим, что функция задана при 0y и всех
. Воспользуемся замечанием 9.1, что точками перегиба могут
быть лишь такие точки, в которых вторая производная не существует или равна нулю, и продифференцируем уравнение дважды,
считая, что
:
yy
)(
y
,
xy
2
y
2
y
y
)(
y
xx
2
y
,
2
y
x
123
откуда
x
f
x
f
xfx
f
x
xfx
f
xfTxf
X
x
x
x
f
x
f
xfx
f
xfx
f
x
f
x
x
x
22
)(2
yy
x
.
)1(
yy
Для всех значений 0
0
чем нигде
y .
x
y
x
y вторая производная существует, при-
Таким образом, доказано, что функция точек перегиба не име-
ет. Кроме того всюду
, следовательно, функция выпукла
0
y
x
вниз.
§ 10. СХЕМА ПОЛНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ.
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ
Приведенные в предыдущих параграфах теоремы позволяют
проводить исследование и строить графики функций.
Пусть задана функция
y
. Для построения ее графика
)(
исследование можно проводить по следующей далее схеме.
1.1. Найти область определения
y
.
)(
1.2. Найти точки разрыва функции.
1.3. Проверить, является ли функция четной (для любого
Dx
), нечетной
)()(
(для любого
D
)
)()(
или функцией общего вида.
1.4. Проверить, является ли функция периодической (суще-
ствует такое
).
Dx
1.5. Найти точки пересечения с осями координат: с осью
точка
)0(,0 f
уравнению
, что
0T
, с осью
0)(
xf
k
выполняется для любого
)()(
OY –
O
– точки
, где
)0,(kx
удовлетворяют
x
k
.
2. Найти односторонние пределы функции в граничных точках
области определения и в точках разрыва. Найти вертикальные
асимптоты.
3. Найти уравнения наклонных асимптот графика при
xf
bkxy , где
,
k
lim
x
)(
x
kxxfb
)(lim .
:
124
4. Найти первую производную функции
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
x
x
валы возрастания: 0)(
, убывания: 0)(
функции.
5. Найти вторую производную функции
валы выпуклости вверх:
0)(
точки перегиба.
6. Построить график функции.
Задачи к § 10
Задача 10.1.
y
)(
а)
б)
и построить ее график:
xf
)(
)(
xf
Провести полное исследование функции
x
1
;
)1(2
x
3
x
;
1
3
в)
3
1)( xxf .
Решение.
П. а): 1.1. Область определения ),1()1,(
1.2.
1
– точка бесконечного разрыва.
1.3. Функция не является ни четной, ни нечетной.
1.4. Функция непериодическая.
1.5. Точки пересечения графика с осями координат:
1
,
,0
2
.
)0,1(
2. График имеет вертикальную асимптоту
1
x
x
lim
01
x
,
)1(2
x
3. Найдем наклонные асимптоты:
)(
xf
lim
k
1
– наклонная (горизонтальная) асимптота.
y
lim
xx
x
kxxfb
2
. Найти интер-
)(
, точки экстремума
. Найти интер-
)(
, выпуклости вниз: 0)(
D .
, причем
1
1
x
lim
01
)1(2
x
1
x
lim)(lim
xx
)1(2
xx
1
x
x
.
,
0
1
,
2
)1(2
,
125
4. Найдем первую производную функции:
x
f
x
f
x
x
f
x
x
f
y
x
x
x
xx
x
x
x
f
x
)(
xf
Очевидно, что для всех
Dx .
5. Найдем вторую производную функции )(
Очевидно, что при
при
1
и функция выпукла вниз.
0)(
1
Строим график функции (рис. 10.1).
5,0
1
xx
)1(2)1(2
)1(4
Dx
1
xx
, функция убывает при
0)(
.
22
)1(
:
0
5,0
32
)1(2)1()(
xxxf
и функция выпукла вверх,
0)(
1
2
.
3
)1(
x
Рис. 10.1
Приведенные построения позволяют уточнить множество зна-
чений функции:
1
,
,
2
E .
2
1
П. б): 1.1. Область определения
1.2.
– точка бесконечного разрыва.
1
D
.
),1()1,(
1.3. Функция не является ни четной, ни нечетной, по-
скольку
126
33
x
x
x
xxx
x
f
x
x
xf
)(
)(
x
x
x
11)(
1.4. Очевидно, что функция непериодическая.
1.5. Точка пересечения с осями координат:
2. График функции имеет вертикальную асимптоту
причем
3
x
lim
x
01
1
,
x
lim
x
01
3. Найдем наклонные асимптоты:
)(
xf
lim
k
lim
xx
2
следовательно, наклонных асимптот нет.
4. Найдем первую производную функции:
)1(3
)(
xf
2
)1(
x
Найдем стационарные точки:
32
xxx
x
32
при
0)(
xx
2
)1(
Определим знаки производной (рис. 10.2).
xf
),(
3
xf
).(
.
)0,0(
1
,
.
1
,
1
2
23
xx
)32(
2
)1(
x
или при
0
.
3
.
x
2
3
1
2
Рис. 10.2
0
3
Следовательно, на промежутке
3
на промежутках
3
x производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно,
,
1,
2
функция возрастает. При
),1(
функция убывает,
,
2
2
функция достигает минимума
f
2
.
4
27
3
127
5. Найдем вторую производную функции
x
f
x
x
M
x
y
x
f
x
xf
x
xfx
f
x
f
x
x
f
x
x
f
23
)(
xf
x
32
xx
2
)1(
Далее ищем нули числителя:
производной (рис. 10.3).
при
)(
xxxxxx
2
xxx
3
x
)1(
0
4
)1(
x
)33(2
.
. Определяем знаки второй
:
1
2322
)32)(1(2)1)(66(
1
0
Рис. 10.3
Следовательно, функция выпукла вверх на промежутке
)0,1( , выпукла вниз на промежутках )1,(
является точкой перегиба графика функции.
)0,0(
и на ),0(
Строим график функции (рис. 10.4).
y
27
4
1
3
0
x
2
,
Рис. 10.4
128
П. в): 1.1. Область определения функции
x
y
x
f
x
xf
x
x
f
x
f
x
f
x
x
f
x
x
f
1.2. Точек разрыва нет.
1.3. Функция не является ни четной, ни нечетной.
1.4. Очевидно, что функция непериодическая.
1.5. Находим точки пересечения с осями координат:
и
.
)0,1(
2. Вертикальных асимптот нет.
3. Найдем наклонные асимптоты:
3
3
k
Таким образом,
lim
)(
xf
x
lim
3
x
– наклонная асимптота.
lim
1
x
lim
x
1
23
xxx
3
1lim)(lim
xx
33
xx
3
3
1)1(
4. Найдем первую производную функции:
3/1
1)(
3
1
3
3/2
3
Найдем точки, «подозрительные на экстремум»:
,
0
не существует при
)(
0)(
. Следовательно, функция убывает на всей числовой оси,
. Во всех остальных случаях
1
точек экстремума нет.
5. Найдем вторую производную функции
Очевидно, что
. Определяем знаки
1
33
)1(
xx
2
x
.
)1(
x
при
0)(
(рис. 10.5).
)(
,
0
D
1
3
3
x
3
xxkxxfb
2
xxxx
2
)3(1
xxxxf
11
0
.
2
x
3
x
)(
:
2
x
3/533/53
)1(
x
не существует при
)(
.
),(
,
.
23
)1(
3/5343/233/232
)1(2)1(2)1()( xxxxxxxf
при
0)(
)1,0(
0
Рис. 10.5
1
129
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]