Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Производная и дифференциал функции одной переменной. Учебное пособие
.pdf
x
f
x
f
fxf
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
fxf
x
y
x
x
y
x
x
При
2,0X
6.3, поэтому она возрастает на этом промежутке и
Таким образом, доказано, что при
2,0x
функция
, следовательно, на промежутке
0)(
удовлетворяет всем условиям теоремы
)(
2,0x
tg .
§ 7. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ФУНКЦИИ.
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ. ДОСТАТОЧНОЕ
УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ
ФУНКЦИИ
Пусть функция
Определение 7.1. Говорят, что в точке
имеет
максимум (минимум), если существует такая окрест-
ность этой точки
0
Определение 7.2. Говорят, что функция
строгий максимум (строгий минимум), если существует
Xx
0
такая окрестность этой точки
)()(
0
xfxf
задана на промежутке X.
)(
, что
xV
)(
0
)()(
xfxf
0
xfxf
)()(
при
)(0xV , что
0
xfxf
)()(
при
функция
Xx
0
XxVx )(
0
имеет в точке
)(
xXxVx
Минимумы и максимумы называются
Строгие минимумы и максимумы называются
мумами
.
экстремумами.
строгими экстре-
Теорема 7.1 (необходимое условие экстремума дифферен-
цируемой функции).
Пусть функция
),( ba и имеет на нем производную )(
имеет экстремум, то
)(
задана на промежутке
)(
. Если в точке
0)(0
xf . (7.1)
.
0)0()(
)(
.
.
}{\)(
00
),(0bax
100
Доказательство. Согласно определению экстремума, значе-
x
f
x
f
x
y
x
x
y
x
ние
окрестности
)(0xf является наибольшим или наименьшим для некоторой
xV
0
точки
)(
. Тогда по теореме Ферма
x
0
xf
.
0)(0
Теорема доказана.
Замечание 7.1. Условие (7.1) является необходимым, но не
является достаточным условием существования экстремума.
Например, функция
ко
.
0)0(
3
не имеет экстремума при
)( xxf
, одна-
0
Точки, для которых выполнено условие (7.1), называются
точками стационарности функции или стационарными точками.
промежутке
в
щаяся дифференцируемой на
и в точках, где производная
мер, функции
мы при
Из теоремы 7.1 следует, что в случае дифференцируемой на
функции экстремумы следует искать лишь
),( ba
точках стационарности функции. Однако функция, не являю-
, может иметь экстремум
),( ba
функции не существует. Напри-
)(
(рис. 7.1) и
||
. Экстремумы, показанные на рис. 7.1 и 7.2, называют-
0
3/2
(рис. 7.2) имеют миниму-
xy
ся острыми в отличие от экстремума в точке стационарности функции (см. рис. 3.1), который называется гладким.
2/3
||xy
О
Рис. 7.1
y
3/2
xy
х
О
Рис. 7.2
0
Рис. 7.2
Точки, в которых производная либо не существует, либо равна
являются
«подозрительными на экстремум».
,
0
Сформулируем достаточные условия экстремума.
Теорема 7.2 (достаточное условие строгого экстремума
дифференцируемой функции).
Пусть
101
– точка, «подозритель-
x
0
ная на экстремум» для функции
x
f
xf
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
xxxxxx
y
–
x
n
x
y
n
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
y
x
x
x
x
x
x
xf
x
f
x
f
этой точки
в этой окрестности
, то в точке
xx
0
в окрестности
то в точке
x
0
существует производная
)(0xV
при
)(
xV
0
функция
x
0
)(
xV
0
функция
0)(
имеет строгий максимум.
)(
Доказательство. Пусть
. Тогда непосредственно из теоремы 6.3 следует, что
xx
0
для всех
)()(
xfxf
0
)(0xVx
, и в некоторой окрестности
)(
. Тогда если
)(
xx
0
имеет строгий минимум. Если
)(
при
, кроме
при
0)(
и
xx
0
xx
и
0)(
при
0)(
и
xx
0
. Второе утверждение
0
при
0)(
при
0)(
теоремы доказывается аналогично.
Пример 7.1. Найдем экстремумы функции
x
2
3
Решение.
Точки, «подозрительные на экстремум», – это 6,0
x , где
и 1
2
не существует. Знаки производной
y
2
xy
)1(
3
1
x , где
1
3
13
2
.
)1( xxy
2)1(3
333
показаны
y
на рис. 7.3.
'y
ma
6,0
6,0
Рис. 7.3
mi
1
Таким образом, при 6,0
4
3
мум
0
y (рис. 7.4).
mi
max
3
y
25
5
x функция имеет гладкий макси-
1
, а при 1
326,0
x – острый минимум
2
Теорема 7.3 (достаточное условие экстремума дважды
дифференцируемой функции).
Пусть функция
задана на
)(
промежутке ),( ba и имеет на нем первую производную )(
точка
Если существует вторая производная
),(0bax является точкой стационарности функции )(
)(0xf
, то при 0)(
102
xf
0
,
xx
0
35
.
13
,
0
,
.
функция
x
f
x
f
y
x
x
x
x
x
x
xf
x
f
x
f
ция
имеет в точке
)(
имеет в точке
)(
x
0
минимум.
x
0
максимум, а при
xf
4
3
3
25
5
6,0
О
Рис. 7.4
1
Доказательство. Рассмотрим для определенности случай
0)(
xf
. По определению второй производной имеем
0
xf
lim)(
0
0
x
xfxxf
)()(
00
.
Из определения предела вытекает, что найдется такое число
0 , что при любом
x , 0
справедливо:
xfxxf
)()(
00
.
0
функ-
0)(0
Отсюда получим: при
0
окрестности точки
будем иметь
xx
0
функция
В случае
имеет максимум.
)(
xf
0
. С учетом того, что
)()(
xfxxf
00
x при
0
теорема доказывается аналогично.
0)(
0
xx будем иметь 0)(
0
. Отсюда по теореме 7.2 в точке
0)(
xfxxf
, а при
)()(
00
xf
, а при
0)(0
, в
x
0
Теорема 7.3 позволяет определить характер экстремума функ-
ции в точке ее стационарности.
103
Пример 7.2. Для функции из примера 7.1 установим характер
y
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
xxx
x
x
f
y
x
экстремума в точке
x
1
ее стационарности, используя теорему 7.3.
6,0
Найдем вторую производную:
35
3
15
x
35
x
y
3
13
x
3
и определим ее знак в точке
Таким образом, в точке 6,0
В точке 1
ни, тем более,
x теорему 7.3 применить невозможно, так как ни
2
в этой точке не существуют.
y
x
3
)1(3
x
x :
1
y .
2
)1(3
x
2
x функция имеет максимум.
1
3
x
06,0
)35()1(15
xx
4
)1(9
3
1210
x
4
)1(9
x
Замечание 7.2. Понятие максимума (минимума) носит локаль-
ный характер и может не совпадать с наибольшим (наименьшим)
значением функции на промежутке. Так, в примере 7.1 ни макси-
мум, ни минимум не являются ни наибольшим, ни наименьшим
значениями функции на промежутке
.
),(
Задачи к § 7
Задача 7.1.
Найти экстремумы функции. Используя теоремы
7.2 или 7.3, определить характер этих экстремумов:
x
4
exxf
)32()(
2
t
2
t
x
x
3
3
t
4
3
t
4
;
3
)2(
;
4
)1(
,
.
)3)(21()( xxxf ;
а)
б)
в)
г)
)(
xf
x
y
Решение
П. а). Функция
определена при
)(
. Вычислим ее про-
R
изводную:
,
104
xxxx
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
x
x
x
x
f
y
x
При
7
f
. При
0
4
справедливо
производная
R
7
справедливо неравенство
x
4
, следовательно, по теореме 7.2 в точке
0)(
4
x
.
)814(
xe
имеет единственный корень:
)(
exeexexxf
)32(42)32()32()(
, при
0)(
4444
7
x
4
7
x
4
функция достигает строгого максимума. Вычислим значение функ-
7
ции
f .
Ответ. В точке
7
e
24
7
функция
x
достигает максимума,
)(
4
7
равного
f .
П. б). Функция )(
7
e
24
определена для всех 1
. Вычислим
производную функции:
3342
)2()1(4)1()2(3
xxxx
)(
xf
32
8
)1(
x
8
)1(
x
)8433()1()2(
xxxx
Точки, подозрительные на экстремум, – это 2
2
x
)5()2(
xx
.
5
)1(
x , 52x .
1
Будем использовать теорему 7.2. Исследуем знаки производной
(рис. 7.6). При
водная меняет знак с
ция
достигает строгого максимума
)(
производная знака не меняет. При
2
на . Следовательно, в точке
27
)5( f
произ-
5
функ-
5
.
256
1
2
Рис. 7.6
105
5
x
x
f
x
x
–
y
t
txt
x
t
xx
x
x
x
Ответ. В точке
симума
27
)5( f .
функция
5
достигает строгого мак-
)(
256
П. в). Функция
. Вычислим производную функции:
Rx
3
)(
xf .
3
x
Приравняем ее к нулю, получим
3
x производной не существует. Точки
2
)3)(21()( xxxf определена при всех
74
22
)3()21(3
xx
7
x . В точках
0
4
являются подо-
,, xxx
210
x ,
1
1
2
зрительными на экстремум. Для исследования характера экстремума воспользуемся теоремой 7.2. Исследуем знаки производной (рис.
7.7). При
1
x и при
2
производная не меняет знак, при
3
7
x
4
производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, здесь
3
функция достигает максимума
7
f
4
25
2
.
462,1
+
+
Ответ. При
1
2
x
7
3
4
Рис. 7.7
7
функция достигает максимума
4
3
7
f .
4
25
2
462,1
П. г). Функция задана параметрически. Производные существуют при любом
. Вычислим их:
Rt
322
)(2)4(3
)(
tx ,
t
22
)4(
106
tttt
22
)12(
tt
22
)4(
t
2
t
x
t
x
t
x
x
x
x
x
)(
ty
t
)3(2)4(3
ttt
22
)4(
2
)4(3
t
.
22
)4(
t
По формуле (2.9) получим:
2
)('
ty
)('
tx
возрастает. Обращаем внимание на
)(
Производная
существует при
, то есть функция
0)(
y
x
равна нулю при значениях 2
y
x
0
t . Исследуем знаки производной xy
0
то, что при переходе через значение
меняет, следовательно, соответствующая точка
тремумом не является. При значениях
)4(3
t
22
tt
производная
0
t
0
.
)12(
t , 22t и не
1
,
0
x
0
tt
, 2tt
1
воспользуемся
. При 0t
знака не
y
x
экс-
00y
теоремой 7.3. Найдем вторую производную по формуле (5.7):
2
22
tt
y
x
tt
t
и определим ее знак. При 2
функция достигает минимума. При
)4(3
t
)12(
22
)12(
22
)4(
0
tt
)2(
y , следовательно,
x
0
2
t
2422
)488()4(6
ttt
325
)12(
3
16
)2(
3
16
y , следова-
x
тельно, функция достигает максимума. Вычислим значения:
,
1)2(
Ответ. При
3
)2( y
;
,
1)2(
4
функция достигает минимума
1
3
.
)2( y
4
3
y ; при
4
функция достигает максимума
1
3
.
y
4
Задача 7.2. Найти наибольшие и наименьшие значения функ-
ции:
а) 710186)(
б)
23
)4()(
exxf
, ]10,10[
xxxxf на промежутке ]1,0[ ;
||32
x
;
107
x
sin
x
f
x
f
x
f
x
x
f
f
x
x
f
x
ff
f
fxf
x
f
x
f
x
x
f
fxf
x
f
2
, ]5,5[x ;
x
,
.
],[
в) xxxf 2)6ln()(
г)
xf
)(
cos2
Указание.
Для нахождения наибольшего и/или наименьшего
значений непрерывной функции, заданной на замкнутом промежутке, достаточно среди подозрительных на экстремум точек выделить те, которые попали на рассматриваемый промежуток, и вычислить в них значения функции, затем вычислить значения функции на концах интервала. Среди всех найденных значений функции
следует выбрать
наибольшее и/или наименьшее.
Решение
П. а). Вычислим производную функции и приравняем ее к нулю:
1
22
1
x ,
3
0)5189(2103618)(
xxxxxf ,
5
x . Среди этих то-
2
3
1
. Вы-
3
откуда найдем корни производной:
чек лишь
x принадлежит заданному промежутку: ]1,0[
1
числяем в ней значение функции:
f
3
23
3
3
7
3
10
18
6
1
6330182
9
49
.
9
Вычисляем значения функции на концах промежутка:
63
7)0( f ,
.
9710186)1(
9
Выбираем среди найденных значений наибольшее и наимень-
шее.
Ответ. Функция
наименьшего значения в точке
1
ния – в точке
x и
f .
3
П. б). Функция
достигает на промежутке ]1,0[
)(
и
1
1
3
49
9
||32
x
)4()(
exxf
, наибольшего значе-
9)1(
32
x
32
x
xex
xex
,0,)4(
.0,)4(
Вычислим и приравняем нулю производную функции.
При
будем иметь:
0
3323
xxx
0)314)(4()4(3)4(2)(
exxexexxf ,
108
производная
x
f
f
x
x
f
x
f
f
f
x
f
x
f
x
f
x
x
f
f
x
f
x
f
обращается в 0 при 4
)(
значения функции в этих точках:
При
будем иметь
0
В этой области производная
При
значения
0
f
0)(
.
56)0(
x ,
1
,
0)4(
,
f
14
3
14
x . Вычислим
2
3
4
14
.
ef
9
xxx
3323
.
exxexexxf
)103)(4()4(3)4(2)(
не совпадают,
40)0(
следовательно, производной не существует.
Выбираем среди значений функции 16)0(
4
14
3
14
ef ,
196)10(
30
ef ,
9
36)10(
ef наибольшее
, 0)4( f,
30
и наименьшее. Приходим к выводу, что наименьшим значением
функции является
Ответ. Функция
, наибольшим
0)4(
достигает на промежутке
)(
наименьшего значения в точке
ния – в точке
и
0
16)0(
П. в). На промежутке
и
4
.
]5,5[ функция xxxf 2)6ln()(
.
16)0(
, наибольшего значе-
0)4(
2
определена и непрерывна. Вычислим и приравняем к нулю ее производную:
x
2
2
6
,
02
или
2
xx
2122
2
6
откуда найдем корни этого уравнения:
. Вычислим значения функции:
)5,5(22x
ляется 42ln)2(
Ответ. Функция
,
52)5( f
, наименьшим 52)5( f .
. Наибольшим значением функции яв-
52)5( f
достигает на промежутке
)(
наименьшего значения в точке
наибольшего значения – в точке
2
и
,
0
)5,5(31x ,
42ln)2(
5x
и
.
42ln)2(
52)5( f ,
]10,10[
,
]5,5[
109
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]