Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по интеграционной механике. Компьютерный комплекс лабораторных работ по взаимосвязанным нелинейным задачам
.pdf
3.5. РЕЗОНАНС 69
где p2=
c
m
x = x
−
P
; h =
m
cos pt+
0
hω
p (p2− ω2)
h
+
p2− ω
; при начальных условиях (3.23) решение
˙x
0
sin pt (свободные колебания);
p
sin pt (сопровождающие колебания);
sin ωt (чисто вынужденные колебания).
2
Коэффициент динамичности для данной задачи:
1 −
1
.
2
ω
p
η =
A
дин.
=
A
ст.
Если
ω → p, η →∞.
Это инженерное понятие резонанса, технический резонанс, который определяется ростом амплитуды перемещений при совпадении частоты вынужденных колебаний с частотой свободных колебаний. Свободные колебания
не связаны с резонансом, с резонансом связана частота свободных колебаний. В общем операторе информации три составляющие: математическая,
физическая, системная. Но системную составляющую резонанса разбиваем на две части: технический резонанс и системный резонанс. Это связано с тем, что понятие технического резонанса общепринято, а коэффициент динамичности удобен для многих инженерных задач. Зависимость η
от ω · p
−1
дана на рис. 3.9.
0
||h
1
1
Рис. 3.9
w
P
70 ГЛАВА 3
Совпадение по частоте сопровождающих и чисто вынужденных колебаний является истинным понятием резонанса, но дадим ему название математического. Если быть точным, то это понятие резонанса должно иметь
название физического, но вс¨е значительно интереснее, даже в такой тривиальной задаче.
Математическое понятие резонанса:
lim
ω→p
hω
−
p (p2− ω2)
sin pt+
При ω → p общее выражение имеет вид
h
p2− ω
sin ωt=
2
= lim
ω→p
h (−ω sin pt+ p sin ωt)
p (p2− ω2)
0
. Воспользуемся правилом
0
.
Лопиталя (продифференцируем числитель и знаменатель по ω), получим
вековой член
ht
cos pt.
−
2 p
Амплитуда при резонансе возрастает пропорционально t. Сколько резонансов имеет система с одной степенью свободы? Знаменитый советский
физик И. Мандельштам заметил, что для системы с одной степенью свободы существует много резонансов.
Действительно
x = x
cos pt+
0
˙x
0
sin pt−
p
hω
p (p2− ω2)
sin pt+
h
p2− ω
sin ωt.
2
Резонанс по x,резонанспо ˙x, резонанс по ускорению ¨x ит.д.—все
эти резонансы отличаются по амплитуде, знаку.
Системный резонанс возникает в реальных изделиях. При многократном ударном нагружении пружинного механизма напряжения в пружине
не успевают затухать к следующему удару и начинается рост напряжений
от удара к удару. В более сложных системах могут возникать другие виды
системного резонанса, который связан непосредственно с особенностями
конструкций.
3.6. Аналитико-численный метод определения
коэффициента демпфирования свободных колебаний
Целью лабораторной работы является исследование эффекта изохронности колебаний на примере свободных колебаний системы с одной степе-
3.6. АНАЛИТИКО-ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА 71
нью свободы. В соответствии с принципом изохронности колебаний амплитуда колебаний может существенно изменяться, в то время как собственная
частота системы изменяется незначительно.
Описание экспериментальной установки
Экспериментальная установка представляет собой стол, упругосвязанный с основанием при помощи стальных пластин. На столе закреплен электродвигатель постоянного тока, на валу которого посажен диск с эксцентричной массой. Иной вариант установки [12] эксцентричной массы — через специальную передачу тонким тросиком. При вращении диска с эксцентричной массой возбуждаются поперечные колебания стола. Для динамического гашения этих колебаний на столе на специальной вертикальной
пластине устанавливается груз. На упругих пластинах стола и груза наклеены тензодатчики. Сигналы с тензодатчиков поступают на тензостанцию УТС-12-35. После усиления сигналы фиксируются шлейфным или катодным осциллографом. Прямая запись частоты колебаний стола или груза
может быть получена на электронном частотомере Ч3-28. В педагогических
целях целесообразнее запись колебаний производить на измерительном
комплексе: тензоусилитель «ТОПАЗ-4», регистрирующий прибор Н336-6П
и блок питания Б5-45. Запись перемещений на бумажной ленте позволяет
дать более наглядную расшифровку процесса изменения амплитуды свободных колебаний.
Свободные колебания возбуждаются импульсом удара по столу установки в продольном направлении. Жесткость C представляет эквивалентную жесткость всех восьми пружин установки. На данном этапе исследования конкретное знание жесткости стола необязательно.
Привед¨ем некоторые аналитические сведения, необходимые для понимания выполнения данной лабораторной работы. Линейный осциллятор
с демпфированием, пропорциональном скорости движения, представлен на
рис. 3.10.
График свободных затухающих колебаний представлен на рис. 3.11.
Составим уравнение движения линейного осциллятора, где роль активной силы выполняет сила трения:
m¨x + cx = −F
условное равновесие по Даламберу:
m¨x + a ˙x + cx =0,
= −a˙x,
x
72 ГЛАВА 3
Рис. 3.10
X
m
x
-nt
e
X
O
X
1
2
t
T
y
Рис. 3.11
математическое уравнение:
¨x +2n ˙x + p
a
n =
2m
2
x =0, (3.43)
c
; p
2
,
=
m
где n имеет размерность частоты p. Характеристическое уравнение
для (3.43):
2
+2nr + p2=0,
r
корни характеристического уравнения:
= −n ±n2− p2; n2 p2.
r
1,2
3.6. АНАЛИТИКО-ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА 73
Вводим новое понятие частоты свободных колебаний с учетом демпфирования, пропорционального скорости нагружения:
2
= p2− n2,r
p
1
= −n ± p1i, i =√−1.
1,2
Общее решение:
x = C
(−n+p1i) t
e
1
+ C2e
x
1
=
x
2
(−n−p1i) t
−nt
e
−n(t+T )
e
−nt
= e
(C1cos p1t + C2sin p1t),
· sin p1t
sin p1(t + T)
.
Отношение последовательных амплитуд позволяет определить логарифмический декремент затухания (nT ):
x
1
= enT.
x
2
Логарифмический декремент затухания определяется численно-аналитическим методом на основании формулы
x
1
= nT. (3.44)
ln
x
2
Отношение амплитуд находится по экспериментальной записи осциллограммы перемещения. Далее определяем натуральный логарифм этого соотношения. Для определения коэффициента демпфирования n необходимо
определить условный период свободных колебаний T .
Расстояние между пиками максимальных амплитуд перемещений
(рис. 3.11) определяем по формуле
S
T =
, (3.45)
V
где V — скорость протяжки (в данном эксперименте она принимается
−1
25 мм · с
).
Воспользуемся биномом Ньютона
n
(1 + x)
=1+nx, x 1,
для получения зависимости периода колебаний с учетом трения от периода
колебаний без учета трения:
T =
2π
p
2π
=
1
p
1 −
0
= T
0
2
n
2
p
0
1+
1
2
2
n
T
.
0
74 ГЛАВА 3
При наличии трения амплитуды существенно уменьшаются, а период
колебаний возрастает незначительно. Это явление известно со времен Гали-
x
1
лея, который обнаружил его во время богослужения в церкви. Если
=0,994 p0. Для простейших систем амплитудный анализ проводят
то p
1
=2,
x
2
вместе с частотным спектром, но в сложных системах частотный спектр
анализируется по одной модели, амплитудно-частотная характеристика —
по более простой модели. В этом важная практическая ценность явления
изохронности колебаний.
Если будем фиксировать не один пик, а несколько пиков N ,тологарифмический декремент затухания будет определяться по формуле
nT =ln
x
x
N+i
1
i
. (3.46)
·
N
Определяем частоту свободных колебаний с учетом демпфирования (p
)по
1
формуле
2π
2
p
=
1
. (3.47)
T
y
После определения коэффициента демпфирования n находим собственную частоту свободных колебаний стола (p
2
2
= p
p
+ n2. (3.48)
0
1
)поформуле
0
Оформление лабораторной работы
1) Указать цель лабораторной работы.
2) Нарисовать установку.
3) Перечислить составляющие измерительного комплекса.
4) Представить осциллограмму движения.
5) Выполнить расч¨ет логарифмического декремента затухания.
6) Определить период свободных колебаний с учетом затухания.
7) Определить коэффициент демпфирования.
8) Определить частоту свободных колебаний с учетом затухания.
9) Определить частоту свободных колебаний без уч¨ета затухания.
10) Сопоставить соотношения амплитуд за один период колебаний в про-
центах и соотношения собственных частот с учетом и без уч¨ета зату-
хания в процентах.
3.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННОЙ ЧАСТОТЫ СИСТЕМЫ 75
3.7. Лабораторная работа. Определение собственной
частоты системы различными методами
Различные способы определения собственной частоты системы
с одной степенью свободы
Установка для определения собственных частот является прежней, которую применяли в лабораторной работе, в которой изучался первый способ определения собственной частоты установки через анализ свободных
колебаний с затуханием.
Целью данной работы является демонстрация возможности получения одной и той же физической величины (собственная частота колебаний
системы является физическим параметром реальной установки) разными
способами.
Способы определения собственной частоты системы с одной степенью
свободы:
1) определение собственной частоты свободных колебаний через исследование свободных колебаний с затуханием;
2) непосредственно создание условий резонанса и запись резонансной частоты;
3) расчетным методом, с определением жесткости стола и его массы;
4) запись эффекта антирезонанса, где необходимо записать эксперимен-
тальную собственную частоту дополнительной системы;
5) расчетным методом, с определением жесткости упругой пластины для
дополнительного груза и определения массы груза.
Записать значение резонанса системы с одной степенью свободы уда-
лось в [12] четырьмя способами:
1) специальным прибором, которым определяют число оборотов вала (такие приборы есть в любом цехе, где используют токарные станки);
2) сигналы с тензодатчиков усиливаются на тензостанцию УТС-12-35.
После усиления сигналы записываются на электронно-лучевом осциллографе С1-19Б;
3) сигналы с тензодатчиков усиливаются в приборе «ТОПАЗ-4», поступают на регистрирующий прибор Н338-6П;
4) сигналы с тензодатчиков записываются электронно-сч¨етным частото-
мером Ч3-28.
Расшифровка экспериментальной записи резонанса на установке вы-
полняется по методике предыдущей лабораторной работы.
76 ГЛАВА 3
После включения в работу установки медленно увеличиваем сопро-
тивление якоря двигателя постоянного тока. При появлении максимальной
амплитуды увеличиваем число оборотов двигателя и убеждаемся, что амплитуда колебаний стола установки уменьшается.
Явление резонанса стола необходимо повторить несколько раз. Это
второй способ определения резонанса. Желательно применить и два других,
указанных ранее, экспериментальных способа записи резонанса. Скорость
протяжки записывающей ленты желательно принять 25 мм/с.
Третий способ определения собственной частоты колебаний установ-
ки — расчетный. Для этого необходимо знать массу стола. Для данной установки она известна (написана прямо на столе). Одной из задач лабораторной работы будет экспериментальное определение массы стола по известной экспериментальной записи резонанса и по расчетной величине жесткости стола.
Определение жесткости пластинчатых пружин стола
На основании решения из курса «Сопротивление материалов» жест-
кость при данном закреплении пластин равна (для одной пластины)
12EI
x
C =
где E — модуль упругости, который равен 2,1 · 10
I
=
x
l
bh
12
,
3
11
Па;
3
— момент инерции балки при изгибе; b, h — ширина и толщина пластины
соответственно.
Суммарная жесткость стола:
96EI
C
жестк.
=
x
.
3
l
Собственная частота колебаний стола равна
p =
C
жестк.
m
0,5
.
Четвертый способ определения собственной частоты стола — с приме-
нением эффекта антирезонанса, который является наиболее эффективным
методом демпфирования колебаний.
3.8. ДЕМПФИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ 77
3.8. Демпфирование колебаний
Резонансные явления опасны, ведут к поломке изделий, нарушают ра-
боту изделия. Методов гашения колебаний много, но мы ограничимся пятью методами.
Основные методы демпфирования колебаний:
1) работать вдали от резонанса, ближе к статике (рис. 3.10, точка A);
2) работать вдали от резонанса, дальше от резонанса, но с увеличением
ω, ω>p
3) работать на самом резонансе! Принцип «превратить вред в пользу»;
антирезонанс.
4) демпфирование (пропорционально скорости, сухое трение, специальные демпферные устройства);
5) демпфирующий материал; специальные добавки, демпфирующие колебания (знаменитая шведская проволока в клапанных пружинах).
(точка B на рис. 3.10);
0
Рис. 3.12
Кроме рассмотренных пяти способов гашения колебаний, рассмотрим
метод гашения, предложенный А. Д. Полищуком. Этот метод был доложен
на семинаре академика АН СССР Фролова К. В. в знаменитом институте машиноведения имени акад. Благонравого А. А. (г. Москва) по личному
приглашению Фролова К. В., который многие годы занимался проблемой
гашения колебаний. Смысл методики Полищука А. Д. в том, что подбираются параметры пружины такими, что одновременно необходимо «накачать» сразу три резонанса. Этот эффект назван автором «размывом резонанса», он основан на новой теории взаимосвязанных нелинейных колебаний
цилиндрических пружин. Этот метод позволяет создавать безрезонансные
клапанные пружины и безрезонансные пружинные подвески.
78 ГЛАВА 3
3.9. Антирезонанс. Теория и практика
Теоретические сведения об антирезонансе.
Когда возникает резонанс (технический) в системе (рис. 3.4), то присо-
единяем аналогичную систему по частоте. Имеем равенство парциальных
частот:
Рассмотрим это явление подробнее. Схема движения двухмассовой си-
стемы — на рис. 3.13.
Составим уравнения движения:
+ c1x1− c2( x2− x1)=P sin ωt,
m
1¨x1
m
c
1
2
=
p
1
m
+ c2( x2− x1)=0.
2¨x2
= p
1
Рис. 3.13
2
2
c
2
=
.
m
2
Определяем решение в виде
= a1sin ωt, x2= a2sin ωt.
x
1
Амплитуды a
, a2находим из системы алгебраических уравнений:
1
(−m1ω2+ c1+ c2) − a2· c2= P,
a
1
(−c1)+(−m2ω2+ c2) · a2=0,
a
1
a
=
1
ω2+ c1+ c
−m
1
=
a
2
ω2+ c1+ c
−m
1
P · (−m
−c
2
−c
2
ω2+ c2)
2
2
P · c
2
−c
−m2ω2+ c
2
−c
−m2ω2+ c
,
2
2
.
2
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]