Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по интеграционной механике. Компьютерный комплекс лабораторных работ по взаимосвязанным нелинейным задачам
.pdf
3.3. ОСНОВНОЙ ИНФОРМАЦИОННЫЙ КОМПАКТ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ НЬЮТОНА 59
Для решения однородного уравнения (3.20) необходимо знать началь-
ные условия, которые примем одинаковыми для задачи (рис. 3.4) и задачи
(рис. 3.5):
x =0,x= x
, ˙x =˙x0. (3.23)
0
Характеристическое уравнение для уравнения (3.20):
2
+ p2=0. (3.24)
r
Для получения характеристического уравнения воспользовались функцией
Эйлера
x
= ert. (3.25)
1
Эта формула обладает свойством ваньки-встаньки, основная информа-
ция не меняется:
= r2· ert.
¨x
1
В математике такие функции называются обобщенными. Замечатель-
ным свойством обладают и гармонические функции, где основная информация сохраняется при вторых производных.
Сучетомначальныхусловий
˙x
0
= x0,C2=
C
1
окончательно
x
= x0cos pt +
1
Перейдем к решению уравнения (3.21). Частное решение x
,
p
˙x
0
sin pt. (3.26)
p
2
ищем
ввиде
= Asin ωt. (3.27)
x
2
Учет особенности второй производной гармонической функции позволяет
просто найти амплитуду A:
2
A sin ωt + p2A sin ωt = h sin ωt;
−ω
A =
p2− ω
Общее решение уравнения (3.16):
x = C
cos pt+ C2sin pt+
1
h
.
2
p2− ω
h
sin ωt. (3.28)
2
60 ГЛАВА 3
Постоянные C1и C2(это уже третьи постоянные C1и C2)отличаются
от постоянных в решении (3.22), так как они должны выбираться при тех же
начальных условиях (3.23), но для уравнения (3.16). Это позволяет найти
постоянные:
t =0,x= x
,C1= x0, ˙x =˙x0= −pC1sin pt+ pC2cos pt,
0
C
= x0,C
1
2
˙x
0
−
=
p
hω
p(p2− ω2)
.
Сгруппируем общее решение так, чтобы наглядно были видны свобод-
ные, чисто вынужденные, сопровождающие колебания:
˙x
x = x
−
cos pt+
0
hω
p (p2− ω2)
+
p2− ω
0
sin pt (свободные колебания),
p
sin pt (сопровождающие колебания),
h
sin ωt (чисто вынужденные колебания).
2
(3.29)
Коэффициентом динамичности называют отношение динамической
амплитуды к статической. Для задачи на рис. 3.4 коэффициент динамичности:
A
η =
A
c = mp
d
,Ad=
c
2
,η=
h
p2− ω
2
mp
P · c
1 −
=
2
ω
p
mp
2
2
P
2
· P
1 −
=
ω
p
1 −
,A
2
2
1
2
ω
2
p
.
P
,
=
c
c
(3.30)
Возвращаемся к иному методу решения уравнения (3.17). Почему ре-
шение ищем в виде (3.19). Мы уже знаем особенность гармонических функций. В выражении (3.19) используется прием аналогии (с решением линейного осциллятора). Постоянные должны быть найдены из двух условий:
обязательное удовлетворение исходному уравнению (3.17); второе условие
остается произвольным. Рассмотрим первую производную:
˙x = −C
p sin pt+ C2p cos pt+˙C1cos pt+˙C2sin pt. (3.31)
1
Реализуем второе условие:
˙
C
cos pt+˙C2sin pt=0.
1
3.3. ОСНОВНОЙ ИНФОРМАЦИОННЫЙ КОМПАКТ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ НЬЮТОНА 61
Это позволяет упростить (3.31):
˙x = −C
p sin pt+ C2p cos pt.
1
После данного упрощения имеем
¨x = −C
p2cos pt− p2C2sin pt−˙C1p sin pt+ p˙C2cos pt.
1
Исходное уравнение приобретает вид
p2cos pt− p2C2sin pt−˙C1p sin pt+˙C2cos pt+
− C
1
2
C1cos pt+ p2C2sin pt=
+ p
Относительно˙C
Если желаем найти C
,˙C2получаем систему уравнений
1
˙
C
cos pt+˙C2sin pt=0,
1
−˙C
p sin pt+ p˙C2cos pt=
1
и C2из (8.32), то эта система дифференциаль-
1
ных уравнений, а если сначала искать˙C
Q(t)
.
m
Q
.
m
,˙C2, то система уравнений (3.32) —
1
(3.32)
тривиальная система алгебраических уравнений по правилу Крамера определяем
Q
· sin pt
˙
−
C
=
1
cos pt sin pt
−p sin pt pcos pt
˙
C
=
2
m
Q
m
· cos pt
p
=
Q
mp
= −
Q
mp
· cos pt.
· sin pt,
Наши гармонические функции позволяют изящную запись знаменате-
ля:
cos pt sin pt
−p sin pt pcos pt
= p(cos
2
pt+sin2pt)=p.
Окончательно находим C
t
0
Q(τ)
sin pτ dτ, C
mp
C
1
= D1−
, C2только после интегрирования˙C1,˙C2:
1
t
Q(τ)
= D2+
2
0
mp
cos pτ dτ.
62 ГЛАВА 3
Подставляя C1, C2в выражение (3.19), получаем общий вид решения:
t
x =D
cos pt+ D2sin pt+cospt
1
t
+sinpt
0
(+1) ·
Q(τ)
mp
0
cos pτ dτ.
(−1) ·
Q(τ)
mp
sin pτ dτ +
(3.33)
В выражении (3.33) cos pt, cos pτ имеют одинаковую математическую
оболочку, но для cos ptвремя t конечно, а для cos pτ время переменное, находится под интегралом. Следовательно, cos pt, sin pt в выражении (3.34)
являются постоянными величинами и их можно внести под знак. Решение уравнения (3.17):
t
x = D
cos pt+ D2sin pt+
1
Постоянные D
D
= x0,D2=
1
, D2определяем из начальных условий (3.23). Общее
1
1
Q(τ) · sin p (t − τ ) dτ,
mp
0
˙x
0
.
p
решение уравнения (3.17):
t
˙x
0
x = x
cos pt+
0
sin pt+
p
Подведем итог решениям уравнений (3.16) и (3.17). Величины C
1
Q(τ) · sin p (t − τ ) dτ. (3.34)
mp
0
1
, C
входили как в решение (3.22), так и в (3.28) и в выражение (3.19), но выполняли они разные функции. В одном случае они были постоянными для
подсистемы ((3.29) — подсистема для (3.16)), постоянными для системы
с учетом особенности задачи (3.16) или переменными для системы с произвольным законом нагружения (3.17). Выражение (3.34) отличается от (3.29)
тем, что под интегралом объединены как сопровождающие колебания, так
и чисто вынужденные.
Внезапное приложение силы к колебательной системе. Если система
находится в покое и к ней внезапно прикладывается постоянная сила, то сама система начинает колебаться и при этом процесс колебаний происходит
2
3.4. ПРАКТИКУМ ПО ИНФОРМАЦИОННОЙ МЕХАНИКЕ 63
около статического равновесия. Простейшим примером являются колебания линейного осциллятора при внезапном приложении силы. Если начальные условия нулевые, а Q =const,то
t
Q
=
0
(1 − cos pt).
2
mp
Q
x =
mp
Так как p
t
sin p (t − τ ) dτ =
0
2
= cM−1,тоQm−1p−2= xct;
Q
mp
cos p (t − τ )
2
x = x
(1 − cos pt). (3.35)
ct
При внезапном приложении постоянной силы колебательная система (без
демпфирования) имеет параметры изменения x от0до2.Этимиобъясняется минимальный запас прочности, равный 2, принимаемый при динамических нагрузках.
3.4. Практикум по информационной механике
Подробно рассмотрим при¨ем «решить задачу, не решая задачи».
Данный пример был рассмотрен на научном семинаре в МВТУ
им. Н. Э. Баумана (кафедра «Динамика машин», ныне кафедра «Прикладной механики»), в политехническом институте (г. Минск) на кафедре «Теоретическая механика» (1999 г.), на семинаре повышения квалификации для
преподавателей теоретической механики Министерства высшего образования Российской Федерации (г. Москва, 1990 г.).
Комплекс приемов творчества, позволяющий решить задачу, не прибегая к общепринятой логике, выделим в отдельный тип интеграционной механики, которую назовем информационной механикой. «Чтобы решить задачу, надо знать ответ» (Д. Пойя [10]). Информационная механика — умение
пользоваться логикой изобретателя, решать задачу при неполной информации. В информационную механику войдут следующие приемы: инверсия,
декомпозиция, интеграция (вместо решения отдельных простых задач решается одна общая задача), учет особенности задачи, применения дополнительной информации, философская вилка: положительная, нейтральная,
отрицательная теории. На рис. 3.6, 3.7, 3.8 представлены три задачи колебаний математического маятники с упругой связью. Необходимо оценить
влияние ориентации на собственную частоту системы. В постановке задачи
не говорится о необходимости составлять уравнения движения, требуется
найти собственную частоту.
64 ГЛАВА 3
a
c
mg
Рис. 3.6. Влияние ориентации на собственную частоту математического маятника.
Задача № 1
mg
ϕ
l
c
a
l
Рис. 3.7. Задача № 2
ϕ
3.4. ПРАКТИКУМ ПО ИНФОРМАЦИОННОЙ МЕХАНИКЕ 65
mg
l
ϕ
a
Рис. 3.8. Задача № 3
c
Поставим инверсионную задачу: сначала найдем влияние ориентации
на собственную частоту, а потом составим уравнения движения для каждой отдельной задачи. Рассматриваем все три задачи одновременно, при
этом легче оценить особенность каждой задачи в отдельности. Общим во
всех трех задачах является математический маятник. Прием дополнительной информации заключается в том, что известно решение упрощенной
задачи (в народе такой прием называют «танцевать от печки»).
Решающий задачу должен знать свой ум, а атлет — сво¨е тело примерно
так же, как жокей знает своих лошадей (Д. Пойя).
Повторим решение нахождения собственной частоты для математического маятника. Исходное физическое уравнение:
d
2
(ml
dt
˙ϕ)=−mgl sin ϕ,
l = const, m = const, sin ϕ = ϕ;
уравнение движения:
2
ml
¨ϕ + mglϕ =0,
математическое уравнение движения
2
ϕ =0;
¨ϕ + p
квадрат собственной частоты:
g
2
p
. (3.36)
=
l
66 ГЛАВА 3
Для математического маятника выражение (3.37) является правильным, но
в нашей постановке математический маятник является не самой задачей,
а задачей образа. Поэтому правильным ответом является следующий:
mgl
2
=
p
. (3.37)
2
ml
Итак, преждевременное сокращение на ml явилось грубейшей ошибкой для
нашей задачи. Чем отличается наша первая задача от задачи на рис. 3.4? Наличием момента упругих сил. Будем искать величину момента упругих сил?
Если мы его будем искать, то нарушим при¨ем решения задачи, не решая задачи. Сначала найд¨ем место, куда необходимо записать нашу информацию.
Есть два варианта в формуле (3.38): числитель и знаменатель. В знаменателе — момент инерции, который связан с моментом количества движения.
В числителе — информация о внешнем моменте (момент силы тяжести относительно точки подвеса). Получаем первое приближение нашей задачи,
так как нашли место расположения дополнительной информации:
mgl + •••
2
=
p
ml
. (3.38)
2
Мы имеем два параметра: c и a. Произведение c · a дает только значение
силы (жесткость на перемещение); чтобы размерность в числителе не изменилась, необходимо принять неизвестное выражение c ·a
ближение к ответу:
p
2
=
mgl + ca
ml
2
. (3.39)
2
2
. Второе при-
Но нам нужен ответ для каждой задачи, поэтому вместо sign + подставим
sign ±;
2
p
±mgl ±ca
=
ml
2
. (3.40)
2
Подведем промежуточный итог: решали упрощенную (рис. 3.4) задачу, где
воспользовались готовым решением, а записали решение всех трех задач.
Если мы владеем интеграционной механикой, то можно заметить ошибку
в решении (3.41), но мы и ее искать не будем, постараемся найти решение
иным пут¨ем. Прием «решить задачу, не решая задачу» в математике имеет
классическим примером теорему Штурма о нахождении количества корней
в алгебраическом уравнении по изменению знака коэффициентов алгебраического уравнения. Итак, вместо составления уравнений движения займемся знаками в числителе выражения (3.41). Составляем таблицу (табл. 3.1).
3.4. ПРАКТИКУМ ПО ИНФОРМАЦИОННОЙ МЕХАНИКЕ 67
Таблица 3.1
№задачи sign mgl sign c · a
1 + +
2 0 +
3 − +
2
Почему задачи располагаем по порядку 1, 2, 3? Может, удобнее другой
порядок. При рассмотрении нескольких задач сразу целесообразнее помнить о философской вилке. Можно с уверенностью предполагать, что первая и третья задачи противоположны. Третья задача — это первая задача,
поставленная на «попа». Геометрическая инверсия. В какой последовательности решать задачи? Если будем решать первую, вторую, третью, то мы
затрудним пользование философской вилкой. Поэтому «решаем» первую,
потом третью, а затем только вторую задачу. В первой задаче момент веса
и момент упругой силы имеют одинаковый знак. В третьей задаче момент
2
веса и момент упругой силы имеют разный знак. Что принять за sign(ca
)?
Положительный знак (+) или отрицательный знак (−)? Естественно, момент упругой силы — положительная величина, он будет больше момента
веса, так как не может быть величиной отрицательной. Если момент веса будет больше момента упругой силы, то колебаний не будет. Нас же
интересует процесс колебаний. Как видим, неявно используется при¨ем до-
2
полнительной информации. Поэтому sign+ относится к c ·a
,sign—кmgl.
Переходим ко второй задаче. Система возвращается в исходное поло-
2
жение, как в 1 и 3 задачах. Следовательно, sign + для c ·a
.Sign− для mgl?
Мы имеем в первой задаче sign + для mgl, в третьей sign — для mgl.Учитываем философскую вилку. Интуитивно чувствуем необходимость нуля.
Правильно! Почему 0, не знаем. Внимание: мы чувствуем решение интуитивно по предложенной схеме, по философской вилке. Мы получили правильный ответ, но не знаем, как это доказать физически. Окончательный
ответ:
⎛
⎞
+
⎝
⎠
−
mgl + ca
0
2
=
p
ml
2
2
. (3.41)
После того как задача решена, вернемся к началу и составим уравнения
движения, чтобы понять физические особенности задачи.
68 ГЛАВА 3
Составим математические уравнения:
задача 1: ¨ϕ + p
задача 2: ¨ϕ + p
задача 3: ¨ϕ + p
2
ϕ =0,p
2
ϕ =0,p
2
ϕ =0,p
+ mgl + ca
2
=
+ ca
2
=
ml
−mgl + ca
2
=
ml
2
ml
2
2
;
2
Перейдем к получению физического уравнения, предшествующего ма-
тематическому уравнению:
2
задача 1: ml
задача 2: ml
Задача 3: ml
¨ϕ +(mgl + ca2)ϕ =0;
2
¨ϕ + ca2ϕ =0;
2
¨ϕ +(−mgl + ca2)ϕ =0.
Почему во второй задаче не учитывается момент веса?
Возвращаемся к физическому смыслу закона Ньютона
2
˙ϕ)
d(ml
dt
e
. (3.42)
= M
Изменение момента количества движения системы равно изменению
внешнего момента, действующего на систему.
Правильная запись уравнений движения для задач:
2
задача 1: ml
задача 2: ml
задача 3: ml
¨ϕ =0− mgl sin ϕ − ca2tg ϕ;
2
¨ϕ = mgl − mgl cos ϕ + ca2tg ϕ;cosϕ ≈ 1; mgl cos ϕ ≈ mgl;
2
¨ϕ =0+mgl sin ϕ − ca2tg ϕ.
2
;
2
.
3.5. Резонанс (технический, математический, физический,
системный)
Рассмотрим линейный осциллятор при гармоническом законе нагру-
жения (рис. 3.4). Нами ранее получены физическое уравнение движения
m¨x + cx = P ·sin ωt,
математическое уравнение
2
x = h ·sin ωt,
¨x + p
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]