Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по интеграционной механике. Компьютерный комплекс лабораторных работ по взаимосвязанным нелинейным задачам
.pdf
2.5. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ 39
Ускорение a2получаем, рассматривая изменение переносной скорости
под влиянием относительного движения (рис. 2.17)
e
= ω(x2− x1= ωe· Δx,
ΔV
r
e
· Δx
Ускорение a
ω
=
a
2
Δt
обладает свойствами? аналогичными a1.
2
= ω
e
· Vr.
Правило построения ускорения Кориолиса (правило профессора
Н. Е. Жуковского): необходимо спроектировать относительную скорость на
физическую плоскость; полученную проекцию относительной скорости по-
◦
вернуть на 90
в сторону вращения ωe; на выбранном направлении отло-
жить модуль ускорения Кориолиса.
Рис. 2.18
На рис. 2.19, 2.20, 2.21, 2.22, 2.23, 2.24 рассмотрена наиболее про-
стая задача исследования сложного движения точки. В учебной литературе
очень часто все виды ускорений собраны на одном рисунке. Структура последовательности рисунков следующая.
1) Заданная схема задачи — рис. 2.19, на этом рисунке указаны начало
и линия действия относительного движения, направление вращения
e
переносного движения (ϕ
).
40 ГЛАВА 2
Рис. 2.19
Рис. 2.20
2) Определяем физическую плоскость для нашей задачи (в данном случае это плоскость чертежа), на которой будут располагаться все наши
искомые величины:
V
r,Ve,VM
,ac,ae,aM.
2.5. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ 41
Рис. 2.21
Рис. 2.22
3) На рис. 2.20 определяется абсолютная скорость точки M , для чего чис-
ленно определяются истинное положение точки M, величина O
1
M,
направление и модуль относительной скорости, направление и величи-
42 ГЛАВА 2
Рис. 2.23
Рис. 2.24
на угловой скорости переносного движения ωe, направление и модуль
переносной скорости V
ходится абсолютная скорость V
, по правилу параллелограмма графически на-
r
сложного движения точки M .
M
2.5. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ 43
4) На рис. 2.21 определяется ускорение Кориолиса, для чего необходимо
знать направление относительной скорости V
скорости переносного движения ω
e
.
5) На рис. 2.22 представлены получение переносного ускорения a
компоненты
τ
n
,a
,
a
e
e
, направление угловой
r
e
иего
а также указаны направления угловой скорости и углового ускорения —
e,εe
ω
6) На рис. 2.23 показано относительное ускорение ar.
7) На рис. 2.24 приведены абсолютное ускорение точки Ma
ивсеком-
M
поненты е¨е определения:
τ
n
a
,a
,ar,ac,ωe,εe.
e
e
Начальные исходные данные:
e
ОМ = S(t) см,ω
= ωe(t) рад,t= tкс.
Основные искомые величины для рис. 2.19–2.24:
V
r
ω
ε
c
|a
| =2ωe· Vr(см · c−2);
e
a
=((ωe)2· O1M)2+(εe· O1M)2)
a
Суммарное ускорение (a
dОМ
=
dt
dϕ(t)
e
=
dt
e
(t)
dω
e
=
dt
dV
r
r
=
dt
) можно получить графически, проектируя
M
(см · c
(c
(c
(см · c
−1
−2
−2
−1
);
);
);
0,5
;
).
на оси X, Y проекции всех ускорений, по суммарным величинам проекций
ускорений по правилу параллелограмма найд¨ем ускорение a
.
M
Алгоритм решения аналогичной задачи, но с более сложным нахож-
дением ускорения Кориолиса (необходимо проектировать относительную
скорость на физическую плоскость и е¨е проекцию поворачивать на 90
в сторону вращения угловой скорости переносного движения) привед¨ен на
рис. 2.25–2.30.
◦
44 ГЛАВА 2
Рис. 2.25
Рис. 2.26
Рис. 2.27
2.5. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ 45
Рис. 2.28
Рис. 2.29
Рис. 2.30
ГЛАВА 3
Практикум по основному компакту
динамики Ньютона
3.1. Взаимосвязанность законов Ньютона
Рассмотрим материальную точку в абстрактных условиях изолирован-
ности, т.е. бесконечной удаленности от других тел. Для такой точки характерны два состояния: первое — покой, второе — прямолинейное равномерное движение, которое называют движением по инерции. Эти два возможных состояния изолированной точки постулируются первым законом
Ньютона, или законом инерции.
Как только мы поместим точку в непосредственной близости от других
тел, действующих от нее непосредственно или посредством поля, скорость
точки в общем случае изменится. Причиной этого изменения является механическое действие на точку окружающих тел, а меру интенсивности этого
действия принято называть силой. Необходимо упомянуть о том, что движение точки по инерции возможно и в том случае, когда к ней приложены
силы, но только при условии их уравновешенности. Таким образом, если
обнаруживается, что точка движется прямолинейно и равномерно по отношению к неподвижной системе отсчета, то это означает, что либо она
изолирована, либо приложение к ней силы уравновешены. В связи с этим
интересно отметить, что можно дать динамическую трактовку известной из
статики аксиомы о равновесии системы двух сил: две силы, приложенные
к абсолютно твердому телу, уравновешены в том случае, если не изменяют его скорости, т.е. не сообщают ему ускорения. Количественную связь
между приложенной к точке силой и вызываемым этой силой изменением
движения дает второй закон Ньютона, или основное уравнение динамики
ma =F. (3.1)
Изменение движения пропорционально приложенной силе и происхо-
дит в направлении линии действия этой силы. Таким образом, сила и вызываемое ею ускорение всегда сонаправлены.
3.1. ВЗАИМОСВЯЗАННОСТЬ ЗАКОНОВ НЬЮТОНА 47
Уравнение (3.1) было бы неправильно рассматривать как определение
силы, так как действие силы в механике проявляется не только в ускорении
тел, но и в их деформациях, когда ни о каких ускорениях нет и речи.
Третий закон Ньютона говорит о том, что во взаимодействии двух тел
каждое действует на другое силой, одинаковой по величине, но противоположной по направлению. Этот закон часто называют законом о равенстве
сил действия и противодействия. Однако третий закон Ньютона имеет более глубокое физическое содержание, чем просто равенство сил действия
и противодействия. Запишем уравнение (3.1) для каждой из двух взаимодействующих точек:
dt
d
V
(m
)=F1и
1
1
dt
d
V
(m
)=F2. (3.2)
2
2
По третьему закону Ньютона должно выполняться равенство
F
= −F2.
1
Сложим уравнения (3.2):
d
dt
(m
V
1
1
+ m
2
V
2
)=0.
Отсюда следует, что
m
V
1
1
+ m
V
= const. (3.3)
2
2
Третий закон Ньютона можно сформулировать как требование сохра-
нения суммы импульсов (количество движения) взаимодействующих точек
при отсутствии внешних для этой системы сил. Ньютон вывел закон сохранения количества движения из своего третьего закона. В отличие от него
Декарт считал закон сохранения движения основным законом динамики.
Применяя прием инверсии, продифференцируем по времени уравне-
ние (3.3). В результате получим
+ m2a2=0.
m
1a1
Перенесем выражение m
=F2в правую часть уравнения
2a2
= −m2a2,
m
1a1
с учетом того, что
−m
2a2
= −F2.
48 ГЛАВА 3
На основании третьего закона Ньютона
=F1,
−F
2
получаем уравнение, выражающее второй закон для первой материальной
точки:
m
=F1.
1a1
ЕслиF
=0,тоm
1
V
=constили, в частном случае,V1=0,т.е.
1
1
приходим к первому закону Ньютона. Однако было бы неправильно считать первый закон частным случаем второго, ибо только в случае выполнения закона инерции соотношение (3.1) приобретает однозначное физическое толкование.
Покажем на примере прямого соударения двух шаров, что решение
некоторых простых задач методами классической механики невозможно
в рамках модели абсолютно твердого тела. Поскольку внешние силы для
системы двух шаров отсутствуют, то количество движения системы до и после удара должно быть одинаковым:
где V
V
1x,V2x
1V01x
+ m2V
01x,V02x
m
— проекция скоростей шаров на ось 0x до соударения;
— проекция скоростей шаров на ось 0x после соударения.
y
m
1
P
1
Рис. 3.1. Соударение двух шаров
= m1V1x+ m2V2x, (3.4)
02x
V
1
m
2
V
2
P
2
x
Уравнение (3.4) содержит две неизвестные скорости V1xи V2x,по-
этому задача становится неопределенной. Ньютон сделал возможным решение этой задачи, введя дополнительную информацию о коэффициенте
восстановления:
K =
− V
V
1x
V
− V
01x
2x
02x
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]