Практикум по интегральному исчислению функции одной переменной. Неопределенный интеграл. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

µ2 sin x ¡ 3x+2 + 5 ¡ x + 7px¶dx:

µ2 sin x ¡ 3x+2 + 5 ¡ x + 7px¶dx:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

565 Кб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

МОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ

СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ФИЛИАЛ

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая

ПРАКТИКУМ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

(учебное пособие)

Ростов–на–Дону

2010

Костецкая Г. С., Гаврилова P. M.

Практикум по интегральному исчислению функции одной переменной. Неопределенный интеграл. Учебное пособие // СКФ МТУ СИ, Ростов-на-Дону: Северо-Кавказский филиал МТУ СИ, 2010 г. 60 с.

Пособие содержит краткое изложение теоретического материала, развернутое изложение методов решения заданий, а так же большое количество подробно разобранных типовых примеров по теме: неопределенный интеграл. Каждый раздел заканчивается примерами для самостоятельного решения, к которым приводятся ответы.

Пособие будет полезно студентам, преподавателям, а так же лицам, самостоятельно изучающим интегральное исчисление функции одной переменной.

Печатается в соответствии с решением кафедры общенаучной подготовки СКФ МТУ СИ, протокол № от января 2010 г.

Содержание

Глава 1. Неопределенный интеграл								. . .		.	.	.	. . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . .	4
§ 1. Непосредственное интегрирование . .											. .		. . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . .	4
§ 2. Основные методы интегрирования . .											.	.	. . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . .	13
2.1. Замена переменных . .					. .	.	. .	. . . .	.	.	.	.	. . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . .	13
2.2. Интегрирование по частям								. . . .	.	.	.		. . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . .	20
§ 3. Интегралы, содержащие квадратный трехчлен . . . . . . . . . . . . . . . . . . .															28
3.1. Интегралы вида Z					Ax + B										28
										dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
			x2 + 2px + q							dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Интегралы вида Z					Ax + B								dx		31


		p			x2	+ 2px + q
3.3. Интегралы вида		p						dx						. . . . . . . . . . . . . . . . . .	32
3.3. Интегралы вида															32
Z		(mx + n) x2 + 2px + q
Z	p
3.4. Интегралы вида				ax		2		bx			c dx				33
3.4. Интегралы вида				ax			+ p+						. . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . .	33
§ 4. Интегрирование рациональных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .															36
§ 5. Интегрирование некоторых иррациональных выражений . . . . . . . . .															47
§ 6. Интегрирование тригонометрических выражений вида
Z R(sin x; cos x) dx . . . .	.		. .		. .	. .	. .	. . .	.	. .		.	. . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . .	52
Литература . . . . . . . . . . . . . . . .			. .		. .	. .	.	. . .	.	.	.		. . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . .	60

Глава 1. Неопределенный интеграл

§ 1. Непосредственное интегрирование

Функция F (x), дифференцируемая на интервале (a; b), называется первообразной для функции f(x) на этом интервале, если

F 0(x) = f(x) или dF (x) = f(x) dx; 8 x 2 (a; b):

(1.1)

По геометрическому смыслу производной F 0(x) есть угловой коэффициент касательной к кривой y = F (x) в точке с абсциссой x. Геометрически найти первообразную для функции f(x), значит найти такую кривую y = F (x), чтобы угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точке x равнялся значению заданной функции f(x) в этой точке.

Если функция f(x) имеет первообразную F (x), то она имеет бесконечное множество первообразных, причем все они содержатся в выражении F (x) + C, где C постоянная.

Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех

ее первообразных	Z
	Z	f(x) dx = F (x) + C:	(1.2)

Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием.

Свойства неопределенного интеграла (правила интегрирования)


1) µZ f(x) dx¶0	= f(x) и dµZ f(x) dx¶ = f(x) dx.
2) Z F 0(x) dx = F (x) + C и		Z dF (x) = F (x) + C.

3)	Z	af(x) dx = a f(x) dx.			f2(x) dx.
4)		f1	(x) § f2(x) dx = Z f1(x) dx § Z
		£		¤
5)	Если		Z	f(x) dx = F (x) + C и u = '(x), то Z		f(u) du = F (u) + C.

В частности, полезна следующая формула		(1.3)
Z	f(ax + b) dx = aF (ax + b) + C (a 6= 0):
	1

Таблица основных интегралов

I.dx = x + C.

II. Z

x¹ dx =

x¹+1

+ C; ¹ 6= ¡1.

¹ + 1

III. Z

= ln jxj + C.

ex dx = ex + C.

IV. Z

ax dx = ln a + C, a 6= 1, a > 0;

sin x dx = ¡ cos x + C.

VI. Z

cos x dx = sin x + C.

VII. Z

= tg x + C.

cos2 x

VIII. Z

= ¡ ctg x + C.

sin2 x

IX. Z

= arctg x + C;

arctg

+ C.

1 + x2

a2 + x2

X. Z

= arcsin x + C;

= arcsin

+ C.

1 ¡ x2

a2 ¡ x2

XI. Z px2

+ a = ln jx + px2 + aj + C.

= 1

x ¡ a

+ C

XII.

x + a

¯ .

XIII.	sh x dx = ch x + C.
XV. Z		dx	= ¡ cth x + C.

		sh2 x

XIV. ch x dx = sh x + C.

XVI. Z	dx	= th x + C.
	ch2 x

Непосредственное интегрирование это вычисление интегралов с помощью основных свойств неопределенного интеграла и таблицы интегралов. Рассмотрим это на примерах.

Пример 1.1. Вычислить интеграл и результат проверить дифференцирова-

Решение. Используя свойства 3), 4), придем к сумме табличных интегралов

Z µ2 sin x ¡ 3x+2 + 5 ¡ x + 7px¶dx =

= Z

2 sin x dx ¡ Z

3x+2 dx + Z

5 dx ¡ Z 2x + Z

7px dx =

= 2 Z

sin x dx ¡ 9 Z

3x dx + 5 Z

dx ¡ 2 Z

x + 7 Z

x1=2 dx =

x1=2+1

= 2(¡ cos x) ¡ 9

+ 5x ¡ 2 ln jxj + 7

+ C =

ln 3

1=2 + 1

2 cos x

9 ¢ 3x

+ 5x

2 ln x

14x3=2

+ C:

ln 3

j j

Обращаем внимание на то, что в конце решения записывается одна общая постоянная C, не выписывая постоянных от интегрирования отдельных слагаемых.

Сделаем проверку. Для этого возьмем производную от ответа и убедимся, что она совпадает с подынтегральной функцией (см. определения первообраз-

ной и неопределенного интеграла):
µ¡2 cos x ¡ 9	3x		14			¶	0
		+ 5x ¡ 2 ln jxj +			x3=2 + C		=
	ln 3			3

=¡2(¡ sin x) ¡ ln933x ln 3 + 5 ¡ 2x1 + 143 ¢ 32x1=2 =

=2 sin x ¡ 323x + 5 ¡ x2 + 7px = 2 sin x ¡ 3x+2 + 5 ¡ x2 + 7px

верно.

Пример 1.2. Вычислить интеграл

Z µ

¡ p

¶dx:

sin2 x

x2 + 5

25 ¡ x2

Решение. Поступим, как и в предыдущем примере

Z µ

¡ p

¶dx =

sin2 x

x2 + 5

25 ¡ x2

= 7 Z

sin2 x ¡ 4 Z

px2 + 5 + 2 Z

p3 x2 ¡ 6 Z

p25 ¡ x2

= ¡7 ctg x ¡ 4 ln jx +

x2 =

x2 + 5j + 2 Z

x¡2=3dx ¡ 6 Z

p52dx

x1=3

= ¡7 ctg x ¡ 4 ln jx + px2 + 5j +

¡ 6 arcsin

+ C =

1=3

	x

= ¡7 ctg x ¡ 4 ln jx + px2 + 5j + 6p3 x ¡ 6 arcsin		+ C:

	5

Зачастую вычисление интегралов начинается с преобразования подынте-

гральной функции.

Пример 1.3. Вычислить следующие интегралы

г) Z

3 + x

а) Z

xpx

б) Z

px¡+ 2

в) Z

10x

(2p

+ 1)3

dx;

16 dx;

2x+1

¡ 5x¡1

dx;

x3 dx

dx:

Решение. а) Воспользуемся формулами сокращенного умножения с последующим делением числителя на знаменатель

+ 1)3

dx = Z

8x3=2

+ 12x + 6x1=2 + 1

dx =

x3=2

= Z µ8 + 12x¡1=2

+ x¡3=2¶dx = 8 Z dx + 12

x1=2

x¡1=2

+ 6

+ 6 ln jxj +

1=2

¡1=2

= 8x + 24 x + 6 ln jxj ¡ p

+ C:

б) Разложим числитель на множители

px¡+ 2 dx = Z

¡px + 2

dx =

4)(x + 4)

Z (

¡ px + 2

dx = Z

(px ¡ 2)(x + 4) dx =

= Z

2)(p

+ 2)(x + 4)

x5=2

x3=2

x3=2 + 4x1=2 ¡ 2x ¡ 8 dx =

+ 4

¡ 8x + C =

5=2

3=2

= 25x5=2 + 83x3=2 ¡ x2 ¡ 8x + C:

в) Преобразуем подынтегральную функцию, учитывая, что 10x = (2 ¢ 5)x =

= 2x ¢ 5x. Тогда

2x¡¢ 5x

¢ 5x

¡ Z

¢ 5x

10x

2x+1 ¡ 5x¡1

dx =

2x+1

5x¡1

dx =

2x+1dx

5x¡1

dx =

5 Z µ

= 2 Z µ

dx ¡

dx = ln(1=5)

¡ 5 ln(1=2) + C =

2(1=5)x

1 (1=2)x

= ¡ln 5 µ

5¶

5 ln 2 µ

2¶

+ C:

г) Выделим из дроби целую часть

(x3 + 3x2) ¡ (3x2 + 9x) ¡ (9x + 27) ¡ 27

3 + x

x2(x + 3) ¡ 3x(x + 3) ¡ 3(3x + 3) ¡ 27

= x2

¡ x + 3

3 + x

Тогда

¡ 3x ¡ 3 ¡ x + 3¶dx = 3

¡ 3 2 ¡ 3x ¡ 27 ln jx + 3j + C

Z 3 + x = Z µx2

x3 dx

(мы использовали формулу (1.3) в случае a = 1, b = 3, а также табличные интегралы).

Сделайте самостоятельно проверку полученных выше результатов.

Формула (1.3) позволяет значительно расширить таблицу интегралов с помощью приема подведения функции под знак дифференциала.

Пример 1.4. Найти интегралы
		dx
а) Z	cos(3x + 2) dx; б) Z p3 3 ¡ x dx; в) Z	dx	; г)	Z	e¡x=2+7dx:

		4x + 3

Решение. Все эти интегралы однотипны, так как каждый из них может быть

найден с помощью формулы (1.3), например,

cos(3x + 2) dx =

sin(3x + 2) + C;

(a = 3; b = 2);

Z p3 3 ¡ x dx = Z (x + 3)1=3dx = ¡1 ¢ (¡

4=3

+ C =

x + 3)4=3

p3 (3 ¡ x)4 + C; (a = ¡1; b = 3);

= ¡

ln j4x + 3j + C; (a = 4; b = 3);

4x + 3

e¡x=2+7 dx = ¡2e¡x=2+7 + C; (a = ¡1=2; b = 7):

Вычислим их по другому с помощью подведения функции под знак диффе-

ренциала.

а) Используя свойства дифференциала, запишем dx =

d(3x) =

d(3x+2).

Тогда

cos(3x + 2) dx = Z

cos(3x + 2) d(3x + 2) =

(1:3)

cos(3x + 2) d(3x + 2)

sin(3x + 2) + C:

б) Аналогично dx = ¡d(¡x) = ¡d(3 ¡ x) )

¡ Z

4=3

x)1=3d(3

(3 ¡ x)4=3

+ C =

x dx =

x) =

p3 (3 ¡ x)4 + C:

= ¡

d(4x + 3)

в) Z

ln j4x + 3j + C.

4x + 3

г) Имеем

dx = d

³¡2´

(¡2) = ¡2d

³¡2 + 7´;

поэтому

e¡x=2+7 dx = ¡2 Z

e¡x=2+7d ¡2 + 7 = ¡2e¡x=2+7 + C:

= ¡1 ¢ (2 ¡ x3)6 3 6

А теперь рассмотрим более интересные примеры, в которых используется именно свойство 5).

Пример 1.5. Найти интегралы

cos(ln x) dx

arctg2 x

а) Z

; б)

1 + x2¡

dx;

в) Z

x2(2 ¡ x3)5 dx;

г) Z

cos x dx

7 + 2 cos 2x

Решение. а) Этот интеграл можно привести к формуле VI, преобразовав его

так

cos(ln x) dx

= Z

cos(ln x) d(ln x):

Теперь в качестве переменной интегрирования мы имеем ln x и относительно этой переменной у нас получается интеграл от косинуса. Следовательно,

cos(ln x) dx = sin(ln x) + C: x

б) Преобразуем подынтегральную функцию и рассмотрим два интеграла:

arctg2 x

1 + x2¡

dx = Z

p1 + x2

dx ¡ 3 Z

dx =

1 + x2

Очевидно

= d(arctg x); x dx =

d(x2) =

d(x2 + 1), поэтому

1 + x2

d(x2 + 1)

= Z (arctg x)2=5 d(arctg x) ¡

1 + x2

(arctg x)2=5+1

ln(1 + x2) + C =

p5 (arctg x)7 ¡

ln(1 + x2) + C:

2=5 + 1

в) Выражение x2 dx =

d(x3) = ¡

d(¡x3) =

d(2 ¡ x3), поэтому

Z x2(2 ¡ x3)5 dx = ¡

Z (2 ¡ x3)5 d(2 ¡ x3) =

В качестве переменной интегрирования у нас выражение (2¡x3), относительно нее получается интеграл от степенной функции, поэтому применяя формулу II,

имеем

+ C = ¡181 (2 ¡ x3)6 + C:

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]