Практикум по интегральному исчислению функции одной переменной. Неопределенный интеграл. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

x = 3 ) 27 + 3 + 1 = A ¢ 6 ¢ 18

x = ¡3 ) ¡27 ¡ 3 + 1 = B(¡6)18

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

565 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

3.2 Интеграл вида Z

Ax + B

x2 + 2px + q

Методы вычислений

таких интегралов аналогичны рассмотренным выше.

В конечном итоге интеграл приводится к табличным интегралам X, XI и XX.

Пример 3.2. Найти интегралы:

а)

(3x + 4) dx

;

б)

5 ctg x ¡ 3

dx;

x2 + 6x

x + x3

2 ctg2 x + 8 ctg x + 1

Z p

Z sin2 x

в)

dx:

1 + x2 ¡ x4

Решение. а) Выделим под корнем полный квадрат:

¡x2 + 6x ¡ 8 = ¡(x2 ¡ 6x + 8) = ¡[(x ¡ 3)3 ¡ 9 + 8] =

= ¡(x ¡ 3)2 + 1 = 1 ¡ (x ¡ 3)2:

Теперь сделаем замену переменной u = x ¡ 3 ! x = u + 3, тогда dx = du.

Подставим все под знак интеграла:

p1 ¡ u2

du = Z

p1 ¡ u2 du =

p¡(3x2 + 6x ¡ 8

= Z

x + 4) dx

3(u + 3) + 4

3u + 13

u du

= 3 Z

+ 13 Z

= ¡3p1 ¡ u2 + 13 arcsin u + C =

1 ¡ u2

= ¡3 ¡x2 + 6x ¡ 8 + 13 arcsin(x ¡ 3) + C:

б) Очевидно, что у нас квадратный трехчлен относительно ctg x, поэтому сначала сделаем замену t = ctg x ! dt = ¡dx= sin2 x ) dx= sin2 x = ¡dt.

Поэтому

sin2 x

5 ctg x ¡ 3

dx =

(5t ¡ 3) dt

2 ctg2 x + 8 ctg x + 1

Z p2t2 + 8t + 1

по тому же плану, что и в предыдущем примере

А теперь действуемp

t2 +¡4t + 1=2 = p2 Z

(t + 2)¡2

¡ 4 + 1=2 =

= p2 Z

(5t

3) dt

(5t

3) dt

= 1

(5t

¡ 3)

(t + 2)2 ¡ 7=2

Сделаем замену t + 2 = u ! t = u ¡ 2; dt = du

p2 Z

pu2

¡ 7=2 ¡

p2 Z

pu¡2

¡ 7=2

p2 Z

pu2 ¡ 7=2

= 1

5(u 2) ¡ 3

du =

5u ¡ 13

du =

u du

¯u +

¡ p

= p

¡ 7=2 ¡

+ C =

7=2

= p2

(ctg x + 2)

¡ 7=2 ¡

ln ¯ctg x + 2 +

(ctg x + 2)

+ C:

Использованы табличные интегралы ¯XX и X, а также то, что u =¯

t + 2 =

= ctg x + 2.

в) В знаменателе под знаком корня стоит квадратный трехчлен относитель-

но x2. Поэтому делаем замену t = x2, тогда dt = 2x dx ) x dx =

dt. Получаем

p1 + x2

¡ x4 =

2 Z

p1 + t ¡ t2 = 2 Z

¡(t2

¡ t ¡ 1) =

x(1 + x2) dx

(t + 1) dt

¡ 1p2) + 3 2

dt =

2 Z

¡(t ¡ 1=2)2 + 5=4

5=4 ¡ (t ¡ 1=2)2

1=2) p

5=4

1=2)2

+ 4 Z

5=2

¡2s4

¡ µt ¡ 2¶

2¡ (t 1=2)2

d(t

1=2)

XX, X

³p

arcsin

2(t ¡ 1=2)

+ C =

1 + x2

x4 +

arcsin

¡ 1

+ C:

3.3 Интегралы вида Z

(mx + n) x2 + 2px + q

Спомощью обратной подстановки t = 1=(mx+n) эти интегралы приводятся

кинтегралам вида 3.2.

Пример 3.3. Найти Z	dx
	(x + 1)p		.
		x2 + 1

Решение. Полагаем x + 1 =

) dx = ¡

. Имеем

= Z

dt=t2

= ¡ Z

(x + 1)p

x2 + 1

+ 1

2t + 2t2

t q¡t

¡ 1¢

= ¡p

t2 t + 1

t 1

+ 1

¡ 2

¡ 4

t¡ ¡1 2 ¢

¯t ¡

+ r

= ¡p

t2 ¡ t +

+ C =

d t

¯ + C:

= ¡p2 ln ¯

x + 1

x +

2(x + 1)

Z p

3.4 Интегралы вида ax2 + bx + c dx

Путем выделения из квадратного трехчлена полного квадрата данный ин-

теграл сводится к одному из следующих двух основных интегралов

Z pa2 ¡ x2 dx =

pa2 ¡ x2 +

arcsin

+ C;

(3.13)

Z px2 + A dx =

px2 + A +

ln jx + px2 + Aj + C

(3.14)

(мы их вычислили ранее с помощью тригонометрических или гиперболических подстановок).

Пример 3.4. Найти

1 ¡ 2x ¡ x2 dx.

Решение.

Z p

dx = Z p

dx =

1 ¡ 2x ¡ x2

= Z

¡(x2 + 2x ¡ 1)

x + 1

1 + x

¡[(x + 1)2 ¡ 1 ¡ 1] dx = Z

2 ¡ (x + 1)2 d(x + 1) =

+ arcsin

1 ¡ 2x ¡ x2

+ C:

Замечание 3.1. Отметим, что вычисления интегралов вида


Z	Ax + B		Z	Ax + B
		dx и				dx
	x2 + 2px + q
				x2 + 2px + q
можно осуществить и другим образом: в числителеp					дроби выделяют произ-

водную знаменателя или подкоренного выражения соответственно, а затем используют формулы (1.4) и (1.5), а также необходимые табличные интегралы.

Пример 3.5. Найти интегралы а) Z

3x ¡ 1

; б) Z

(3x + 4) dx

x2 ¡ 4x + 8

¡x2 + 6x ¡ 8

Решение. а) Выделим в числителе производную знаменателя

(

¡ 1 =

¡ 4

+ 8) = 2 ¡ 4; 3

¡ 4) + 5

Получим

x2 ¡ 4x + 5

2 Z x2 ¡ 4x + 5

Z x2 ¡ 4x + 5

Z x2 ¡ 4x + 8

3x ¡ 1

dx =

23(2x ¡ 4) + 5

dx =

(2x ¡ 4) dx

+ 5

Для вычисления первого интеграла используем (1.4), а во втором выделим в знаменателе полный квадрат и используем табличный интеграл IX

4x + 5

+ 5

d(x ¡ 2)

4x + 5

j ¡

5 arctg(x

2) + C:

(x ¡ 2)2 + 1

б) Действуем аналогично а)

¡x2 + 6x 8

dx = ¡2 Z

p¡x2

+ 6x 8 +

p(3x2

+ 6x 8 = Z

¡p2

x + 4) dx

(

2x + 6) + 13

( 2x + 6) dx

3)2

+ 13Z p

x2 + 6x

8 = ¡22 ¡x2

+ 6x ¡ 8 + 13Z

[(x

9 + 8] =

(

¡ p¡

Z p1 ¡ (x ¡ 3)2

= 3 x2 + 6x 8 + 13

d x

= ¡3p

+ 13 arcsin(x ¡ 3) + C:

¡x + 6x ¡ 8

Найти интегралы

;

2. Z

p1 ¡¡x ¡ x2 ;

3. Z

x2 + 3x + 4

;

1. Z

px2

¡ 4x + 5

3x ¡ 6

(2x

8) dx

3x ¡ 2

sin2 x ¡ 6 sin x + 12;

1 4 ln x

ln2 x;

cos x dx

ln x dx

6. Z

px4 ¡ x2 ¡ 1;

7. Z

xpx2

+ x + 1;

¡ x3 ¡ 2;

x3 dx

dxp

x5 dx

xp5x2 ¡ 2x + 1;

(x ¡ 1)px2

¡ 2;

10.

¡¡7x + 12;

11.

2) dx

12.

(x ¡ 1)p¡x2

+ 2x + 3;

13.

p1 + ex + e2x ;

ex dx

sin x dx

14.

;

15.

Z px2 + 2x + 5 dx.

cos2 x + 4 cos x + 1

Ответы: 1. 3 x2

4x + 5 + C. 2.

+ C.

2x + 3¡

sin x

ln jx

+ 3x + 4j ¡ p

arctg

+ C.

4. ¡p

arctg

¡p

+ C.

+ ln x

5. ¡p1 ¡ 4 ln x ¡ ln2 x ¡ 2 arcsin

+ C.

6.12px4 ¡ 2x2 ¡ 1 + 12 ln jx2 ¡ 1 + px4 ¡ 2x2 ¡ 1j + C.

7.¡ ln ¯¯¯¯x + 2 + 2px2 + x + 1¯¯¯¯ + C. 8. 1 ln·jx3 + 1j(x3 ¡ 2)2¸ + C.

¯x ¯ 9

x ¡ 2

> p

10.

(x ¡ 4)2

arcsin

+ C

1 p2

jx ¡ 3j

¡ 2 + 1

¯ + C.

11. ¡ ln ¯

1 ¡ x + 5x

p x2

2 + p x

+ 2x + 3

1 ¯

12. ¡

+ C

13.

ln e +

+ 1 + e + e

+ C

2(x

¯p ¯¯

14.¡ ln ¯¯cos x + 2 + cos2 x + 4 cos x + 1¯¯ + C.

15.x +2 1px2 + 2x + 5 + 2 lnµx + 1 + px2 + 2x + 5¶ + C.

§ 4. Интегрирование рациональных функций

Рациональной функцией называется функция, представимая в виде дроби

P (x), где P (X), Q(x) многочлены.

Q(x)

Перед интегрированием рациональной дроби надо сделать следующие алгебраические преобразования и вычисления:

1) если дана неправильная рациональная дробь (степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена, стоящего в знаменателе), то выделить из нее целую часть, то есть представить в виде

P (x) = M(x) + P1(x);

Q(x) Q(x)

где M(x) многочлен, а P1(x)=Q(x) правильная рациональная дробь; 2) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратные множители:

Q(x) = (x ¡ a)m ¢ : : : ¢ (x2 + px + q)n ¢ : : : ;

где p2=4 ¡q < 0, то есть трехчлен x2 + px + q имеет комплексные сопряженные корни;

3) правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:

P1(x)

M1x + N1

+ : : : +

Q(x)

(x ¡ a)m

(x ¡ a)m¡1

x ¡ a

(x2 + px + q)n

M2x + N2

+ : : : +

Mnx + Nn

+ : : :

(x2 + px + q)n¡1

x2 + px + q

4) вычислить неопределенные коэффициенты A1, A2,. . . , Am,. . . , M1, N1, M2, N2,. . . , Mn, Nn,. . . , для чего привести последнее равенство к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях полученного тождества и решить сисему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов (первый способ). Можно также определить эти коэффициенты, полагая в полученном тождестве x равным подходяще подобранным числам (второй способ). Часто бывает полезно комбинировать оба способа вычисления коэффициентов.

В результате интегрирование рациональной функции сведется к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей. Возможны следующие случаи.

Случай 1. Знаменатель имеет только действительные различные корни, то есть разлагается на неповторяющиеся множители первой степени.

Пример 4.1. Найти интеграл Z	5x3 + 2
		dx.
	x3 ¡ 5x2 + 4x

Решение. Степени числителя и знаменателя равны, поэтому данная рациональная дробь неправильная.

Выделим целую часть:

5x3 + 2

x3 − 5x2 + 4x

– 5x3 − 25x2 + 20x

25x

5 +

− 20x + 2

25x2 − 20x + 2

x3 − 5x2 + 4x

Следовательно,

5x3 + 2

= 5 +

25x2 ¡ 20x + 2

= 5 +

25x2 ¡ 20x + 2

x3 ¡ 5x2 + 4x

x(x ¡ 1)(x ¡ 4)

2) Разложим теперь правильную дробь на простейшие:

25x2 ¡ 20x + 2

x ¡ 1

x ¡ 4

x(x ¡ 1)(x ¡ 4)

Приведем к общему знаменателю и приравняем числители:

25x2 ¡ 20x + 2 = A(x ¡ 1)(x ¡ 4) + Bx(x ¡ 4) + Cx(x ¡ 1):

(4.15)

Раскроем скобки и сгруппируем члены с одинаковыми степенями:

25x2 ¡ 20x + 2 = Ax2 ¡ 5Ax + 4A + Bx2 ¡ 4Bx + Cx2 ¡ Cx;

25x2 ¡ 20x + 2 = x2(A + B + C) + x(¡5A ¡ 4B ¡ C) + (4A):

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему урав-

нений		¯		9
x2		¯	A + B + C = 25	9	:
x	0	¯	¡5A ¡ 4B ¡ C = ¡20	>
	0	¯		>
x		¯	4A = 2	=
		¯
		¯		>
		¯		>
		¯		;

Решая которую, найдем A = 1=2; B = ¡7=3; C = 161=6. Итак, разложение правильной рациональной дроби на простейшие имеет вид

25x2 ¡ 20x + 2	=	1=2			7=3	+	161=6	:
x3 ¡ 5x2 + 4x			x
				¡ x ¡ 1 x ¡ 4

Неизвестные A, B, C можно было определить и иначе (2 способ). Положим в равенстве (4.15) переменную x поочередно равной корням знаменателя, то есть x = 0, x = 1, x = 4:

x = 0 ) 2 = A ¢ (4) ) A = 1=2;

x = 1 ) 25 ¡ 20 + 2 = ¡3B ) B = ¡7=3; x = 4 ) 400 ¡ 80 + 2 = 12C ) C = 161=6:

В результате получились те же значения, что и при первом способе опреде-

ления коэффициентов.

Таким образом

·5 +

1x2 ¡ x7 31

4 ¸ dx =

5x2 + 4x dx =

+ x

5x3 + 2

161=6

161

= 5x +

ln jxj ¡

ln jx ¡ 1j +

ln jx ¡ 4j + C:

Случай 2. Знаменатель имеет лишь действительные корни, причем некоторые из них кратные, то есть знаменатель разлагается на множители первой степени и некоторые из них повторяются.

Пример 4.2. Найти интеграл Z	x2 + 1
		dx.
	(x ¡ 1)3(x + 3)

Решение. Подынтегральная функция является правильной дробью, поэтому ее сразу представим в виде суммы простейших дробей. При этом множителю (x ¡ 1)3 соответствует сумма трех простейших дробей

;

(x ¡ 1)

x ¡ 1

(x ¡ 1)

а множителю x + 3 простейшая дробь

. Поэтому

x + 3

x2 + 1

(x ¡ 1)

(x + 3)

(x ¡ 1)

x ¡ 1

x + 3

(x ¡ 1)

Освободимся от знаменателя:

x2 + 1 = A(x + 3) + B(x ¡ 1)(x + 3) + C(x ¡ 1)2(x + 3) + D(x ¡ 1)3:

При решении этого примера будем комбинировать два способа определения коэффициентов. Сначала применим второй способ.

Действительными корнями знаменателя являются числа 1 и ¡3. Положим поочередно

x = 1 ) 1	+ 1	= 4A; то есть A = 1=2;
x = ¡3 ) 9	+ 1	= D ¢ (¡64); то есть D = ¡5=32:

А теперь применим первый способ: приравняем коэффициенты, например, при x3. В левой части нет члена с x3, то есть коэффициент при x3 равен 0. В правой части коэффициент при x3 равен C + D. Поэтому

C + D = 0 ) C = 5=32:

Остается определить коэффициент B, для чего нам нужно еще одно уравнение. Сравним, например, коэффициент при x0. В левой части это 1, а в правой части это 3A ¡ 3B + 3C ¡ D, то есть

3A ¡ 3B + 3C ¡ D = 1 или 1 =	3	¡ 3B +	15	+	5	;

	2		32		32

то есть B = 3=8.

Окончательно разложение данной дроби на простейшие имеет вид

x2 + 1 1=2 3=8 5=32 5=32 (x ¡ 1)2(x + 3) = (x ¡ 1)3 + (x ¡ 1)2 + x ¡ 1 ¡ x + 3:

Таким образом,

2 Z

(x ¡ 1)3

+ 8 Z

(x ¡ 1)2

+ 32 Z

x ¡ 1 ¡

(x ¡ 1)2(x + 3) =

(x2

+ 1) dx

(x ¡ 1)¡3 d(x ¡ 1) +

Z (x ¡ 1)¡2 d(x ¡ 1) +

x + 3

d(x ¡ 1)

d(x + 3)

32 Z

x ¡ 1

x + 3

¡4(x

1)2

¡ 8(x

¯x + 3

+ 5

x ¡ 1

+ C:

Пример 4.3. Найти интеграл Z	x2 dx
		.
	(x ¡ 1)6

Решение. Под знаком интеграла стоит правильная рациональная дробь и можно было бы найти интеграл, представив эту дробь в виде суммы шести про-

стейших дробей

(x ¡ 1)

Однако нахождение интеграла можно значительно упростить, если сделать замену переменной x ¡ 1 = t, тогда x = t + 1, dx = dt. В результате

x2 dx

t 1)2 dt

t2 + 2t + 1

= Z

( +

= Z

dt =

(x ¡ 1)6

= Z t¡4 dt + 2 Z t¡5 dt + Z t¡6 dt = ¡

+ C =

3t3

4t4

5t5

= ¡

+ C:

3(x ¡ 1)3

2(x ¡ 1)4

5(x ¡ 1)5

Случай 3. Среди корней знаменателя имеются простые комплексные корни, то есть разложение знаменателя содержит квадратичные неповторяющиеся

множители.
Пример 4.4. Найти интегралы а) Z	x3 + x + 1		б) Z	x2	+ 2
		dx;				dx.
	x4 ¡ 81			x4	+ 4

Решение. а) Перед нами правильная рациональная дробь. Разложим знаменатель на множители x4 ¡ 81 = (x2 ¡ 9)(x2 + 9) = (x ¡ 3)(x + 3)(x2 + 9), x = 3, x = ¡3 простые действительные корни, x = §3i простые комплексные корни. Тогда получим следующее разложение дроби на простейшие

x3 + x + 1	=	A	+	B	+	Mx + N		:
x4 ¡ 81		x ¡ 3		x + 3			x2 + 9

Освободимся от знаменателя

x3 + x + 1 = A(x + 3)(x2 + 9) + B(x ¡ 3)(x2 + 9) + (Mx + N)(x ¡ 3)(x + 3):

Положим

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]