Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум по дифференциальным уравнениям. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

605 Кб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

БАЛТИЙСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. ИММАНУИЛА КАНТА

М. Н. Протасевич

ПРАКТИКУМ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

Учебно-методическое пособие

Издательство Балтийского федерального университета им. Иммануила Канта

2025

УДК 517.912(075.8) ББК 22.161.6я73

П831

Рецензенты

В. И. Семёнов, д-р физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. Иммануила Канта;

А. А. Шпилевой, канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. Иммануила Канта

Протасевич, М. Н.

П831 Практикум по дифференциальным уравнениям : учеб- но-методическое пособие / М. Н. Протасевич. — Калининград : Издательство БФУ им. И. Канта, 2025. — 74 с.

ISBN 978-5-9971-0930-1

Изложены основные определения и утверждения, необходимые при решении дифференциальных уравнений. Для каждого типа уравнения описаны основные алгоритмы решения и приведены примеры с подробным пошаговым описанием действий.

Предназначено для студентов физико-математических и инженерных направлений, изучающих дисциплину «Дифференциальные уравнения». Отдельные главы могут быть полезны студентами, изучающим соответствующие темы в рамках дисциплины «Высшая математика».

УДК 517.912(075.8) ББК 22.161.6я73

	© Протасевич М.Н., 2025
ISBN 978-5-9971-0930-1	© БФУ им. И. Канта, 2025

СОДЕРЖАНИЕ
1. Основные понятия.......................................................................	4
2. Дифференциальные уравнения I порядка..............................	6
2.1. Уравнение с разделяющимися переменными. Уравнения,
приводимые к уравнениям с разделяющимися переменными.......	6
2.2. Однородные уравнения. Уравнения, приводимые к одно-
родным................................................................................................	8
2.3. Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бер-
нулли...................................................................................................	12
2.4. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий
множитель...........................................................................................	18
2.5. Уравнения, неразрешенные относительно производной.
Уравнения Лагранжа и Клеро...........................................................	22
2.6. Существование и единственность решения задачи Коши
для уравнения I порядка....................................................................	25
3. Дифференциальные уравнения высших порядков...............	29
3.1. Уравнения, допускающие понижение порядка....................	29
3.2. Линейные однородные уравнения n-го порядка..................	35
3.3. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка..............	40
3.4. Линейные однородные уравнения n-го порядка с посто-
янными коэффициентами..................................................................	42
3.5. Линейные неоднородные уравнения с постоянными ко-
эффициентами. Метод вариации произвольных постоянных.
Случай с правой частью специального вида (квазимногочлен) ....	47
3.6. Уравнение Эйлера..................................................................	51
4. Системы дифференциальных уравнений................................	54
4.1. Линейные системы с постоянными коэффициентами ........	54
4.2. Решение неоднородной системы линейных дифференци-
альных уравнений методом Лагранжа.............................................	61
4.3. Линейные неоднородные системы с постоянными коэф-
фициентами и неоднородностью специального вида.....................	63
4.4. Нелинейные системы в симметрической форме..................	66
5. Уравнения с частными производными первого порядка....	68
5.1. Линейные и квазилинейные уравнения с частными про-
изводными первого порядка .............................................................	68
Список литературы.........................................................................	73

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Обыкновенное дифференциальное уравнение — это равен-

ство, содержащее неизвестную функцию одной переменной и ее производные или дифференциалы различных порядков, то есть выражение вида

, ′,…,

(1.1)

Запись (1.1) также называют обыкновенным дифференциальным уравнением порядка , не разрешенным относительно производной.

Уравнение вида

, ′,…,

(1.2)

называется обыкновенным дифференциальным уравнением порядка , разрешенным относительно производной.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей входящей в него производной.

Решением уравнения (1.1) или (1.2) называется функция, обращающая в тождества эти уравнения при подстановке.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.

Интегральной кривой называется график решения дифференциального уравнения.

Задачей Коши для уравнения (1.2) называется задача по нахождению решения этого уравнения, удовлетворяющего начальным условиям

	…	,	,
где , , , …,		,
	— некоторые числа.

1. Основные понятия

В частности, задача Коши для уравнения ′
первого порядка состоит в нахождении интегральной кривой,
уравнения, проходящей через точку	, , и имеет вид

′ , ,

Уравнением первого порядка в дифференциалах, или в дифференциальной форме, называется уравнение вида

Практикум по дифференциальным уравнениям

2.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ I ПОРЯДКА

2.1.Уравнение с разделяющимися переменными. Уравнения, приводимые к уравнениям

сразделяющимися переменными

	Уравнение вида						,,
									(2.1.1)
где		определена			при			определена при
		, называется		обыкновенным дифференциальным урав-
	,	, называется					,
	,
нением с разделяющимися переменными первого порядка.
	Решение уравнения (2.1.1) имеет вид
							,
						,	0,
						,	0,
							.
							.
	Далее следует проверить, является ли решением функция
	для которой			0		.
	Уравнение,		вида	0
заменой				,			приводится к уравнению с
разделяющимися переменными вида								1	0.
							.
	Пример 1. Решить уравнение
	Решение.
	1. Очевидно, данное уравнение является уравнением с раз-
деляющимися переменными. Полагая, что								1	0	, по-
следовательно имеем:								1	0
6

2. Дифференциальные уравнения I порядка

			ln	0 1		0
				0 1		0
				\|1 \| ln\| \|		.
2.				\|1 \| ln\| \|		.
2.		ln			1		. Тогда
	Теперь рассмотрим случай, когда				1	0	. Тогда
					1	0

10 или 0. Несложно убедиться, что эти функции

являются решениями уравнения, причем																0		— частное ре-
шение при						0		.			1	,	1	.		0
	Ответ:					0						,		.
														0
	Пример 2. Решить уравнение												′	cos		2				11 .
	Решение.													cos		2				11 .
	Имеем уравнение, приводимое к уравнению с разделяю-
щимися переменными заменой													2			11			;			, то-
гда		′′	2	′	1		и			′			2			11					.
		′′	2		1					′						,					.
			2cos					1			cos2							cos2			0
			2cos					1			cos2							cos2			0
	Интегрируя соотношение, получаем
				ln tg									tg							.
	Тогда																			.
	Тогда
				решение имеет вид
							tg 2					11				.
																.

	Непосредственной проверкой убеждаемся, что решением
также является						cos2					, то есть						,				. Можно
также является											, то есть						,				. Можно
заметить,				что							0
					для нечетных значений это решение частное
(при				), а для четных значений должно быть отдельно вы-
писано в ответ. В этом случае																,				,	то есть
писано в ответ. В этом случае
		С	0
2	Ответ:11								.					,								,
									.
									11						2				11
		.		tg 2					11						2				11

Практикум по дифференциальным уравнениям

2.2. Однородные уравнения. Уравнения, приводимые к однородным

Однородным уравнением называется уравнение вида

Выполняя подстановку

, получаем уравнение с

разделяющимися переменными:

Тогда

В заключение

ln| |

необходимо вернуться к исходным перемен-

ным, а также установить, является ли решением функция

для которой

Уравнение в

дифференциальной форме

будет однородным, если,

при замене в функ-

оно не меняется,

циях

аргумента

на

— на

Некоторые уравнения первого,

порядка.

можно привести к

однородным уравнениям подстановкой

сте-

пень

в которой подбирается соответствующим образом.

Пример 1. Решить уравнение

Решение.

Данное уравнение является однородным. Производим за-

мену

тогда

и уравнение

принимает вид

откуда

или

Далее решаем

последнее

уравнение:

2. Дифференциальные уравнения I порядка

													0					,				1			0
													0					,				1			0
																						.
							ln							ln\| \|								.
							ln							ln\| \|
	Возвращаясь к старым переменным и выражая в явном ви-
де функцию , получим
																.					0
																.
	Далее					замечаем,					что			случай			при						дает решения
то		, то есть						0		(частное решение								1		С		0				1 0
то	0							0												С		0				1 0
	есть						Записываем итоговый ответ.
	Ответ: .							,					,		.
														0
														0
	Пример 2. Решить уравнение
	Пример 2. Решить уравнение																		cosln .
	Решение.								—										cosln .								,
						cosln			—		однородное уравнение. Замена:																,
			,			cosln								и уравнение принимает вид
				тогда										и уравнение принимает вид
тогда															cosln			,
									, cosln					ln	0 ctg							ln\|			\|
									, cosln						0 ctg							ln\|			\|
	Далее, если								ctg						, тоln\| \|			, либо.				cosln				.
	Далее, если								ctg						, тоln\| \|			, либо.								.
								cosln						0				0								1
	а)				0			0			— не является решением;
	б)				0			0							,					,	,			— решение.
			cosln					1							,						,				.
	Ответ:					ctg
	Ответ:							ln				ln\| \|
								ln				ln\| \|

Уравнение вида

Практикум по дифференциальным уравнениям

приводится к однородному уравнению. Если															, то после
приводится к однородному уравнению. Если															, то после
замены
	,					,						,			0 и
где				пересечения линий
		— точка, в результате получаем
		0							.
		0							.
	Если же			с	и			, то подстановка
	Если же			с	и			, то подстановка
				с		,
дает уравнение
										.
										.
	Пример 3. Решить уравнение						′	2						.
	Пример 3. Решить уравнение						′							.
	Решение.
	Имеем уравнение, приводимое к однородному Тогда
					2	0,						3,
	Делаем замену:				1	0,						2.
				ξ		3,					ξ	,
получаем						2,					ξ
						2		.
						2		.
	Замена:		,		ξ , тогда						′ξ		и уравнение при-
	Замена:		,		ξ , тогда						′ξ		и уравнение при-
нимает вид					′ξ	2
											,
											,

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]