Практикум по дифференциальным уравнениям. Учебно-методическое пособие

Отсюдаполучаем

, а.

что приводит к решению′

,

Ответ:

.

2

tg

Решение.

Пример 3. Решить уравнение

.

Заметим, что после деления на

левую часть уравнения

можно записать в виде дифференциала частного

:

2

, где tg

0,

ctg

2

,,

ln sin

.

Рассматривая

функцию

,

непосредст-

sin

0 sin

венно убеждаемся, что она tg

0

является решением искомого урав-

нения (частным решением при

0

).

Ответ: sin

.

1

0.

Решение.

Пример4. Решитьуравнение

0

Поделим обе части уравнения на

,

0: .

0

0

2

0

0.

Умножим обе части последнего уравнения на

,

тогда

2

0.

зависела от

, надо, чтобы 2

1

0, то есть

. Тогда

2

1

0,

2

2

0,

2ln

1

С.

0

Непосредственной проверкой убеждаемся,

что

также

является решением.

ln

0.

Ответ:

1

,

′

,

(2.5.1)

где

— непрерывная функция в некоторой области

.

Функция

, ,

0

, определенная на промежутке

,

2)

,

, ′

при всех

.

;

3)

,

,

,

′

≡ 0 ,

или

,

′

(2.5.2)

то уравнение решается методом введения, ′ ,

параметра

(2.5.3)′.

Для (2.5.2) имеем

,

,

,

,

откуда приходим к уравнению,

после решения которого получаем,ответ,

в виде функции, за-

данной параметрически:

,

,

Аналогично для (2.5.3) имеем,

, .

,

,

,

откуда

,

,

,

,

,

,

а ответ записываем в виде

,

К уравнениям, не разрешенным, .относительно производ-

ной, относятся уравнения Лагранжа и Клеро.

Уравнением Лагранжа называется уравнение вида

где

.

′

′

,

(2.5.4)

Уравнением′ ′

Клеро называется уравнение вида

′

′ .

(2.5.5)

Решение.

′

2

′

.

Пример 1. Решить уравнение Лагранжа

,

′

,

2

|:

0,

2

2

,

6

1

6

,

2

6

— линейное неоднородное1

уравнение2 .

6

1.

2

,

2ln|1

,

ln| |

.|

ln|

|

2. Пусть

и

, тогда

′

′

,

получаем

6

6

6 ,

′

′

2

а тогда

3

,

.

2

1

3

2 .

,

0

приДалее,

замечаем, что при

решением является

, а

решение — функция

2

.

0

1

2

;

0;

2.

Ответ:

ln

Пример 2. Решить уравнение Клеро

′

′.

Решение.

ln ′,

′

,

′

,

.

ln

0

Возможны 2 случая:

ln

1.

0

.

0

—

общее

решение

2.

0

1

— решение.

Ответ:

ln

ln.

;

ln

1

,

,

(2.6.1)

.

Теорема. Пусть функция

,

задана в прямоугольнике

:

,в

,

: |

|

,|

|

,

пусть

непрерывна в и удовлетворяет условию Лип-

шица по

, то есть

: |

,

, |

,

, ,

|

|,

где — постоянная Липшица. Тогда на отрезке

существует единственное решение задачи Коши (2.6.1),,

где

min

,

/

,

max

, ′

|

,

|

.

Условие Липшица можно заменить на другое достаточное

условие, а именно: функция

,

непрерывна в .

Решение.

′

5sin

2

.

,

5sin

2 .

′

′ ,

5cos

.

0, то есть

Функция.

непрерывна в областях, где

2

2

2

.

Ответ:

единственности, выделить области на плоскости

, в кото-

рых через каждую точку проходит единственное,

решение

уравнения

ln .

Решение.

′

, ,

уравнение имеет единственное решение, если функция

′

,

непрерывна. Вычисляем ′:

′

.

Значит,

′

непрерывна,в тех

частях плоскости, где

0,

ln

Ответ:

0,

.

.

Возьмем

,

| |

; | |

. Рассмотрим

| ,

,

|

cos

cos

cos

|выполнено|

2 |

|

.

|Следовательно| ∙ |

, условие| | Липшица| | |

;

2

.

Ответ:

2 .

Пример 4. Доказать, что

Липшица,

не

по

переменной

удовлетворяет условию

2

sin

arctg в

Решение, :|.

|

.

Предположим (от противного), что условие Липшица по

выполняется. Возьмем

,

:| |

,|

|

. Имеем

|

,

,

|

|2

sin

|∙

.

,

Условие Липшица тогда будет выполняться и для

то есть

,0 |

2 sin

|,

0

| ,

|

,

2

sin

.

′′

′

′

′

′

′ ,

′′′

′

′

2

′

′′

3

′

′′

, …

меняется при замене на

, на

′,…,

на

. Тогда производим подстановку, ′ на:

,

где

. Производные при этом,принимают вид

′

1

′

1

′

,

′′

2

1

1