Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум по дифференциальным уравнениям. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

605 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

4. Системы дифференциальных уравнений

Ответ: 2 2 2 , 2 2 .

4.2. Решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений методом Лагранжа

Для решения неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений

				,	,	(4.2.1)
				,	,	(4.2.1)
или в матричном виде					1,
					,	(4.2.2)
необходимо	найти		линейно		независимых	решений
, ,…,	соответствующей			однородной системы (здесь
, ,…,	соответствующей			) и искать решение (4.2.1) в
,		,…,	∑
виде
					.	(4.2.3)

Подстановка (4.2.3) в уравнения системы (4.2.1) приводит

к системе линейных относительно		уравнений
		,	(4.2.4)
		,	(4.2.4)
	…
с определителем	, решая которую и отыскивая
, записываем det	0
ответ в виде (4.2.3).

Практикум по дифференциальным уравнениям

Пример 1. Решить систему

sec ,

Решение.

1. Записываем и решаем соответствующую однородную систему:

		1			2		,.	,
1		1		1	1	1		,		.		,
1		20		1		1	получим			1		,
,			при				0	cos	,sin		. Тогда
,		1,1						cos	,sin		cos .
Получаем,	решение1,1				cos			sin	,sin		cos
оо		оо			cos			sin	,
2. Ищем решениеsin					cos			sin	cos .
		неоднородной системы в виде
он		он			cos			sin ,			cos .	(4.2.5)
		sin			cos			sin			cos .

Для этого выписываем и решаем линейную относительно

,систему

	sin	cos		sin	sec ,	0.
Получаем	sin	cos		sin	cos	0.
	ln\|cos \|		,		ln\|cos	\|	,

что после подстановки в перегруппировки слагаемых приводит к решению

он

cos	sin	sin	cos	cos	sin	ln\|cos	\|,
	sin		cos	2 sin	2cos	ln\|cos	\|.

4. Системы дифференциальных уравнений

Ответ:

cos	sin	sin	cos	cos	sin	ln\|cos	\|,
	sin		cos	2 sin	2cos	ln\|cos	\|.

4.3.Линейные неоднородные системы

спостоянными коэффициентами и неоднородностью

	специального вида
Рассмотрим систему
			,		,	(4.3.1)
где функции	являются квазимногочленами,			то есть име-
где функции	являются квазимногочленами,			1,
ют вид, аналогичный (3.5.4):
				.		(4.3.2)
В этом случае можно		подобрать частное решение неодно-
В этом случае можно		cos	sin

родного уравнения таким же, как в п. 3.5, образом, но с одним изменением: вместо произведения многочленов степеней

где	max	,	с неопределенными коэффициентами на ,
			с неопределенными коэффициентами на ,
	по-прежнему — кратность корня					, необходимо за-
писывать многочлены степеней					, то есть
				(4.3.2) положить				.
	В частности, если в			(4.3.2) положить			, то квазимного-
	В частности, если в			cos		sin
член имеет вид						0
и
								.

Как и в случае с линейными неоднородными уравнениями, можно разбить неоднородность в системе на несколько слагаемых и отыскать частные решения системы для каждого из них. Тогда общее решение искомой неоднородной системы будет являться суммой решений однородной системы и всех частных решений этих неоднородных систем.

Практикум по дифференциальным уравнениям

Пример 1. Решить систему уравнений

2 3 ,

2 2sin .

Решение.

1. Записываем и решаем соответствующую однородную систему:

				2	3	,
	2		3		2 .		,		:
	2		3	при0			,	получим
а)		1	2					получим		, тогда
а)	1	1	2			1		1		, тогда
	1	,	0	при1,1		1		;		1
б)	1	,	0	при1,1			получим			, тогда
	1	3	0		3,1	3 .				1
Получаем решение			,		3,1			,
		оо			3			,

оо.

2.Найдем частное решение неоднородной системы

		2	3	,
учитывая, что для неоднородности2 ,				значения	,	0	,
1	,	. В этом случае			1	0
1		0

чн

Тогда

4. Системы дифференциальных уравнений

		2		3	,		,	3	2	.	,
Следовательно, при					,		,		2	.
Следовательно, при					получаем
	чнС			0		3			,
			чн	0,5 1		3			,
					0,5 .

3. Найдем частное решение неоднородной системы

23 ,

22sin .

Для неоднородности			2sin	значения	0	,	1	,	,
0	, поэтому частное		2sin		0		1		0
		решение должно иметь в вид

чн

sin	cos ,
sin	cos .

Тогда

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

, откудаcos

2sin

чн

3sin ,

Тогда общее решение

искомой системы

2sin

cos .

3sin ,

оо

чн

0,5 1

оо

чн

0,5 1

0,5

2sin

cos .

Ответ:

3sin

0,5

2sin

cos .

Практикум по дифференциальным уравнениям

4.4. Нелинейные системы в симметрической форме

Рассмотрим сначала систему	,…,	,
,			(4.4.1)
…	,…,	.
,

Предположим, что совокупность функций

,,…, , 1,

является решением системы (4.4.1). Разрешая эти соотношения относительно ,…, , получим

,	,…,	,	(4.4.2)
,	…	.
,	,…,	.

Каждое из равенств системы (4.4.2) называется первым интегралом системы (4.4.1), а вся совокупность этих равенств называется общим интегралом системы (4.4.1).

Одним из способов решения системы (4.4.1) является нахождение системы ее функционально независимых первых интегралов. Независимость будет иметь место, если якобиан данной системы функций отличен от нуля.

Рассмотрим теперь систему вида

(4.4.3)

,…,

симметрической форме. Очевидно, эта система содержит

уравнений.

Любую систему вида (4.4.1) можно свести к симметриче-

ской форме записи, выразив

из каждого уравнения системы:

, ,…,

4. Системы дифференциальных уравнений

Систему (4.4.3) можно решить методом интегрируемых комбинаций, то есть получением с помощью элементарных преобразований, простых для интегрирования уравнений. В этом часто может помочь следующее свойство равных дробей: если имеется несколько равных дробей

то для любых , ,…, имеет место

	.

Пример 1. Решить систему

Решение.

1. Один из первых интегралов можно найти из равенства второй и третьей дроби:

2. Следующий первый интеграл будем искать с использованием свойства равных дробей: домножим числитель и знаменатель первой дроби системы на , второй — на , сложим их и приравняем к последней дроби. Последовательно будем иметь




					0		0

Очевидно, полученные первые интегралы являются неза-

висимыми.	,	.
Ответ:

Практикум по дифференциальным уравнениям

5. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

5.1.Линейные и квазилинейные уравнения

счастными производными первого порядка

Квазилинейным неоднородным уравнением в частных про-

изводных I порядка называется уравнение

(5.1.1)

где

, …,

зависящие от

, …, , .

— функции,

от

В частности, если

≡ 0

, а функции

, …,

зависят

, …,

, то

уравнение (5.1.1) называется линейным од-

нородным уравнением в частных производных I порядка. Для решения (5.1.1) надо записать соответствующую си-

стему обыкновенных дифференциальных уравнений в симметрической форме:

									.		(5.1.2)
	После этого необходимо			найти		независимых первых ин-
	После этого необходимо					независимых первых ин-
тегралов:
	Тогда общее решение, ,…(5.1.1), ,						,		.
					будет		иметь вид
					будет			1,
	— произвольная		,	,…,			,
где	— произвольная		,	,…,			0
где			дифференцируемая функция.
	Если же искомая функция				входит только в один из пер-
вых интегралов, например, в				, ответ можно записать в явном
виде, выразив		из выражения						,…,		, где	—
произвольная дифференцируемая функция.								,…,
68

5. Уравнения с частными производными первого порядка

Задачей Коши для квазилинейного уравнения (5.1.1)

называется задача,	по,	нахождению, ,	решения этого, ,	(5.1.3)
				уравнения
(поверхности	, )), проходящего через данную линию:
		, ,	0,	(5.1.4)
Для решения		(5.1.3)—(5.1.4) необходимо
	задачи Коши, ,		0.

найти два независимых первых интеграла уравнения (5.1.3)

, ,	,	1;2, составить систему
				,	,		0,
				,	,		0,
				,	,		,
и исключить из		нее	,	,,	,	,	получив	выражение вида
ся в виде,	0. Тогда решение искомой задачи Коши запишет-
		,	,	,			, ,	0.

Пример 1. Найти общее решение уравнения

2 0.

Решение.

Записываем соответствующую автономную систему:

2 0

инаходим ее первые интегралы.

1.Один из первых интегралов получаем с использованием свойства равных дробей, умножая числитель и знаменатель

первой дроби на			, второй — на	1	, складывая их и прирав-
нивая к третьей	дроби:
		1

Практикум по дифференциальным уравнениям

		ln	ln\| \|

2.Следующий первый интеграл находим, умножая числитель и знаменатель первой и третьей дробей на 1, складывая их и приравнивая к третьей дроби:

3. Еще один первый интеграл получается, если взять последнюю дробь системы вместе с любой другой. Тогда

Найденные первые интегралы функционально независимы, поэтому решение искомого уравнения будет иметь вид

; ; 0,

или

; .

Ответ: ; .

Пример 2. Найти общее решение уравнения

√

Решение.

Записываем соответствующую автономную систему:

√

и находим ее первые интегралы.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]