Практикум по дифференциальным уравнениям. Учебно-методическое пособие

то есть

оо

чн

чн ,

Ответ:

cos2

sin2

cos2

sin2 .

sin2

sin2

.

cos2

cos2

Уравнением Эйлера называется уравнение вида

где ,

, ,

.

, (3.6.1)

Производя в этом линейном уравнении с переменными ко-

…

0 или

эффициентами замену

для

0

, получаем,

для

,

′

,

1

1

1

′′′

′′

1

,

2

3

2

, …,

откуда

,

′′

,

′′′

,…,

и уравнение (3.6.1) сводится к линейному

уравнению с посто-

3

2

янными

коэффициентами для

,

его

характеристическое

уравнение записывается в виде

1

2 …

1

1

…. (3.6.2)

2

1

0

Пример 1. Решить уравнение Эйлера

′′

′

8 .

Решение.

1. Пусть

,

. Тогда характеристическое урав-

1

1

0

2

1

0,

2.

По

,

1,

ln|

|

.

характеристическому уравнению составляем соот-

ветствующее неоднородное уравнение:

Правая

2

1

0

′′

2

′

8

,

с

,

часть неоднородного уравнения — квазимногочлен

0

,

,

0

,

поэтому его частное решение

3

0

9

ищем в виде

чн

, тогда

и

′

3

, ′′

,

6чн

2

.

Таким

образом,

.

9

2

2

8

Следовательно,

ln|

ln|

|

Ответ:2

2

|

2.

.

ln| |

8

4.

Пример 2. Решить уравнение

2

1

′′ 4 2

1 ′ 8

где

постоянные.

,

(4.1.6)

,

— произвольные

Одним из способов решения (4.1.1) или (4.1.2) является

метод исключения1,

, сводящий систему к одному уравнению

ставляем и решаем характеристическое уравнение

корня

,

(4.1.7)

а затем для каждого

находим столько решений, какова

det

0

I случай. Простому действительному корню

уравнения

(4.1.7) соответствует частное решение

где

,

,…,

частн.

,

,…,

,

— собственный вектор, соответствующий

собственному значению .

II случай. Действительному корню кратности соответ-

ствуют

частных решений вида

— частн.

,

,…,

,

где

) с коэффи-

многочлены степеней не выше (

циентами, которые находят при подстановке частного реше-

ния в исходное матричное уравнение.

1

III случай. Паре простых комплексно сопряженных кор-

ней

соответствуют два решения вида

,

,

Решение.

.

Исключим из системы функции

и

:

,

,

,

,

откуда

, и приходим,

к уравнению

.

Решая его, последовательно

получаем

0

1

0

1

0 ,

,

1 .

1

sin

.

Тогда

cos

cos

sin

sin

cos

,

sin

cos .

sin

sin

cos

Ответ:

cos

,

sin

cos

,

sin

cos .

3

,,

4

4 .

2

4

0

4

0

3 .

0

Положим

, тогда

, ,

, и реше-

ние имеет вид

1

1,1,3

1

1

1

.

1

1

2

1

1

1

Ответ:

1

3

3

.

1

2

1

1

3

3

2

2

2

,

Решение.

1

2

2

, .

2

0

1

,

,

.

1

1

2

2

1

2

0

0

2

2

0

2.

,

,

2

0

0,2,1

1

, тогда

,

,

Положим с

0

0

2 . .

2

2

2

1 .

Положим

1, тогда

0

, откуда

2

,

1

2,2,

2

,

,2cos

,

1

sin

,

,

2cos

cos

1

,

,2sin

2,2,

.

Тогда решение

2sin

,cos

sin

2sin

0

имеет вид

2cos

.

2

2cos

2sin

Ответ:

1

cos

sin

cos

sin

0

2cos

2sin

.

2

2cos

2sin

1

cos

sin

cos

sin

2

3

,

3

2

3 ,

Решение.

3

1

2

3

0

0

,

,

.

2

3

1

1

1

2

0

2

2

3

1.

0 3

0

.3

,

2

0

1,3,

1

,

1

2.

,

1

1

1

1 .

3

3

3

Ранг этой матрицы

,

порядок

1

, кратность собст-

1

1

1

венного значения

и

, то есть3число линейно не-

зависимых

собственных векторов совпадает с кратностью кор-

2

ня. Поэтому, находя из матрицы, что

, и полагая со-

ответственно

0,

1

1

и

получаем

,

,

1,

0 и

1,

1,1,0

.

Ответ:

1,0,1

, ,

.

Пример 5. Решить матричное уравнение

4

1

0

.

3

1

1

1

0

1

Решение.

1

0

4

0

, ,

2

.

3

1

1

1

1

0

2

Ранг этой матрицы

равен

, порядок

,

кратность собственного

значения

и

. То-

2

3

гда каждую функцию системы ищем в3виде многочлена

степе-

2

ни

на

:

2

2

2

2

,

2

2

2

2

,

2

2

2

2

,

тогда после сокращения на

приходим к

,

2

2

2

2

4

2

2

2

2

3

.

2

2

2

2

,

2 ,

2

,

,

2

,,

,

,

где ,

,

— независимые2

переменные. Переобозначая

2

→

→

,

→ , записываем решение искомой системы:

2

2

2

2

2

,

, .