Практикум по дифференциальным уравнениям. Учебно-методическое пособие

3. Дифференциальные уравнения высших порядков

Для уравнения (3.3.1) выполняется то же утверждение, что и для уравнения I порядка (2.3.1): общее решение он линейного неоднородного уравнения есть сумма общего решения оо соответствующего однородного уравнения и частного решения чн неоднородного уравнения, то есть

он оо чн.

Пример 1. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения, если частное решение соответствующего однородного уравнения есть многочлен

Приравниваем коэффициенты при старшей ( -ной) степени:

41

Практикум по дифференциальным уравнениям

2. Решаем неоднородное уравнение методом вариации произвольных постоянных, то есть

3.4.Линейные однородные уравнения n-го порядка

спостоянными коэффициентами

Линейным однородным уравнением n-го порядка с постоянными действительными коэффициентами называется уравнение вида

где , , …, .

42

3. Дифференциальные уравнения высших порядков

(считая кратные корни), причем комплексные корни обязательно будут образовывать комплексно-сопряженные пары. Уравнение (3.4.2) называется характеристическим.

При решении характеристического уравнения возможны следующие случаи:

I случай. Все корни уравнения (3.4.2) — действительные не совпадающие между собой числа ( действительных простых корней). Тогда фундаментальная система решений уравнения (3.4.1) будет иметь вид

, ,…, ,

а решение —

.

II случай. Все корни уравнения (3.4.2) — действительные, но среди них есть кратные: , . Тогда фундаментальная система решений уравнения (3.4.1) будет иметь вид

а решение —

.

III случай. Среди корней уравнения (3.4.2) есть пара ком- плексно-сопряженных корней , , а все остальные корни, например, действительные и простые. Тогда фундаментальная система решений уравнения (3.4.1) будет иметь вид

43

Практикум по дифференциальным уравнениям

44

3. Дифференциальные уравнения высших порядков

Пример 5. Составить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными действительными коэффициентами (возможно более низкого порядка), имеющее данные частные решения: sin2 , , , 2 .

Решение.

Как было показано выше, любое решение уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид

ляющейся частным решением, найдем числа (коэффициент перед в показателе экспоненты), (коэффициент перед в ар-

гументе синуса или косинуса), (степень многочлена), составим числа и составим первые шесть столбцов таблицы:

45

Практикум по дифференциальным уравнениям

Если в таблице значения повторяются, то вычеркиваем повторные строки и оставляем только одну строку, соответствующую наибольшему значению для этого . В нашей задаче невычеркнутыми остались строки, выделенные жирным шрифтом. Далее заполняем последний столбец таблицы и из произведения элементов этого столбца составляем характеристиче-

Пример 6. Составить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными действительными коэффициентами (возможно более низкого порядка), имеющее данные частные решения: ch , 5 , cos4.

Решение.

каждая из этих экспонент является решением однородного уравнения. Тогда таблица будет иметь следующий вид:

46

3. Дифференциальные уравнения высших порядков

Вычеркиваем вторую строку, получаем характеристическое уравнение

1 1 0 0,

после раскрытия скобок:

0.

Тогда дифференциальное уравнение имеет вид

′ 0.

3.5.Линейные неоднородные уравнения

спостоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных. Случай с правой частью специального вида

(квазимногочлен)

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными действительными коэффициентами

Как и в случае с уравнением (3.3.1) с произвольными коэффициентами, сначала требуется решить соответствующее однородное уравнение, но в данном случае это можно осуществить более простым способом (см. раздел 3.4).

47

Практикум по дифференциальным уравнениям

Далее, в случае произвольной функции метод Лагранжа (вариации произвольных постоянных) поиска решения неоднородного уравнения (3.5.1) в виде

48

3. Дифференциальные уравнения высших порядков

Если правую часть уравнения (3.5.1) можно представить в виде

,1,

оо.

2.Решим неоднородное уравнение методом вариации про-

49

Практикум по дифференциальным уравнениям

50