Практикум по дифференциальным уравнениям. Учебно-методическое пособие

где

— некоторое число.

2

,

1

ctg

(3.1.3)

Пример 1. Решить уравнение

′′′

′′

.

Решение.

′′

Видим первый случай понижения порядка, делаем замену:

,

. Получаем

′

2

1 ctg

2ctg

,

1

ln|

1|

′′ 2ln|sin

|

ln|

|

1

sin

sin

1

1

′

1

sin2

cos2

.

Получаем общее решение в виде

2

2

1

cos2

.

1

также

Непосредственной проверкой убеждаемся, что

является решением, то есть

′′

1

;

.

. Эта

функция — частное решение при С

.

Ответ: 2

2

1

cos2

0

Пример 2. Решить уравнение

′′

2

′.

Решение.

Замена согласно второму случаю:

′

,

.

Тогда

а)

0

′

2

;

′

2 0:

.

б)

0

2

I случай: С

0

;

II случай:

С

С

arctg

;

III случай:

ln

.

С

Ответ:

.

,

ln

,

arctg

,

2 ′′

Пример 3. Решить уравнение

′

′′′

.

Решение.

Поделим обе части уравнения на

′ ′′

и заметим, что

тогда левая и правая части являются

полными производными

0

некоторых функций:

′′′

2

′′

ln|

′′| ′

2 ln|

′| ′,

тогда

′′

′

′′

Порядокln| ′′|последнего2ln| ′| уравнения′′

снова′

понижается′

′.третьим

способом, имеем

′ ln|

ln| ′| ′

′|

.

′

Если

′′

,

то

. Непосредственно убеждаем-

ся, что эта

функция — решение.

0

Ответ:

,

.

Пример 4. Решить уравнение

′′

′

′ .

Решение.

′

′′

Это уравнение однородное относительно ,

,

, поэтому

делаем замену:

′

,

, тогда

′′

′

′

′

,

уравнение принимает вид

′

,

′

1

1

0

1

=0

0

ln| |

,

2

откуда

.

Заметим,

что

2также

является|

решением, то есть

ln|

|

ln|

0

Ответ: ln| |

ln|

2

|

,

.

Пример 5. Решить уравнение

4

′′

.

Решение.

→

→

, ′′

→

′′.

Подставим в уравнение:

,

Получим

′′

.

Это

уравнение будет однородным в обобщенном смысле

4

,

то есть

при

. Тогда

при

2

3

2

2

4

,

воспользуемся заменой:

,

где

.

/

Пересчитываем производные:

′

′

,

′′

′

′′

.

Уравнение принимает вид

4

/

/

′′

,

1,′ 2 ′

или

′4 ′′

4 ′ ′′

′

2 ′

,

′

.

При

0 получаем

4

1

4.

1

Производим обратную2

замену, имеем

Ответ:

4

4

4

ln .

.

4

ln

′′′

Пример 6. Решить уравнение

.

′′′ ′

′ ′′′

′′′

.

После

интегрирования и отнесения членов, содержащих

2

, к соответствующим слагаемым, содержащим константы

,

1,…,4, получим

.

1

ln|

|

Ответ:

1

ln|

|

.

,

(3.2.1)

где

,

,…,

,

определены и непрерывны на

называется

обыкновенным линейным

неоднородным

уравнением, ,

n-го порядка в каноническом виде.

Уравнение

0

(3.2.2)

Система функций

,

, определенная на

,

называется линейно зависимой,

если найдутся не все одновре-

1,

,

менно равные нулю числа

,

,…,

, для которых. (3.2.3)

0 ,

0

,

то система функций

называется линейно независимой.

Пусть

,

,…,

— функции, по крайней ме-

ре, класса

,

. Определитель

…

,

,…, …

…

…

…

стемы функций

,

,…,

.

Теорема (необходимое и достаточное условие линейной

независимости решений уравнения (3.2.2.)). Решения

,

,…,

линейного однородного

уравнения линейно

независимы тогда и

только

тогда,

когда вронскиан

бы в одной точке интервала

.

тя

Фундаментальной системой

,решения уравнения (3.2.2) на

мых,

называется совокупность любых линейно независи-

решений этого уравнения.

Если

,

,…,

— фундаментальная система

С

,

С

,…,

С

оо С

С

С

,

где

— произвольные постоянные.

уравнения

0 парой,

независимых решений

являются функции

линейно, поэтому ответ имеет вид

С

С

,

однако решениями также будут

sh ,

ch

, тогда от-

вет записывается в виде

.

свойства решений линейного одно-

Отметим некоторые С sh

С ch

родного уравнения.

1. Если

,

,…,

—

решения

уравнения

тами имеет комплексное

решение

, то

и

также являются решениями

уравнения (3.2.2).

Имеет место формула Остроградского — Лиувилля:

, ,…,

∙exp

. (3.2.5)

вид

′

0

,

(3.2.6)

то (3.2.5) принимает

′′

После предварительного,

.

(3.2.7)

отыскания решения

, при-

∙exp

exp

,

exp

,

exp

.

щим образом

и , находим недостающее частное решение

, после чего записываем ответ в виде

.

Зачастую частные решения однородногоС

уравнения удает-

С

сти, в

виде многочлена или экспоненты, то есть функции

для некоторого .

Пример,

1.

Исследовать,

являются ли

функции

,

3

линейно зависимыми.

В задаче функции рас2-

1

4

сматриваются в той области, в которой они определены.

Решение.

2

2

3

6

1

1

4

2

2

2

3

6

6

1

0

2

1

4

2

7

1

4

3

7

0

4

2

2

2

14

0

0

1

1

0

0

0

1

функции линейно независимы.

Ответ: функции линейно независимы.

Пример 2. Найти общее решения уравнения

зная его частное решение′′

2 ′

.

0,

Решение.

По формуле Остроградского-Лиувилля имеем

а так как

то получаем

,

|

|

.

2,

Интегрируя и полагая

находим

. Тогда

общее решение имеет вид

Ответ:

С

С

С

.

С

.

шения:

ch

,

, .

ния вронскиана

ch

,

,

, который будет отличным от

нуля. Тогда,

приравнивая к нулю определитель Вронского си-

стемы функций

,

,

,

, где

— общее решение,

получим

искомое дифференциальное уравнение:

ch

ch

1

′

,

sh

′′

0

ch

0

которое после

упрощения принимает вид

sh

0

′′′

0.

Ответ: ′′′

′′

′′′

′

′′

′.

0

оо ∑

(3.3.3)

некоторыеон

,

(3.3.4)

где С

,

—

неизвестные функции.

∑

Подставляя1,(3.3.4), приходим к неоднородной системе ли-

нейных относительно

уравнений:

0,

…

0,

(3.3.5)

Главным определителем (3.3.5)

. систе-

является вронскиан

мы линейно независимых функций

,

. Значит, он

отличен от нуля. Поэтому система имеет

единственное реше-

1,

ответ запи-

ние, после отыскания которого и вычисления

сывается в виде (3.3.4).