Практикум по дифференциальным уравнениям. Учебно-методическое пособие
.pdf
5.Уравнения с частными производными первого порядка
1.Один из первых интегралов получаем приравниванием первой и второй дроби:
|
2 |
0 |
. |
2. Следующий первый интеграл находим из равенства второй и третьей дроби:
|
|
|
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
ln| | ln| √ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||
1 |
| |
|
|
|
√ |
1 |
. |
|||||
Найденные первые интегралы функционально независимы, поэтому решение уравнения имеет вид
Ответ: |
|
; |
|
√ |
1 |
|
. |
0. |
; |
|
1 |
|
|||||
|
√ |
0 |
|
|
||||
Пример 3. Найти решение задачи Коши для квазилинейного уравнения:
2 |
2 |
, |
0, |
0. |
Решение.
Записываем соответствующую автономную систему:
22
инаходим ее первые интегралы.
1.Один из первых интегралов получаем, приравнивая вторую и третью дроби:
|
|
|
|
|
2 |
0 |
. |
2. |
|
|
|||||
|
|
Следующий |
первый |
интеграл находим, |
выражая |
||
из только что найденного соотношения и подставляя в первую и третью дроби системы:
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||
3 |
|
3 |
. |
||
71
Практикум по дифференциальным уравнениям
3. Исключаем |
, , |
из системы |
|
|
, |
|
|
||
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0, |
|
|
3 |
|
, |
, |
|
|
, |
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
, |
|
|
|
|
откуда 9 |
2 |
|
6 |
|
, |
|
|
|
|
и решение искомой задачи Коши, |
имеет вид |
||||||||
или |
9 |
|
2 |
3 |
4 |
3. |
|
|
|
Ответ: |
9 |
|
2 |
4 |
. |
|
|
||
|
9 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М. : URSS,
2016.
2.Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М. : Интеграл-Пресс, 1998.
3.Bučys K. Diferencialinės lygtys. Klaipeda : Klaipėdos universiteto leidykla, 2012.
4.Merziger G., Műhlbach G., Wille D., Wirth T. Formeln + Hilfen. Höhere Mathematik. Hannover : Binomi Verlag, 2018.
5.Timmann S. Repetitorium. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Hannover : Binomi Verlag, 2010.
6.Walter W. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Berlin ; Heidelberg, 1993.
Учебное пособие
Протасевич Михаил Николаевич
ПРАКТИКУМ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
Учебно-методическое пособие
Редактор О.И. Бессчастнова
Компьютерная верстка Г. И. Винокуровой
Подписано в печать 06.02.2025 г. Дата выхода в свет 13.02.2025 г.
Формат 60 90 1/16. Усл. печ. л. 4,6 Тираж 300 экз. (1-й завод 40 экз.). Заказ 14
Издательство Балтийского федерального университета им. И. Канта 236041, г. Калининград, ул. А. Невского, 14