Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум по дифференциальным уравнениям. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

605 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

2. Дифференциальные уравнения I порядка

тогда

′

ln| |

2arctg

ln|ξ|

2arctg

ln|

,. очевидно, является

Если

, то

. Эта функция

решением

искомого уравнения (частное решение при

Ответ:

′

Решение.

Пример 4. Решить уравнение

Попробуем замену

, тогда ′

′,

и получаем уравнение

Оно

∙

′

будет однородным при

подстановка

то есть при

. Таким3образом,

,приводит к соотношению

′

После замены

, ′

0′

последователь-

но получаем

0 ′

′

2ln| |

2ln| | 2ln| |

ln| |

Практикум по дифференциальным уравнениям

Заметим также, что		1		является решением.
Ответ:	ln		,	0
				0 .

2.3. Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли

Обыкновенным линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка в каноническом виде называется уравнение вида

. (2.3.1)

Обыкновенным линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка в каноническом виде называется уравнение вида

0. (2.3.2)

Будем также говорить, что (2.3.2) — однородное уравнение, соответствующее неоднородному уравнению (2.3.1). Оно является уравнением с разделяющимися переменными, а его решение оо имеет вид

оо Сexp

(2.3.3)

Теорема. Если известно одно частное решение чн линейного неоднородного уравнения и решение оо соответствующего однородного уравнения, то решение он неоднородного уравнения (2.3.1) имеет вид

он оо чн.

Одним из способов решения (2.3.1) является метод Лагранжа (вариации постоянных), при котором решение искомого неоднородного уравнения ищется в виде

	,	(2.3.4)
где	— какое-либо ненулевое решение (2.3.3) однородно-

го уравнения (2.3.2). Подставляя эту функцию в (2.3.1), получаем соотношение для нахождения функции С :

2.Дифференциальные уравнения I порядка

С,

после чего записываем ответ в виде (2.3.4). Уравнением Бернулли называется уравнение вида

где	0	,	1	.		,	(2.3.5)
где		,		.	,	уравнение Бернулли сво-

	Подстановкой
дится к линейному неоднородному уравнению
					1	1	.

Отметим, что при 0 решением также является функция 0.

Уравнением Риккати называется уравнение вида

. (2.3.6)

В общем случае это уравнение не интегрируется в квадратурах. Если 0, то оно превращается в линейное, а при 0 — в уравнение Бернулли. Если известно частное решение , то замена , приводит к

уравнению Бернулли

а замена	2	,			приводит сразу,		к линейно-
му уравнению
						.
Иногда частное	решение				удается подобрать, исходя
Иногда частное	2				удается подобрать, исходя
из вида уравнения (например в виде многочлена).
Уравнение Риккати вида
				,			(2.3.7)
где , , — постоянные,			1	,	4,		(2.3.7)
где , , — постоянные,						, имеет	частное ре-
шение вида	, а заменой					, имеет	сводится к
шение вида	, а заменой						сводится к

однородному.

Практикум по дифференциальным уравнениям

Уравнение Риккати вида
	,			(2.3.8)
	,			(2.3.8)
где , — постоянные, подстановкой			,	сво-
где , — постоянные, подстановкой			,	сво-
дится к уравнению с разделяющимися	переменными
дится к уравнению с разделяющимися		√

√ .

Уравнение (2.3.8) можно также переписать в виде

. (2.3.9)

Специальным уравнением Риккати называется уравнение вида

(2.3.10)

где , , — постоянные. В некоторых случаях (2.3.10) интегрируется в квадратурах, рассмотрим их.

случай.		0	. Получаем уравнение с разделяющимися
переменнымиI	.	0	,2
случай.				. Получаем уравнение типа (2.3.7), то
естьIIзаменой						оно сводится к однородному.
III случай.				— целоечисло. Проводим подстановку:
III случай.				— целоечисло. Проводим подстановку:
							,	,
тогда					2			,
тогда
									.

Приходим к уравнению

. (2.3.11)

Обозначим коэффициенты				,		,

. С помощью последовательного применения замен

2. Дифференциальные уравнения I порядка

(2.3.12)

или

,, (2.3.13)

соответственно увеличивающих или уменьшающих значение на единицу, (2.3.11) приводится к уравнению вида (2.3.9).

Подстановки осуществляются, пока коэффициент в уравне-

нии вида (2.3.11) не станет равным		1/2 .		cos .
Пример 1. Решить уравнение			′
Решение.	cos
′			,

′cos

—линейное неоднородное уравнение.

1.Решаем соответствующее однородное уравнение

′0.

		. ln\|	\| ln\| \|	ln\|	\|		.
2. Пусть		. ln\|	\| ln\| \|	ln\|	\|	оо	.
						оо
ния в виде		Ищем решение неоднородного уравне-
ния в виде
			.
Тогда ′	С′	cos	, уравнение принимает вид
′				′		cos
′				′		cos
	sin		sin	.
Тогда		..
Ответ:		..
	sin

Практикум по дифференциальным уравнениям

Пример 2. Решить уравнение	′	2	e .
Решение.

′, 0 — уравнение Бернулли.

Замена:					,				,	тогда		′			′, уравнение при-
Замена:				′	,				,	тогда		′			′, уравнение при-
нимает вид
								′				.
1. Решаем		соответствующее однородное уравнение
1. Решаем							–			2	0,
2. Пусть	2						–		′	2	0,				оо			.
2. Пусть	2					. \|Ищем\| 2					ln\|	\|
ния в виде										решение неоднородного уравне-
ния в виде								2
							2					.
Тогда ′	′		′								, последовательно получаем
Тогда											2			.			.

								решение.
Заметим, что						0	—
Ответ:						0	,			.
										0		2
										0
Пример 3. Решить уравнение											′							.
Решение.
Это уравнение Риккати. Попробуем подобрать его частное
решение в виде						2	. Тогда				′		, подстановка в иско-
мое уравнение дает							. Тогда				′		, подстановка в иско-
							2							1		,
							2							1

2. Дифференциальные уравнения I порядка

что будет тождественно выполняться при

		2	1,	1,
что возможно при		. Таким образом, имеем решение
	. Тогда после	замены		,	получаем
вается′	. Тогда после	1
вается′	в виде′, а уравнение после приведения подобных записы-
		′		0,

откуда

Ответ:														.


Пример 4. Решить уравнение.					′						.	4
Пример 4. Решить уравнение.					′						.
Решение.
	специальное уравнение Риккати в случае														, от-
кудаЭто		1. Замена:				,		уравнение.
Тогда		2	,	получаем√
Тогда			,	получаем√
							,		,	,			. Приво-
									,
которое имеет вид (2.3.11) при
которое имеет вид (2.3.11) при

дим его к виду (2.3.9), сделав один раз подстановку вида

(2.3.13)

. Тогда

′

, и получаем

уравнение

Наконец,

замена

дает

√

разделяющимися переменными

и приводит к уравнению с √

√

Практикум по дифференциальным уравнениям

откуда получаем

√

1 ,

arctg

√

tg √

√

tg √

√

1 √

ctg √

ctg

Ответ:

2.4. Уравнения в полных дифференциалах.

Интегрирующий множитель

Уравнение

называется уравнением,

(2.4.1)

в полных

дифференциалах в области ,

если существует такая функция

, , что

Вэтом случае решение (2.4.1) записывается в виде

,С. (2.4.2)

Теорема.		Пусть область	односвязна и частные произ-
водные	и	существуют и непрерывны. Для того чтобы

уравнение (2.4.1) было в уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы всюду в выполнялось условие Эйлера:

. (2.4.3)

При решении уравнения в полных дифференциалах (2.4.1) последовательно получаем:

1)	,	,			,
2)	,	,			,
			,	′
			,	′

2. Дифференциальные уравнения I порядка

С другой стороны,	, , и тогда
,		,	.

После нахождения функции	записываем решение в
виде (2.4.2).

Предположим теперь, что условие Эйлера не выполняется, то есть (2.4.1) не является уравнением в полных дифференциалах. Всегда существует определенная, непрерывная и не об-

ращающаяся в нуль в области функция

, такая, что

есть уравнение в полных,

дифференциалах, 0. В этом случае

функция,

называется интегрирующим множителем диф-

ференциального,

уравнения (2.4.1).

ω x,y

Теорема. Пусть существует функция

класса

та-

кая, что в

(2.4.4)

где

— непрерывная функция. Тогда

(2.4.5)

Интегрирующий

множитель легко находится в случаях,

exp

когда зависит только от

или только от

. Из (2.4.4) вытекает, что этот случай реализу-

ется при

(2.4.6)

то есть когда левая часть (2.4.6) зависит только от

. Функция

при этом находится по (2.4.5).

. Из (2.4.4) вытекает, что этот случай реализу-

ется при

(2.4.7)

то есть когда левая часть (2.4.7) зависит только от

. Функция

также определяется по (2.4.5).

Практикум по дифференциальным уравнениям

	Пример 1. Решить уравнение										ln	.
	Пример 1. Решить уравнение											.
	Решение.											0
				ln				это уравнение в полных диф-
ференциалах.				ln				это уравнение в полных диф-
1.				,	′	ln.			ln		.
1.
	2. Тогда
	С другой		стороны,							, откуда
	С другой			ln						, откуда
					′					,	,
		4	ln	,			ln				,
	Ответ:				.						.	0
	Ответ:				.						.

	Пример 2. Решить уравнение												.
	Решение.			,					2	,,	,
	Обозначим			,			′			,,	,	. Имеем,
		,									,	0

— интегрирующий множитель зависит только от						и
					.
Тогда					0 — уравнение			ив
полных	дифференциалах,			где	0 — уравнение			ив
1.	=,	, .			.		,
1.		, .			.		,
2.		, .		,
С другой стороны′			,	,			.

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]