Практикум по интегральному исчислению функции одной переменной. Неопределенный интеграл. Учебное пособие

Пример 2.6. Найти интегралы:

Z

а) Z (2x + 3) sin x dx;

б) Z

x arctg x dx; в)

ln2 x dx:

Решение. а) Это интеграл из первой группы, положим

u = 2x + 3 ) du = 2 dx;

dv = sin x dx ) v = Z

sin x dx = ¡ cos x:

Значит,

Z (2x + 3) sin x dx = ¡(2x + 3) cos x + 2 Z

cos x dx =

б) Это интеграл из второй группы, поэтому

u = arctg x ) du =

dx

) v =

x2

; dv = x dx

:

1 + x2

2

в) Это интеграл из второй группы:

x dx

; dv = dx ) v = Z

u = ln2 x ) du =

2 ln

dx = x:

x

Z ln2 x dx = x ln2 x ¡ Z x

2 lnx

= x ln2 x ¡ 2 Z

ln x dx =

x dx

) v = Z

1

u = sin bx ) du = b cos bx dx;

dv = eaxdx

eaxdx =

eax:

a

Значит,

I = Z

eax

1

Z

eax sin bx dx = sin bx

¡

eaxb cos bx dx =

a

a

1

b

=

sin bx ¢ eax ¡

Z

eax cos bx dx:

a

a

Тогда

1

b

1

1

I =

sin bxeax ¡

µ

cos bx ¢ eax + Z

eaxb sin bx dx¶ =

a

a

a

a

=

1

sin bx ¢ eax ¡

b

cos bx ¢ eax ¡

b2

Z

eax sin bx dx;

a

a2

a2

|

}

=I

т. е.

I =

(a sin bx ¡ b cos bx)eax

b2

I:{z

a2

¡ a2

интегралом I. Из этого уравнения

I µ1 +

b2

¶ =

(a sin bx

b cos bx)eax

(

a

sin

bx b cos bx)eax

¡

; I =

¡

+ C

a2

a2

a2 + b2

янную).

dx

б) Положим u = cos(ln x) ) du = ¡ sin(ln x)

;

dv = dx ) v = x. По

x

формуле (2.12) имеем

dx

Z cos(ln x) dx = x cos(ln x) ¡ Z x µ¡ sin(ln x)

¶ =

x

= x cos(ln x) + Z

sin(ln x) dx:

Для вычисления второго интеграла еще раз проинтегрируем по частям

dx

u = sin(ln x) ) du = cos(ln x)

; dv = dx ) v = x:

x

Значит

cos(ln x) dx = x cos(ln x) + x sin(ln x) ¡ Z

Z

cos(ln x) dx

или

x

¡cos(ln

x

+ sin(ln x)

¢

I =

)2

+ C:

частям.

x dx

Положим u =

a2 + x2

du =

,

dv

= dx

v = x.

Следовательно,

p

pa2

)

pa2 + x2

pa2 + x2

)

p

¡ Z

+ x2

p

¡ Z

x2 dx

(a2

+ x2) ¡ a2

dx =

I = x a2 + x2

= x a2 + x2

+ x2 =

= xpa2 + x2 ¡ Z pa2 + x2 dx + a2 Z pa2

dx

= xpa2 + x2 + a2 ln ¯x + pa2 + x2¯

¡ I

¯

¯

(мы использовали табличный интеграл ¯XI).

¯

Отсюда

2I = xp

¯x + p

¯

+2a2 ln

a2 + x2

a2

+ x2

;

x

a

¯

¯

I =

pa2 + x2 +

ln

¯x¯+ pa2 + x2

¯ +¯

C

2

2

¯

¯

(сравните с ответом примера 2.5).

¯

¯

Пример 2.8. Найти интегралы:

arcsin x dx

2

а)

Z 3pxpx dx; б)

Z

; в) Z x5ex

dx:

p

(1 ¡ x2)3

Решение. а) Введем сначала новую переменную t = p

,

тогда x = t2,

x

dx = 2t dt, поэтому

Z 3p

p

dx = Z 3tt 2t dt = 2 Z t23t dt =

x

x

u = t2 ) du = 2t dt;

dv = 3t dt ) v =

3t

:

ln 3

Используя формулу (2.12), получим

3t

3t

2t23t

4

= 2

µt2

¡ Z

2t dt¶ =

¡

Z t ¢ 3t dt:

ln 3

ln 3

ln 3

ln 3

Еще раз интегрируем по частям

) du = dt;

dv = 3t dt

) v =

3t

u = t

:

ln 3

Получаем

t2

t

4

t

3t

3t

Z px ¢ 3px dx =

2 ¢ 3

¡

µ

¢

¡ Z

dt¶ =

ln 3

ln 3

ln

3

ln 3

t2

t

t

3t

4

Z 3t dt =

2

3t

=

2 ¢ 3

¡

4 ¢

+

¢

(t2 ln2 3 ¡ 2t ln 3 + 2) + C =

ln 3

ln2

3

ln2 3

ln3 3

p

x

2p

2 ¢ 3

(x ln2 3

¡

ln 3 + 2) + C

=

x

ln3 3

интеграл

Z

arcsin x

dx = Z

t cos t dt

= Z

t dt

:

cos3 t

cos2 t

(1 ¡ x2)3

по частям (это интеграл из первой группы):

Теперь интегрируем p

u = t, dv =

dt

; тогда du = dt, v = tg t. Получаем

cos2 t

Z

(1 ¡ x2)3 dx =

Z

cos2 t

= t ¢ tg t ¡ Z tg t dt =

arcsin x

t cos t dt

p

sin t dt

d(cos t)

= t ¢ tg t ¡ Z

= t ¢ tg t + Z

= t ¢ tg t + ln j cos tj + C:

cos t

cos t

cos t = p1 ¡ sin2 t = p1 ¡ x2;

tg t = cos t

= p1 ¡ x2 :

Окончательно,

Z

sin t

x

arcsin x dx

x arcsin x

1

=

p

+

ln j1 ¡ x2j + C:

2

(1 ¡ x2)3

1 ¡ x2

в) Аналогично предыдущимp

примерам сначала сделаем замену x2 = t, тогда

2x dx = dt и значит,

x4ex 2x dx = 2 Z

2µt2et ¡ 2 Z ett dt¶ =

Z x5ex dx =

2 Z

t2et dt =

2

1

2

1

а)

1

б)

а) u = t2 ) du = 2t dt; dv = et dt ) v = et;

б) u = t ) du = dt; dv = et dt ) v = et.

б)

1

1

=

t2et ¡ µtet ¡ Z et dt¶ =

t2et ¡ tet + et + C =

2

2

1

2

2

2

=

x4ex

¡ x2ex

+ ex

+ C:

2

стям, найти следующие интегралы:

Z

x(2x + 5)10 dx.

Z

sin x cos x

Z p

dx

1.

2.

dx.

3.

.

2

sin4 x

ex

¡

1

p

p

¡

2x

1

Z

+ 5

Z

Z

sin px + cos px

4.

e

¡

dx.

5.

dx

.

6.

dx.

p

(x ¡ 7)p

p

sin 2p

2x ¡ 1

x

x

x

7. Z

p

8. Z

x3 dx

Z

x2 dx

2

x + 1

dx.

p

.

9.

p

.

x2

2 ¡ x2

x2 ¡ a2

10.

Z

x3(1 ¡ 4x2)6 dx.

11.

Z

x2 5

x3

¡ 16 dx.

12.

Z sin 2xe¡ cos2 x dx.

Z

Z

p

Z

p

ln tg x dx

(ln x + 3) dx

3x + 5

13.

.

14.

.

15.

dx.

sin x

cos x

x

x

ln2 x + 4

Z

x3 dx¢

Z

dxp

Z

arctg p

x

16.

.

17.

(1 + x)p

.

18.

p

(1 + x) dx.

x8 ¡ 2

x

x

Z

Z

x dx

Z

19.

sin3 xpcos x dx.

20.

.

21.

xe¡x dx.

x2 ¡ 6x + 25

Z

lg x dx

Z

arcsin x dx

Z

ln(x2 + 1) dx.

22.

.

23.

p

.

24.

x3

x + 1

25.

Z

x5 ln x dx.

26.

Z

arctg p

dx.

27.

Z

arcsin x dx.

7x ¡ 1

28.

Z (x2 + 2x + 3) cos x dx.

29.

Z

x2 arctg 3x dx.

30.

Z

x ¢ 2¡x dx.

Z

Z

x cos x

Z

arcsin p

31.

3x cos x dx.

32.

dx.

33.

x

dx.

p

sin2 x