Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по интеграционной механике. Компьютерный комплекс лабораторных работ по взаимосвязанным нелинейным задачам
.pdf
3.11. УПРОЩЕННЫЙ КОМПАКТ УДАРНЫХ ЯВЛЕНИЙ 89
Из уравнения (3.56) находим искомую величину R
G
sin β −Fтр− Ф1− R
1
R
= G1sin β −Fтр− Ф1= G1sin β −G1f cosβ −
1−2
= G
sin β −f cosβ −
1
1−2
a
g
=0,
1
.
1−2
:
G
1
a
=
1
g
3.11. Упрощенный компакт ударных явлений
Первые исследования удара были проведены гениальным художником
и ученым Леонардо да Винчи (конец XV в.), первая научная работа по удару
выполнена Л. Эйлером («О распространении удара», 1748 г.).
Удар является одним из сложнейших явлений в технике. Механика
имеет три этапа развития. Первый этап — классическая механика, где все
основные явления рассматриваются отдельно (колебания, устойчивость,
прочность, удар). На этом этапе развития возникли независимые теории
удара:
1) стереомеханическая;
2) контактная теория Герца;
3) энергетическая;
4) волновая (Сен-Венан).
В соответствии с законами диалектики на этом этапе есть элементы
второго этапа, этапа развития механики как интеграционной. Интеграционная механика представляет идеи синтеза различных задач механики. В теории удара это проявилось в создании следующих теорий:
1) синтез стереомеханической и энергетической (теория Карно);
2) синтез контактной и волновой (теория Сирса в теории стержней);
3) синтез волновой и энергетической (Сен-Венан).
Третий этап развития механики — интеграционная механика, в основе
которой лежат единые принципы познания. Ее реализация в теории удара — информационная пирамида, где гранями являются теории колебаний,
устойчивости, прочности, а основанием — удар. В интеграционной механике удар есть синтез взаимосвязанных нелинейных задач. На базе интеграционной механики можно получить большое количество различных синтезированных прикладных теорий. В учебном курсе обычно рассматриваются
перечисленные семь теорий удара.
90 ГЛАВА 3
3.11.1. Стереомеханическая теория удара
Стереомеханическая теория удара разработана И. Ньютоном при изучении удара двух тел.
До удара — m
После удара — m
1,m2,V1,V2
1,m2
В соответствии с законом сохранения количества движения
m
1V1
.
,V
,V
.
1
2
+ m2V2= m1V
+ m2V
1
. (3.58)
2
Имеем одно уравнение с двумя неизвестными. Выход из положения — эксперимент. Ньютон вводит коэффициент восстановления k, который зависит
от материала, но не зависит от скоростей.
k =
V
2
V2− V
− V
1
. (3.59)
1
По коэффициенту восстановления k определяют скорости после удара.
Сталь по стали k =0,90 ...0,95 о высоте падения и отскока шарика на
шлифованную поверхность. На практике специалисты стрелкового оружия
принимают k =0,4, где в процессе удара происходит многократное соуда-
рение, которое специалисты не рассчитывают. Даже в простейшей теории
соударения необходима механика деформируемого тела, так как коэффициент соударения отражает эффект пластических деформаций при ударе.
Если рассмотрим коэффициент
T
y
, (3.60)
2Θ
где T
β =
— время удара, 2Θ — удвоенное время пробега волны деформации
y
по наиболее длинному телу, принимающего участие в соударении, когда
β>3...8, то можно применять основные законы теоретической механики
и определять напряжения в месте контакта по теории Герца.
3.11.2. Контактная теория Герца
В этой теории отрицается общая деформация тел, но учитывается
местная деформация в месте контакта. Само решение основывается на
уравнениях классической теории упругости и дано Герцем для статического
сжатия тел. Контактная сила при статическом сжатии зависит от величины
сжатия по закону
P = kα
3/2
, (3.61)
где k — коэффициент, зависящий от материала и геометрии тел; α —разность смещения центров масс ударяющихся тел.
3.11. УПРОЩЕННЫЙ КОМПАКТ УДАРНЫХ ЯВЛЕНИЙ 91
Герц предложил свою формулу и для контактного удара, где ограничил
область применения: отсутствует общая деформация тел; волновые процессы несущественны. Для инженера контактная теория дает величину напряжений и время удара. Формулу времени удара даем без вывода:
2/5
=2,9432
T
y
5m
4k
−1/5
V
, (3.62)
0
где m = m
· m2(m1+ m2)−1.
1
Естественно, когда возникает сложная теория, то появляются идеи интеграционной механики: дать основные результаты с высокой точностью,
но решение сделать простым. Математическая запись (3.61) зависимости
контактной силы от перемещения не линейная, но физически задача линейная. Впервые это четко сформировал А. И. Лурье [10], автор не только
замечательного учебника по теоретической механики, но и классик теории
упругости.
3.11.3. Линеаризованная контактная теория
Линеаризация нелинейной характеристики сжатия двух тел (рис. 3.20).
Основные положения модернизированного решения:
1) равенство P
max
и α
(максимальное смещение разности центров
max
масс двух тел при ударе) по точной и приближенной зависимостям;
2) равенство энергии деформации по точной и приближенной зависимостям;
P
m
α
max
P (α) dα =
0
после простых выкладок получаем α
= kα
2
5
3/2
kα
= c(α
5/2
max
0
− α0),
max
(α
= c
=0,2 α
max
max
− α0)
2
, c =
2
1/3
5
P
max
2
·k
2/3
Чтобы найти время удара, используем синтез двух простейших тео-
рий: свободное движение тела на участие α
со скоростью V0и колебание
0
эквивалентной массы m как линейного осциллятора с жесткостью c.
τ = π
m
α
0
+2
c
. (3.63)
V
.
92 ГЛАВА 3
Рис. 3.20
Результаты расчета по формуле (3.63) отличаются от точного реше-
ния (3.62) менее чем на 1%.
3.11.4. Энергетическая теория удара
Энергетическая теория сам процесс удара не рассматривает, а опреде-
ляет информацию до удара (скорости тел) и после удара. Груз падает на
тележку массой m
и жесткостью c свысотыh (рис. 3.21).
0
Можно рассмотреть две задачи:
Первая задача. После удара груз массой m
начинает колебаться
0
сгрузомm без отскока (рис. 3.21)
t =0,V= V
(m
+ m2)¨x + cx =0,
1
2
¨x + p
x =0,p2=
x = x
0
суч¨етом начальных условий x =
V
0
туда x =
. Суммарный груз (m1+ m2) колеблется со скоростью
p
cos pt+
˙x = V
,x= x0=0,
0
˙x
0
p
˙x
0
cos pt =
p
cos pt.
0
c
m1+ m
sin pt,
V
0
sin pt максимальная ампли-
p
Эта скорость изменяется по гармоническому закону.
;
2
3.11. УПРОЩЕННЫЙ КОМПАКТ УДАРНЫХ ЯВЛЕНИЙ 93
Рис. 3.21
Вторая задача. Груз массой m отскочил от тележки (рис. 3.22).
m
¨x + cx =0,
0
x =
˙x
0
sin pt; p
p
2
=
Рис. 3.22
c
;˙x
m
= V0=2gh1.
0
Вмоментудараm1по m2какое-то время обе массы двигаются вместе,
потом груз массой m
дена скорость V
груза m
имеется ограничитель движения (типично для пружинных меха-
0
отскакивает, меняется скорость груза m0. Если най-
1
после отскока, то задача становится простой. Часто для
0
низмов), поэтому вся энергия груза делится на две части: одна передается
94 ГЛАВА 3
на ограничитель, а вторая на упругий элемент. Энергетические теории удара только внешне простые, но они всегда работают в комбинации с другими
теориями удара.
3.11.5. Волновая теория удара
Рассмотрим вывод волнового уравнения, которое приводится в курсе
физики (простейшее уравнение):
∂2u
2
a
∂x
2
u
∂
=
2
, (3.64)
2
∂t
где u = f(x, t) — перемещение сечения,
E
2
a
,
=
ρ
где E —модульупругостишага,ρ — массовая плотность вещества, a —
в данном случае скорость распространения волны перемещения u.
Воспользуемся методом Ньютона.
Рис. 3.23
Выделим элемент dx стержня, длина которого l, и применяем метод
Ньютона составления уравнения движения для элемента:
2
∂
−N + N + dN = ρFdx
∂t
u
.
2
Абсолютная деформация элемента dx:
u + du − u = du.
3.11. УПРОЩЕННЫЙ КОМПАКТ УДАРНЫХ ЯВЛЕНИЙ 95
Относительную деформацию запишем через производную:
∂u
du
=
dx
= ε. (3.65)
∂x
В формуле (3.65) явно просматривается прием сжатия информации, вместо
двух величин du и dx переходим к одной
∂u
∂x
.
Закон Гука — закон линейного изменения силы относительно перемещения, закон линейного изменения напряжения относительно деформации
(рис. 3.24, 3.25). Роберт Гук — автор более 500 открытий, но чаще всего его
имя вспоминают только по предложенному данному закону и дискуссии по
закону всемирного тяготения с И. Ньютоном.
Рис. 3.24
Рис. 3.25
На рис. 3.25 введено понятие напряжения:
∂u
σ = E ·
∂x
.
96 ГЛАВА 3
Зависимость силы от напряжения:
N = σ · F,
где F — площадь поперечного сечения.
Линейная зависимость изменения упругой силы N
∂N
dN =
∂x
dx.
Волновое уравнение приводится к виду
∂N
dx = ρF dx
∂x
2
∂
N
, (3.66)
2
∂t
где еще присутствует линейный размер dx, но, сокращая на dx,мынеуточняем, какими малыми параметрами характеризуется выделенный элемент.
Итак, при постоянстве FE получаем
EF
∂
∂x
2
U
2
= ρF
2
U
∂
.
2
∂t
Сокращая на F , получим выражение (3.64). Очень интересно сосчитать, сколько раз применялась линейная зависимость при выводе волнового
уравнения (3.64).
Удар груза по прямому стержню является одним из важнейших положений в теории удара. Что необходимо запомнить при ударе груза по
стержню? Условие: груз ударился о стержень, и начинается совместное
волновое колебание груза со стержнем. Продольный удар груза по прямой
балке изображен на рис. 3.26
Рис. 3.26
Решение задачи ведется методом разрывных функций (методика Даламбера). Почему в XVIII веке уже знали, как решать такие задачи, а в фундаментальной подготовке инженера XXI века оно отсутствует в стандартных программах?
3.11. УПРОЩЕННЫЙ КОМПАКТ УДАРНЫХ ЯВЛЕНИЙ 97
В начальный момент удара, когда волна не вернулась в место удара,
напряжения не зависят от массы удара. Отсюда можно найти критическую
скорость удара:
= a ·|ε|?
V
кр
для стали 50 относительная деформация ε =0,001, a =5км/с, поэтому
критическая скорость удара V
=5м/с.
кр
3.11.6. Синтезированные теории удара
Теория Карно
Синтез стереомеханической и энергетической теории удара. Вводятся
коэффициент восстановления K и понятие потерянной энергии при ударе.
Формула Карно:
m
1
− V
1V1
2
V
2
1
1
)2+
1 − K
1+K
2
+
2
+
T
− T2=
1
— кинетическая энергия удара двух тел до удара:
где T
1
=
T
1
T
— кинетическая энергия двух тел после удара:
2
m
T
=
1
∗
T
— потерянная энергия:
1
∗
m
=
T
1(V1
2
∗
T
, (3.67)
2
m
1V2
;
2
2
m
V
1
2
;
2
1
m
1(V2
2
− V
)2.
2
Если ввести понятие потерянных скоростей:
V
= V1− V
1
∗
V2= V2− V
1
то кинетическая энергия, теряемая при ударе, равна
∗
,
2
1 − K
1+K
— доле кинети-
ческой энергии, соответствующих потерянным скоростям.
Синтезированная теория Сирса
Волновая теория используется везде, кроме точки контакта, в точке
контакта теория Герца (рис. 3.27).
Синтезированная теория волновой и энергетической
Снова возвращаемся к волновой теории удара груза по балке с заданной начальной скоростью (рис. 3.28).
98 ГЛАВА 3
Рис. 3.27
Волновая добавка
Энергетическая теория
2
1
13
5
Рис. 3.28
Решение по волновой теории представлено на рис. 3.28 в безразмер-
εa
ных величинах:
— безразмерная деформация,
V
0
прохождения волны деформации. В точке
к заделке стержня и отразилась, поэтому скачок безразмерной деформации
at
— безразмерное время
at
l
=1прямая волна подошла
l
равен двум. Энергетическая теория не учитывает волновой процесс, но она
простая и легко позволяет найти максимальную величину безразмерной деформации. Мы ограничиваем наше решение местом зоны заделки для прямых стержней, где имеет местом сложение прямой и обратной волны, что
позволяет найти максимальную величину деформации.
Как видно из графика на рис. 3.28, сложение максимальной деформации по энергетической теории и половины скачка деформации по волновой
теории дает простое и эффективное для практики решение. Для прямых
балок данная методика предложена знаменитым французским механиком
Сен-Венаном, для пружин — Рамзауэром, ссылка дана в [20]. В инженер-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]