Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по интеграционной механике. Компьютерный комплекс лабораторных работ по взаимосвязанным нелинейным задачам
.pdf
2.2. ПРИНЦИП СЖАТИЯ ИНФОРМАЦИИ 19
в начальной и конечной точках звена. Только после этого можно определять скорости и ускорения для любых точек звена. Одной из важных целей
кинематики является нахождение ускорения в центре массы тяжести звена.
Звенья в теоретической механики и в курсе теории машин и механизмов
принимаются невесомыми, располагая массу звена в центре тяжести. Поэтому находить ускорения в точках звена, где нет массы, не всегда целесообразно. В теории машин и механизмов массу звена в виде материальной
точки располагают в центре тяжести звена. В этом случае просто определять инерционную силу звена и сводить динамику к статике по принципу
Д’Аламбера. Единство статики и динамики в данном виде носит название
кинетики.
Кинетику легко рассматривать как оператор информации нулевого действия, так же как и все теоремы и аксиомы статики. Идеальное понятие
обязательно включает использование аналогий. В статике есть сила и пара сил, в кинематике аналогом будут угловые скорости и пара вращений.
Данная аналогия по математической составляющей информации о силах
и угловых скоростях. Кинематика сохраняет важнейшую информацию механики — существование только перемещения и вращения. Эта информация
является своеобразным «геном природы», который проявляется как в живой, так и неживой природе. Это нашло отражение в кинематике в знаменитой теореме Моцци о конечном перемещении тв¨ердого тела по винтовой
линии.
2.2. Принцип сжатия информации в способах задания
движения точки
Приемы творчества представлены в кинематике прежде всего при¨емом
сжатия информации, что является важным ее достижением.
В неподвижной системе координат задание положения, скорости
и ускорения точки определяется следующим образом:
r = xi + yj + zk,
dx
a =
V =
d
dt
dr
=
dt
2
r
d
=
2
dt
dy
i +
dt
2
x
d
i +
2
dt
dt
dz
j +
dt
k,
2
z
d
k.
2
dt
j +
2
y
2
(2.1)
20 ГЛАВА 2
В подвижной системе координат сжатие информации позволяет иметь
более компактную запись:
V =˙s · τ,
=¨sτ +
2
˙s
·n,
ρ
(2.2)
2
r
d
a =
1
— кривизна кривой в данной точке.
где
ρ
dt
2
s = s(t),
=¨sτ +˙s
dτ
dt
Сжатие информации идет по математической компоненте оператора
информации, по физической этого не происходит, так как надо отслеживать орт τ (касательная к траектории движения), а также орт n (нормаль
в соприкасающейся плоскости).
2.3. Дифференцирование вектора постоянного модуля
В векторной форме дифференцирование вектора постоянного модуля
можно записать как
где ω — вектор угловой скорости вращения вектораb.
При вращении твердого тела относительно неподвижной оси в формуле (2.3) необходимо векторb заменить на радиус-вектор r относительно
полюса O, взятого на оси вращения твердого тела.
Формула
будет известной формулой Эйлера.
Если возьмем вращение твердого тела относительно неподвижной точки, то формула (2.4) сохраняется, но ω будет определять мгновенную угло-
вую скорость вращения относительно мгновенной оси. Здесь очевиден прием «идеальной теории», так как сохраняется математическая оболочка формулы, но физическое содержание меняется. Это очевидно, когда переходим
к определению ускорения точки при вращении твердого тела относительно
неподвижной оси и при вращении относительно неподвижной точки. Если
в первом случае угловое ускорение совпадает с угловой скоростью относительно неподвижной оси, то мгновенное угловое ускорение не совпадает
с мгновенной угловой скоростью. Аналогия продолжается и для известных
формул Пуассона:
db
= ω ×b, (2.3)
dt
dr
V =
= ω ×r (2.4)
dt
di
= ω ×i,
dt
dj
= ω ×j,
dt
dk
dt
= ω ×k.
2.4. МЕТОДЫ ТВОРЧЕСТВА В ИССЛЕДОВАНИИ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ 21
Как видно, векторb последовательно заменен конкретными векторамиi,j,k.
2.4. Методы творчества в исследовании плоского
движения тел
Анализ стандартного метода определения скоростей точек звена
Типовой плоский механизм представлен на рис. 2.1.
B
P
V
V
C
V
-AB
C
V
A
C
2
A
A
1
V
P
V
V
C
C
1
A
A
O
O
Рис. 2.1
Общепринятый план построения скоростей представлен на рис. 2.2.
По этому методу, прежде чем найти скорость в точке C , необходимо найти
скорость в точке B по формуле
V
=VA+VBA. (2.5)
B
ВекторV
значение данного вектора:
ВекторV
должен быть перпендикулярен звену AB. Введем новое обо-
BA
V
.
⊥BA
, направленный вдоль звена AB,обозначимкак
AB
V
.
AB
22 ГЛАВА 2
B
V
C
A
V
Рис. 2.2
B
V
C
P
A
Новые обозначения связаны с тем, что классическая формула (2.1) не да¨ет
четкого направления вектораV
. Методика определения скорости в точ-
BA
ке C:
1) выбрать полюс P ;
2) провестиV
3) через конец вектораV
параллельно векторуVA, данному на рис. 2.1;
A
, обозначенного точкой A, провести направле-
A
ние звена AB;
4) через конец вектораV
провести направление вектораVBA, которое
A
перпендикулярно направлению звена AB;
5) через полюс P провести направление скорости точки B;
6) пересечение направления векторовV
сразу векторыV
BA
иVB;
7) местонахождение точки C на вектореV
иVBпозволяет определить
BA
определяется пропорцио-
BA
нально е¨е местонахождению на звене BA;
8) соединяя полюс P
вектораV
(линию действия, направление и модуль).
A
иточкуC, сразу определяем все три величины
V
Графический метод последовательного определения скоростей
при плоском движении тела
Определение мгновенного центра скоростей позволяет почти решить
задачу нахождения скорости в любой точке ведомого звена, но без модуля. Мгновенный центр скоростей находим графически на пересечении
перпендикуляров к направлению действия скоростей в точках A и B,эту
операцию можно выполнить прямо, используя черт¨еж механизма. Линия
действия и направление действия скоростей для звена AB нам известны.
Модуль скорости для любой точки звена AB можно найти тремя способами, изображенными на рис. 2.1.
2.4. МЕТОДЫ ТВОРЧЕСТВА В ИССЛЕДОВАНИИ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ 23
Первый способ. Определяем мгновенный центр скоростей, для че-
го продолжим направление звена OA до пересечения с перпендикуляром
к направлению скорости в точке B. В точке пересечения будет находиться
мгновенный центр скоростей. Линия действия вектораV
отрезку CP
но полюса P
. Направление совпадает с вращением вектораVAотноситель-
V
. Зная соотношение расстояний CPVи CPV,находиммодуль
V
перпендикулярна
C
скорости в точке C. На рис. 2.1 представлена маленькая задачка — найти
на звене AB такое положение точки, где скорость этой точки будет равна
скорости в точке A. Графически нам видно, что треугольник ACP
равно-
V
бедренный.
Второй способ. Направление и линию действия вектораV
деляем по первому методу, а модуль определяем из подобия AA
C
опре-
1PV
и C1C2PV.
Третий способ. Если в двух первых методах необходимы численные
расч¨еты, то в третьем способе можно сразу измерить скорость в точке C .
Направление и линию действия вектораV
Модуль вектораV
на AB, перенос вектораV
получаем, проектируя векторVAна направление зве-
C
вточкуC, из конца вектораV
⊥BA
перпендикуляр до пересечения с направлением вектораV
определяем по первому методу.
C
проводим
⊥BA
.
C
Можно ли воспользоваться рассмотренными методами для получения
ускорений, минуя определение ускорения в конце звена AB?
Q
a
A
C
O
B
Рис. 2.3
На рис. 2.3 рассмотрим пример, где отсутствует мгновенный центр
скоростей для звена AB, w
=0. Ускорение в точке A для звена
AB
OA имеет тангенциальную и нормальную составляющие, а для звена AB
24 ГЛАВА 2
только тангенциальную. Следовательно, можно воспользоваться методиками, рассмотренными ранее. Находим мгновенный центр ускорения на пересечении перпендикуляров к направлениям ускорений в точках A и B.
Соединяем мгновенный центр ускорения с определяемой точкой C,адалее находим линию действия, направление и модуль вектора по одному
из тр¨ех методов, рассмотренных для определения скорости в точке C на
рис. 2.1.
Графические методы последовательного определения ускорений
при плоском движении тела
В 1927 году А. П. Котельников предложил редуцированные вектора
и определение с их помощью ускорений при плоском движении твердого
тела.
Пропаганда этого метода начата Ю. М. Зингерманом (Об одном мало
известном способе определения ускорений при плоском движении твердого
тела: Сб. научно-методических статей по теоретической механике. Вып. 17.
М.: Высшая школа, 1986. C. 69–79). В работе мгновенный центр ускорения
лежит на пересечении окружностей, построенных на редуцированных ускорениях в двух точках, которые являются диаметрами этих редуцированных
ускорений. Такой подход противоречит поставленной задаче кинематик и,
но идея редуцированных ускорений нами будет использоваться.
Основная наша цель — определение ускорений в любой точке звена
AB, без определения ускорения в точке B.
Необходимость получения новых методов ускорений для плоского дви-
жения связана с парадоксом кинематики. При известном аналитическом методе определения ускорения в любой точке анализируемого звена можно
находить сразу ускорение центра масс. При принятом векторном методе
этого получить ранее было нельзя.
Рассмотрим три новых метода построения плана ускорений, позволяю-
щих избежать данного парадокса кинематики. Первый метод будем искать
с позиции идеального решения.
Сформулируем требования к методу с позиции идеального решения:
1) уч¨ет особенности конкретного механизма;
2) существенное сокращение графических построений по отношению
к стандартному методу;
3) определение ускорения векторным методом выполняется для любой
точки анализируемого звена;
4) организация контроля графического построения ускорения.
2.4. МЕТОДЫ ТВОРЧЕСТВА В ИССЛЕДОВАНИИ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ 25
Найдем ускорение в точке C для механизма, данного на рис. 2.1. стан-
дартным методом.
B
A
1
C
A
Q
a
O
B
1
Рис. 2.4
Определяем ускорение в точке B (рис. 2.4) по формуле
= aA+ aBA. (2.6)
a
B
Ускорение a
представим в виде суммы нормального и тангенциального
BA
ускорений:
BA
BA
n
= a
a
τ
+ a
. (2.7)
BA
Во многих учебниках последняя формула записывается математически
правильно, но для интеграционной механики неверно
= a
τ
BA
a
BA
+ a
n
BA
.
Для определения нормального ускорения необходимо знание угловой скорости, а для тангенциального ускорения — углового ускорения, последнее
находится как производная угловой скорости.
На рис. 2.4 показан численно-графический метод построения ускоре-
ния в точке B: переносим в точку B ускорение точки A; проводим прямую,
26 ГЛАВА 2
параллельную звену AB, и откладываем модуль нормального ускорения
n
в направлении к точке A; из конца вектора a
проводим перпендикуляр
BA
кзвенуAB до пересечения с направлением скорости в точке B.Модуль
вектора a
шения
равен отрезку A1B1.Искомыйуголα определяется из соотно-
BA
tg α = |
τ
a
BA
n
a
BA
| = |
ε
|.
2
ω
Векторы A и B поворачиваем на угол α и на их пересечении определяем
мгновенный центр ускорения Q
. Ускорение в точке C: соединяем точки A
a
и C; проводим линию действия и направление ускорения точки C таким
образом, чтобы вращение этого вектора относительно мгновенного центра
ускорения совпадало с вращением и двух других векторов A и B.Модуль
вектора ускорения в точке C находим из пропорции
|
|a
A
QaA
Q
C.
a
|a
c
| =
Рассмотрим метод определения ускорения в точке C, минуя определение ускорения в точке B для рассмотренного ранее плоского механизма
(рис. 2.1). Применим редуцированное ускорение, предложенное академиком А. П. Котельниковым:
= aA· ω−2.
˜a
A
По направлению линии действия редуцированное ускорение совпадает
с обычным, но имеет размерность перемещения. Из конца вектора ускорения A
проводим перпендикуляр к звену BA до пересечения с направле-
1
нием ускорения в точке B.Искомыйуголα определяется из соотношения
A
tg α =
1B1
AB
.
Откладываем угол α в ту сторону, куда направлено тангенциальное редуцированное ускорение, опускаем перпендикуляр и получаем мгновенный
центр ускорения для звена BA. Для определения ускорения в точке C необходимо соединить мгновенный центр с точкой C,отложитьуголα, про-
вести перпендикуляр к отрезку Q
C, пересечение этого перпендикуляра
a
и направления вектора ускорения в точке C позволяет сразу найти модуль
вектора ускорения в точке C.
Ускорение в точке B нам необходимо только для контроля выполнен-
ных графических построений. При этом имеем три проверки: соединение
2.4. МЕТОДЫ ТВОРЧЕСТВА В ИССЛЕДОВАНИИ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ 27
мгновенного центра ускорения с точкой B позволяет найти угол, который
должен совпадать с углом α; перпендикуляр к отрезку Q
каться с точкой B
должна совпадать с отрезком Q
; половина модуля редуцированного ускорения точки B
1
.
aB2
B
C
A
1
B
2
Q
a
C
1
B
1
B должен пересе-
a
A
O
Рис. 2.5
На рис. 2.5 показан новый метод определения ускорения в точке C без
определения ускорения в точке B. Редуцированное ускорение в точке C
определяем по формуле
˜a
=CA +˜aA+C1A1.
C
Модуль редуцированного тангенциального ускорения (векторC
1A1
)можно найти тремя способами, рассмотренными ранее для определения модуля
скорости в точке C. Действительно, для тангенциального ускорения мгновенный центр ускорения строится по правилу мгновенного центра скоростей.
Один из вариантов представлен на рис. 2.6. Определяем тангенциаль-
ную составляющую редуцированного ускорения, находим постоянное ре-
28 ГЛАВА 2
C
2
B
C
A
1
Q
A
C
1
B
1
O
Рис. 2.6
дуцированное ускорение вдоль звена AB, переносим это редуцированное
ускорение в точку C , проводим перпендикуляр к звену AB до пересечения
с линией действия ускорения в точке C. Само направление перпендикулярно отрезку Q
.
˜a
Продолжим поиск ещ¨е более наглядного способа определения ускорения в точке C без определения ускорения в точке B.Нарис.2.7сиспользованием редуцированного ускорения показано определение модуля редуцированного тангенциального ускорения через соотношение
CA
A
1C1
=
BA
· A
1B1
.
Если ранее нами строился мгновенный центр ускорения для звена AB
по редуцированному ускорению ˜a
ванному ускорению ˜a
, что является проверкой нашего построения. Недо-
C
статок метода, представленного на рис. 2.7, в том, что точку C
, то его легко построить и по редуциро-
A
необходимо
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]