Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по интеграционной механике. Компьютерный комплекс лабораторных работ по взаимосвязанным нелинейным задачам
.pdf
3.2. ИНФОРМАЦИОННЫЙ КОМПАКТ ВЕКТОРНОЙ МЕХАНИКИ НЬЮТОНА 49
Понятие о коэффициенте восстановления K введено Ньютоном в тер-
минах кинематики, фактически K отражает реальные упругие свойства со-
ударяющихся тел и определяется экспериментально. Данный пример свидетельствует о том, что еще в ХVII веке Ньютон использовал приемы, которые мы сейчас называем приемами системного подхода, в частности ввод
дополнительной информации.
Таким образом, при системном изложении законов Ньютона нами ис-
пользовались в основном два типовых приема системного подхода: инверсия и ввод дополнительной информации.
3.2. Информационный компакт векторной механики
Ньютона
Введем системный оператор, сущность которого можно представить
в виде следующего набора математических операторов и символов:
. (3.5)
,
¨
r
¨
. (3.6)
r
d
,
dt
0, =, 0
•,
В первой строке формы (3.5) размещены взаимно противоположные математические операторы дифференцирования и интегрирования, вторая строка символизирует равенство или неравенство нулю какого-либо математического выражения или величины, третья строка символизирует переход,
посредством математического оператора суммы, от одной материальной
точки к системе материальных точек и далее снова к материальной точке, имеющей физический смысл центра масс механической системы.
Используя в качестве базовой информации массу m и радиус-вектор r,
а также системный оператор (3.5), законы векторной динамики Ньютона
можно представить в сжатом виде в форме (3.6), которую далее будем именовать информационным компактом динамики Ньютона:
−→ d/dt
r
mrm˙rm
0 r ×m˙rr × m¨r
←−
˙
r
50 ГЛАВА 3
Раскроем смысл информационного компакта динамики Ньютона. Первая строка компакта (3.6) образована применением к базовой информации r
математических операторов d/dt и, размещенных в первой строке системного оператора (3.5). При этом, применяя к r математический опера-
тор d/dt, получаем соответственно вектор скорости˙r и вектор ускорения¨r.
Обратно, применяя к¨r математический оператор, получаем соответственно˙r и r. Итак, первая строка компакта образована кинематическими харак-
теристиками движения r,V и a.
Вторая строка компакта образуется путем умножения элементов первой строки на скалярный коэффициент m (массу). Получаем ряд, состоящий из следующих величин: mr — статический момент точечной массы
относительно некоторого центра, m˙r — вектор количества движения точки,
m¨r — вектор, равный по величине и направлению силе, действующей на
точку массой m, имеющей ускорение¨r.
Третья строка компакта получена векторным умножением на элементы
второй строки компакта. При этом получаем ряд, состоящий из: r × mr =
=0, r × m˙r — вектора кинематического момента относительно некоторого
центра; r ×m¨r
= m0(F ) — вектора момента силы относительно некоторого
центра. Особенности компакта (3.6):
1) Активные силы и активные моменты не входят в компакт, их необходимо присоединять в правой части законов. Второй закон Ньютона:
m¨r =F.
2) Оператор дифференцирования применяется только к первой строке,
так как остальные две строки строятся на базе первой.
3) При получении интегрального закона необходимо записать закон Ньютонасуч¨етом правой части и только потом интегрировать.
d/dt(mV )=F,
а затем, переходя к интегральной форме
t
2
mV
− mV1=
2
t
1
Fdt,
убеждаемся в том, что получено математическое выражение теоремы
об изменении движения материальной точки: приращение вектора количества движения точки за некоторый промежуток времени равно им-
3.3. ОСНОВНОЙ ИНФОРМАЦИОННЫЙ КОМПАКТ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ НЬЮТОНА51
пульсу равнодействующей приложенных к точке сил за этот же промежуток времени.
4) Применение знакадостаточно очевидно.
mV = Q.
Автор (Полищук Д.Ф.) должен признать, что такого уточнения ранее не
было дано в [11].
3.3. Основной информационный компакт задач динамики
Ньютона
3.3.1. Содержание компакта
Цель компакта — в сжатом виде представить курс теоретической меха-
ники. Наибольший интерес для инженера представляют:
1) механика абсолютно твердого тела;
2) механика деформированного тела;
3) инженерная механика (часть информации из механики абсолютно
твердого тела, часть — из механики деформируемого тела);
4) интеграционная механика, в терминах которой можно рассматривать
как механику абсолютно твердого тела, так и механику деформированного тела.
Основной информационный компакт задач динамики включает в себя:
1) критерий применимости основных положений классической механики;
2) методы составления дифференциальных уравнений движения;
3) анализ исходных уравнений движения;
4) способы решения дифференциальных уравнений движения;
5) информационные блоки задач динамики (колебания, устойчивость,
удар).
3.3.2. Критерий применимости основных положений классической
механики
Первое положение основного компакта: коэффициент применимости
основных теорем теоретической механики
T
u
где T
β =
— время удара, θ — время пробега волны деформации.
u
2θ
,
52 ГЛАВА 3
Основа информации — эксперимент, если
T
u
β =
то применяется классическая механика Ньютона, но T
> 3...8,
2θ
и θ определяются
u
из реального процесса и связаны с положениями механики деформированного тела. Волны многократно прошли по телу, напряжения возросли, и сам
волновой процесс не опасен (рис. 3.2).
Рис. 3.2
3.3.3. Методы составления уравнений движения
Рассмотрим в сжатом виде основные методы составления исходных уравнений движения. Подробнее на некоторых методах остановимся
в дальнейшем.
Анализ движения тел в классической механике изучается на основании
уравнений сил (уравнения движения по Ньютону или Лагранжу), уравнений энергии (энергетический метод). Механику свободного тела (реакции
связей отсутствуют) часто называют механикой Ньютона. Механика несвободного тела (механика со связями) — механика Лагранжа.
Механика свободного тела основана на втором законе Ньютона:
F = m¨r.
Механика несвободного тела при использовании принципа освобождения от связей сводится формально к механике свободного тела:
F +R =0. (3.7)
Уравнения движения механики свободного тела и механики несвободного тела сводятся к условному равновесию по Даламберу,
Φ=−m¨r, (3.8)
F +Φ=0 (механика свободного тела), (3.9)
F +R +Φ=0 (механика несвободного тела). (3.10)
3.3. ОСНОВНОЙ ИНФОРМАЦИОННЫЙ КОМПАКТ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ НЬЮТОНА 53
Лагранж задался целью формализовать механику («изгонял» геометрию из механики), для чего были введены специальные координаты (обобщенные координаты), понятие идеальных связей, возможные виртуальные
и действительные перемещения. Основная цель Лагранжа — с уровня уравнений движения (уровень сил) перейти на энергетический уровень и обратно с энергетического на силовой уровень. На энергетическом уровне
используется понятие работы идеальных связей (прием учета особенности
задачи)
· δri=0, (3.11)
R
i
общее уравнение динамики:
(Fi· δri+Ri· δri+Φi· δri)=0. (3.12)
i
Другой метод составления уравнений — изменение кинетической энергии. Изменение кинетической энергии равно изменению работы внешних
сил:
ΔT =ΔA
e
.
Лагранж учитывает в общем уравнении динамики идеальные связи, осуществляет переход к обобщенным координатам и при каждом изменении
независимой обобщенной координате получает уравнение движения для
данной обобщенной координаты:
d
dt
∂T
∂ ˙q
∂T
−
∂q
i
i
= −
∂П
+ Qi, (3.13)
∂q
i
где q
— обобщенная координата; T — кинетическая, П — потенциальная
i
энергии; Q — обобщенная активная сила.
Решать задачу можно как на уровне уравнений, связанных с энергией,
так и уравнений движения. Прямая и обратная задачи механики оцениваются на основе уравнения Ньютона
F = m¨r,
если заданы силы, определяем перемещения (прямая задача). Заданы перемещения — находим силы (обратная задача).
Прямой метод составления уравнений Ньютона:
F = m¨r.
54 ГЛАВА 3
Обратный метод составления уравнений движения:
r = f (¨r,F )
— это уравнение перемещений, часто используется для анализа балок при
изгибных колебаниях.
К уравнению Лагранжа, общему уравнению динамики, к теореме изменения кинетической энергии мы снова вернемся в дальнейшем. Существуют и другие методы, в частности вариационные (уравнения Лагранжа
второго рода и являются одним из этих методов), подробнее можно ознакомиться в [4, 6].
В реальных инженерных задачах составление уравнений движения является только частью конкретной задачи, так как всегда существует дополнительная информация, которую необходимо учитывать. Этого нет в классической постановке составления уравнений движения. Управление процессом движения при составлении уравнений движения является инженерным методом, названным автором системным методом. В [11] дан конкретный пример применения системного метода составления уравнений движения.
3.3.4. Анализ исходных уравнений движения
Мы рассмотрели два этапа:
1) основной критерий применимости основных положений классической
механики;
2) методы составления уравнений движения.
Более подробно на реализации методов составления уравнений движе-
ния остановимся в дальнейшем.
Третий этап: анализ исходных уравнений рассмотрим на примере ма-
тематического маятника (рис. 3.3).
Воспользуемся методом Ньютона для составления уравнения движе-
ния материальной точки M под действием собственного веса относительно 0. Количество движения — mV ,гдеV =˙ϕ · l —моментколичества
2
движения материальной точки относительно 0 — ml ˙ϕ · l = ml
2
Здесь ml
— момент инерции вращения материальной точки относи-
˙ϕ.
тельно точки 0. Уравнение движения математического маятника относительно точки 0:
dt
d
2
(ml
˙ϕ)=−mgl sin ϕ.
3.3. ОСНОВНОЙ ИНФОРМАЦИОННЫЙ КОМПАКТ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ НЬЮТОНА 55
Рис. 3.3
Изменение по времени количества движения системы равно измене-
нию момента внешних сил. Моментом внешних сил является момент силы
тяжести относительно точки 0. Итак,
d
2
(ml
dt
˙ϕ)+mgl sin ϕ =0.
Пример 1.
m =const,l=const, sin ϕ = ϕ;
2
¨ϕ + mglϕ =0;
ml
¨ϕ + p
2
ϕ =0,p2=
g
;
l
имеем обычные свободные линейные колебания.
Пример 2.
m =const,l=const, sin ϕ ≈ ϕ;
имеем псевдогармонические нелинейные колебания, где параметры системы зависят от ϕ, описываются уравнением
2
2
¨ϕ + mgl1 −
ml
ϕ
ϕ =0.
6
Это уравнение Ван-дер-Поля применяется в радиотехнике. Ван-дер-
Поль предположил, что колебания этого вида вызывают ишемическую болезнь сердца. Общая модель работы сердца, естественно, описывается более сложными уравнениями. Но идеи Ван-дер-Поля подтвердились.
56 ГЛАВА 3
Пример 3.
m =const,l=const, sin ϕ ≈ ϕ;
ml
2
¨ϕ +2ml
dl
+ mglϕ =0— квазигармонические колебания.
dt
Частный случай квазигармонических колебаний — параметрические
колебания. Параметрический резонанс известен в ядерной физике, во многих других задачах физики и механики.
Пример 4.
3
ϕ =0;
ϕ
;
6
m =const,l=const, sin ϕ = ϕ −
2
ml
2
¨ϕ +2ml
dl
+ mgl1 −
dt
ϕ
6
имеем одновременно квазигармонические и псевдогармонические колебания.
Пример 5.
m =const,l=const, sin ϕ ≈ ϕ;
ml
2
¨ϕ +
2
l
˙ϕ + mglϕ =0;
dt
dm
имеем уравнения движения с переменной массой (уравнения Мещерского),
которые используются в космонавтике для вывода формулы Циолковского.
Пример 6.
3
ϕ
m =const,l=const, sin ϕ = ϕ −
;
6
исходное уравнение резко осложнилось, так как к колебаниям системы
с переменной массой добавились особенности псевдогармонических колебаний:
ml
2
¨ϕ +
dm
dt
2
l
˙ϕ + mgl1 −
2
ϕ
ϕ =0.
6
Пример 7.
m =const,l=const, sin ϕ ≈ ϕ;
ml
2
¨ϕ +
dm
dt
2
l
˙ϕ +2ml
dl
˙ϕ + mglϕ =0;
dt
в исходных уравнениях видим синтез колебаний системы с переменной
массой и квазигармонических колебаний.
3.3. ОСНОВНОЙ ИНФОРМАЦИОННЫЙ КОМПАКТ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ НЬЮТОНА 57
Пример 8.
3
ϕ
ϕ
6
6
;
2
ϕ =0;
m =const,l=const, sin ϕ = ϕ −
ml
2
¨ϕ +
dm
dt
2
l
˙ϕ +2ml
dl
˙ϕ + mgl1 −
dt
в исходном уравнении имеет место синтез псевдогармонических, квазигармонических колебаний и колебаний системы с переменной массой. Решение задачи 8 затруднительно и специалистам высшей квалификации. Мы
видим, что пример один, а возможности наши позволяют решать только
уравнение примера 1 и примера 2.
3.3.5. Типовые приемы творчества в решении уравнений движения
Остановимся только на двух методах:
1) учитываем особенность нашей задачи (метод Фурье, рис. 3.4);
2) решаем задачу в наиболее общем виде (метод вариации произвольных
постоянных), рис. 3.5.
Рис. 3.4
Рис. 3.5
В обеих задачах не учитываем силы трения. При составлении уравне-
ний движения используем метод Ньютона. Два этих метода представляют
58 ГЛАВА 3
«вилку», частный метод, учитывающий особенность задачи, наиболее целесообразен при гармоническом законе действующей силы. Общий метод
эффективнее при сложном законе зависимости активной силы от времени.
Итак, будем рассматривать обе задачи одновременно. Сначала составляем
«физические уравнения», общепринятые уравнения движения
m¨x + cx = P sin ωt, (3.14)
m¨x + cx = Q(t). (3.15)
Приводим к математическому виду соответственно
2
¨x + p
x = h sin ωt, (3.16)
Q(t)
2
x =
¨x + p
c
2
p
=
; p — круговая собственная частота, h =
m
, (3.17)
m
P
; h — амплитуда ускоре-
m
ния внешнего возмущения в задаче рис. 3.4. Общее решение (3.16) определяем в виде суммы двух решений:
x = x
+ x2. (3.18)
1
Решение уравнения (3.17) ищем сразу в виде решения линейного осциллятора
x = C
C
cos pt+ C2sin pt,
1
= C1(t),C2= C2(t).
1
(3.19)
С помощью зависимости (3.18) уравнение (3.16) можно привести
к двум независимым уравнениям:
¨x
+ p2x1=0, (3.20)
1
¨x
+ p2x2= hsin wt. (3.21)
2
Уравнение (3.20) — это однородное уравнение, которое имеет извест-
ное решение:
x = C
В этом виде решение (3.22) совпадает с (3.19), но постоянные C
cos pt+ C2sin pt. (3.22)
1
и C
1
не зависят от времени. Итак, математическая оболочка уравнений (3.19)
и (3.22) одна и та же, системная составляющая — различная.
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]