Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по интеграционной механике. Компьютерный комплекс лабораторных работ по взаимосвязанным нелинейным задачам
.pdf
4.2. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СТАТИКА ВИНТОВОГО ТОНКОГО БРУСА 109
чать победы от поражений» — несколько вольный пересказ стихотворной
строчки Б. Пастернака.
Взаимосвязь пространственных колебаний достаточно просто объясняет эффект Комптона, за который была получена Нобелевская премия
в 1927 году. «Эффект Комптона... длина волны рассеянного излучения оказывается больше, чем длина волны падающего» [43, с. 19]. Это поперечные
волны света, скорость которых отличается от скорости продольных волн.
4.2. Лабораторная работа ДК-2. Пространственная
статика винтового тонкого бруса
Пространственная статика винтового тонкого бруса относится к одной
из сложных задач техники, так как математически относится к нелинейным
задачам с плохо обусловленным решением. Для решения этой задачи известным математиком, профессором Николаем Викторовичем Азбелевым,
был предложен новый метод решения дифференциальных уравнений. Реализация этого метода выполнена ПолищукомД. Ф. для системы двенадцати дифференциальных уравнений Кирхгофа– Клебша. Желающим ознакомиться с этим новым методом рекомендуем книги [16, 17].
На основе одной фундаментальной матрицы решения получены два
противоположных решения: линейная статика (равномерность напряженного состояния по длине пружины); нелинейная статика (неравномерность
напряженного состояния по длине пружины).
Исходные данные для решения представлены в таблице 4.3. Поджатие m принимается положительным при сжатии. В задаче колебаний при
сжатии поджатие имело отрицательный знак. Углы ϕ
клон плоскости опорного витка по двум направлениям. Оценка влияния
этих углов на напряженное состояние и является одной из задач лабораторной работы. Параметры поджатия m
позволяют избежать математи-
1,m2
ческой проблемы вырождения решения. Поэтому их выбор произвольный,
естественно, что эти параметры должны быть меньше истинного поджатия m. Параметр c
представляет отношения изгибных жесткостей, для
21
круглого сечения витков этот параметр равен 1. Параметр c
ет отношения крутильной жесткости к изгибной жесткости, для круглого
сечения витков этот параметр равен 1+μ.Приμ =0,3 он равен 1,3.
На рис. 4.3 приведено решение в виде безразмерного отношения касательного напряжения по модели винтового тонкого бруса и линейной теории.
определяют на-
0,ψ0
31
представля-
110 ГЛАВА 4
Рис. 4.3
На данном рисунке виден парадокс, что жесткость по длине витка меняется, но суммарная продольная жесткость всей пружины (винтовой тонкий брус является реальным объектом техники в виде винтовой цилиндрической пружины) мало отличается от линейной теории. Тонкой линией
показано решение равнопрочности по длине пружины при специально подобранных углах ϕ, ψ. При этом можно получить два варианта: резкое изменение жесткости пружин и условие равнопрочности по длине пружины.
Значения углов ϕ, ψ целесообразно искать в пределах 0,1 ...0,5 α. При проведении лабораторной работы студенты в диалоговом режиме знакомятся
с восемью графиками нелинейной статики: три компоненты силовых параметров, три компоненты моментов, максимальные касательные напряжения
по отношению к линейной теории, максимальные эквивалентные напряжения (по третьей теории прочности) по отношению к линейной теории.
Проблема формирования опорных витков подробно рассмотрена в [16],
но аналитическое решение создания равнопрочности вдоль пружины получено по данной нелинейной статике. Перед специалистами была поставлена
реальная техническая задача — поднять долговечность буферной пружины
пулем¨ета «Ут¨ес» в 1,5 раза без изменения параметров гнезда, где помещается пружина. Типичный способ повышения долговечности пружин —
это снижение напряжений, но в данном случае снижать напряжения было нельзя, а повышать долговечность надо. Ведущие организации страны, в том числе и уч¨еные Ижевского механического института и Научноисследовательского института в Ижевске, несколько лет пытались решить
эту задачу. Нелинейная статика цилиндрических пружин и позволяет выполнить эту задачу — снять неравномерность напряженного состояния по
длине пружины.
4.2. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СТАТИКА ВИНТОВОГО ТОНКОГО БРУСА 111
Этот эксперимент проводился на специальном ударном стенде конструкции В. А. Бутусова. Были изготовлены две контрольные партии пружины (i
=2,5; α =7,1◦). Первая партия изготовлена по принятой тех-
p
нологии с параллельными торцами. Долговечность пружин этой партии:
1880, 1940, 2000, 2310, 2190 (среднее значение долговечности 2100, среднее квадратичное отклонение 190). Опытная партия с непараллельными
торцами: 2750, 2440, 3190, 3875, 3000, 3190, 3060 (среднее значение долговечности 3040, среднее квадратичное отклонение 180). Повышение долговечности в 1,5 раза соответствовало требованиям конструкторов данного изделия. Испытание и внедрение данной методики на заводе «Металлист» г. Уральска осуществил инженер Сенюткин П. А. (выпускник ИМИ,
дипломник Полищука Д. Ф.), коллектив завода «Металлист» удостоен министерской премии за успешное выполнение важного заказа для одной из
северо-африканских стран.
Данная техническая задача (не изменяя конструкцию механизма, повысить долговечность буферной пружины в 1,5 раза) оказалась важной
и экономико-политической задачей. Изменения коснулись очень незначительной непараллельностью опорных витков. Если угол подъ¨ема винтовой
◦
линии 5
, то данный угол составляет всего 0,5◦, что даже трудно обнару-
жить визуально.
Японские специалисты многие годы занимались нелинейной статикой
цилиндрических пружин [23, 24], в конце концов заявили, что к этой задаче нельзя применять современную вычислительную технику. Японцам
удалось выявить плохую обусловленность этой задачи, но никто не запрещает создавать новые математические методы, поэтому эта задача является
уникальной в математике, так как позволяет анализировать задачу с многократным вырождением исходной матрицы на основе устойчивого алгоритма решения задачи.
Аппетит приходит во время еды, поэтому появилась идея возможности сокращения габаритов пружины с одновременным повышением долговечности пружины. Эта идея была реализована при использовании новой
теории удара, что будет рассмотрено в лабораторной работе ИК-8 (синтезированная теория удара с инерционным соударением витков).
Оформление лабораторной работы включает четыре графика неравномерности напряженного состояния по длине пружины (эквивалентное напряжение в безразмерном виде по отношению к линейной теории) при нулевых значениях углов ϕ, ψ для выбранных параметров пружины и тр¨ех
их изменений, позволяющих приблизиться к условию равнопрочности по
длине пружины.
112 ГЛАВА 4
4.3. Лабораторная работа ДК-3. Исследование
эйлеровской потери устойчивости винтового тонкого
бруса на основе «порождающего решения»
Уравнение устойчивости для «порождающего решения» получается
из (4.1) при w =0:
Основные частоты поперечных колебаний в уравнении (4.1) определяются
корнями:
На рис. 4.4 дана качественная оценка эйлеровской потери устойчивости при
шарнирной и жесткой заделке опорных концов.
m
m
ïð
-1
HD
0
-1
HD
0
N =0. (4.3)
± 1
2i
p
k =
n
HD
0
HD
0
=
-1
-1
2+1
h
1
h
2
cos α.
2i
p
i
i
2
i
21
-
n
=
i
2
-1
HD
0
-1
HD
0
Рис. 4.4
В данном комплексе лабораторной работы используются три способа
определения эйлеровской потери устойчивости:
1) обращение основных частот поперечных колебаний в нуль как для
шарнирной заделки, так и при жесткой заделке;
2) применение уравнения устойчивости для шарнирной заделки и определение предельной величины поджатия m для конкретной величины
безразмерной высоты пружины:
H
0
D
= π · i
· tg α;
p
4.3. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЙЛЕРОВСКОЙ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ 113
3) нахождение предельных параметров m при условии жесткой заделки
по методу Полищука Д. Ф. [16, 17], подробное объяснение данной методики приведено в лабораторной работе ФМП-3 (глава 5).
Первая методика использует программное обеспечение лабораторной работы 4.1. Набор исходных параметров — по аналогии с табл. 4.1. Обязательным условием является строго целое значение удвоенного числа рабочих
витков при шарнирной заделке.
Таблица 4.2. Исходные данные винтового тонкого бруса
Количество рабочих витков 5
Угол подъема винтовой линии, α,град. 6
Относительное поджатие,m −0,2
Относительное кручение, m
Коэффициент Пуассона, M
2
y
0
0,3
Необходимо найти четыре значения H0D−1и m (D — средний диаметр
пружины). Проверку данного решения выполняем по второй методике —
определение уравнения устойчивости при заданном угле α. По заданной
программе сразу строятся таблица для построения уравнения устойчивости и само уравнение устойчивости и классическое уравнение продольной
потери устойчивости по ЧернышовуН. А. [16, 17].
Пример расчета по первой методике. Расчеты выполняются по ана-
логии с таблицей 4.2, где выделяются две гармоники основных поперечных колебаний. Результаты расчета представлены в таблицах 4.4–4.7. При
оформлении работы расчеты необходимо выполнять аналогично представленным таблицам.
Из анализа расчетов в таблицах 4.4–4.7 можно определить четыре рас-
четные точки, каждая расчетная точка имеет два значения при одном параметре безразмерной высоты:
· D−1=2,64,m(n = 15) = −0,66,m(n = 17) = −0,735,
H
0
· D−1=3,30,m(n = 19) = −0,315,m(n = 21) = −0,320,
H
0
· D−1=3,96,m(n = 23) = −0,121,m(n = 25) = −0,202,
H
0
· D−1=4,95,m(n = 29) = −0,66,m(n = 31) = −0,123.
H
0
Второй вариант анализа продольной потери устойчивости имеет контрольный характер, где само уравнение продольной устойчивости зависит только
от угла α, поэтому оно не демонстрируется в данной лабораторной работе.
114 ГЛАВА 4
Таблица 4.3. Расчет безразмерных собственных частот винтового тонкого бруса,
фазовые и групповые скорости по отношению к модели эквивалентного бруса
Номер Корень Продольные Крутильные Фазовая Фазовая ГрупповаяГрупповая
гармоники колебания колебания скорость скорость скорость скорость
прод. крут. прод. крут.
1 0,0996 0,9788 1,1220 0,9823 1,1259 0,957 1,091
2 0,1993 1,8726 2,1484 0,9396 1,0780 0,831 0,951
3 0,2989 2,6009 2,9973 0,8700 1,0026 0,625 0,741
4 0,3986 3,0918 3,6090 0,7757 0,9054 0,350 0,488
5 0,4982 3,2868 3,9477 0,6597 0,7923 0,023 0,213
6 0,5979 3,1467 3,9956 0,5263 0,6683 −0,330 −0,072
7 0,6975 2,6558 3,7465 0,3807 0,5371 −0,680 −0,356
8 0,7972 1,8237 3,2084 0,2288 0,4025 −0,988 −0,607
9 0,8968 0,7160 2,4411 0,0798 0,2722 −1,099 −0,673
10 0,9965 0,0000 1,9898 0,0000 0,1997 0,000 0,460
11 1,0961 0,8061 3,2979 0,0735 0,3009 1,347 1,832
12 1,1958 2,5091 5,4118 0,2098 0,4526 1,833 2,337
13 1,2954 4,5739 7,9032 0,3531 0,6101 2,171 2,687
Таблица 4.4. Порождающее решение. Расч¨еты собственных частот. Динамический
метод определения эйлеровской потери устойчивости. i =8, α =6
◦
, H0· D−1=
=2,64
n Относительное поджатие, m
гармоники 0 −0,6 −0,65 −0,67 −0,7 −0,8 −0,75 −0,72
15 0,538 0,15 0,067 0 0 0 0 0
16 0 0 0 0 0 0 0 0
17 0,561 0,21 0,162 0,138 0,98 0 0 0,065
Третий вариант анализа продольной потери устойчивости выполняется
по методике лабораторной работы ФМП-3 для студентов факультета «Прикладная математика».
4.3. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЙЛЕРОВСКОЙ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ 115
Таблица 4.5. Порождающее решение. Расч¨еты собственных частот. Динамический
метод определения эйлеровской потери устойчивости. i =10, α =6
◦
, H0· D−1=
=3,30
n Относительное поджатие m
гармоники
0 −0,1 −0,15 −0,20 −0,30 −0,35 −0,32 −0,31 −0,33 −0,325 −0,315
19 0,452 0,384 0,340 0,286 0,094 0 0 0,031 0 0 0
20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
21 0,465 0,398 0,356 0,304 0,132 0 0,033 0,096 0 0 0,07
Таблица 4.6. Порождающее решение. Расч¨еты собственных частот. Динамический
метод определения эйлеровской потери устойчивости. i =12, α =6
◦
, H◦· D−1=
=3,96
n Относительное поджатие m
гармоники 0 −0,1 −0,20 −0,15 −0,17 −0,18 −0,19 −0,195 −0,205
23 0,388 0,285 0 0,205 0,159 0,130 0,091 0,063 0
24 0 0 0 0 0 0 0 0 0
25 0,396 0,290 0,064 0,217 0,174 0,147 0,114 0,092 0
Таблица 4.7. Порождающее решение. Расч¨еты собственных частот. Динамический
метод определения эйлеровской потери устойчивости. i =15, α =6
◦
, H◦· D−1=
=4,95
n Относительное поджатие m
гармоники 0 −0,1 −0,15 −0,125 −0,110 −0,115 −0,120 −0,122
29 0,319 0,140 0 0 0,102 0,077 0,035 0
30 0 0 0 0 0 0 0 0
31 0,323 0,148 0 0 0,112 0,090 0,581 0,040
Практическая ценность изучения продольной потери устойчивости ци-
линдрических пружин можно продемонстрировать следующей проблемой,
возникшей в пружине рулевого управления одного из спортивных мотоциклов в объединении «Ижмаш». Пружина находилась в специальной цилиндрической втулке, и инженеры не смогли визуально заметить продольную
116 ГЛАВА 4
потерю устойчивости, тем более что при окончательном сжатии пружина
снова становилась устойчивой. Последствие этой ошибки было одной из
важнейших причин закрытия производства мотоциклов в Ижевске. В аналогичной подвеске в японской модели мотоцикла пружина была спроектирована так, что в ней при любом сжатии отсутствовала H
D−1≈ 2,62 про-
0
дольная потеря устойчивости. Интересен житейский парадокс: подробный
анализ устойчивости цилиндрических пружин был выполнен в Ижевске,
а заводские специалисты с целью знакомства с новейшими разработками
спортивных мотоциклов, а заодно и с экзотикой Японии многократно посещали эту страну, полностью игнорируя разработки группы Д. Ф. Полищука.
ГЛАВА 5
Исследовательский компьютерный
комплекс интеграционной механики
объекта
В исследовательский компьютерный комплекс включены лаборатор-
ные работы для специального курса «Некорректные плохо обусловленные
нелинейные задачи механики», которые могут быть использованы для магистерской подготовки студентов и в научно-исследовательской работе со
студентами.
5.1. Лабораторная работа ИК-1. Исследование влияния
конструктивных параметров на собственные частоты,
фазовые и групповые скорости для винтового тонкого
бруса
Приводимый табличный материал является примером для выполнения
лабораторной работы. Первая часть работы использует «порождающее решение», с которым студенты ознакомлены в лабораторной работе ДК-1.
В таблицах 5.1–5.2 даны примеры расчетов частотного спектра и влияние числа рабочих витков и статического поджатия и закрутки. Коэффициент m
M
0,P0,R0
средний радиус пружины. В частотном спектре для «порождающего» решения внесены изменения в формуле (4.1) в значения коэффициентов d, f:
не является непосредственным коэффициентом закрутки —
2
M
0
=
m
2
— соответственно момент от закручивания, сжимающая сила,
P0R
,
0
d = m tg α
f = m tg α
cos α(1 + m2tgα);
0
sin α(1 + m2cotα).
0
(5.1)
118 ГЛАВА 5
Если раньше уравнение (4.1) использовалось только для анализа сжатия
и растяжения винтового тонкого бруса, то введение в частотное уравнение
выражений d, f по зависимости (5.1) позволяет анализировать ещ¨ечетыре
состояния (закрутка имеет два значения ±m
).
2
Таблица 5.1. Влияние на частотный спектр «порождающего решения» i, m, m2(закрутка) при a =6
i m m2n =2i − 2 n =2i − 1 n =2i n =2i +1 n =2i +2
i =3 0 0 1,70 0,87 0 1,09 3,08
i =5 0 0 1,79 0,72 0 0,80 2,40
◦
−0,1 0 1,71 0,88 0 1,11 3,14
−0,3 0 1,72 0,90 0 1,16 3,26
+0,1 0 1,69 0,87 0 1,07 3,03
+0,3 0 1,68 0,86 0 1,03 2,92
−0,3 0,3 1,73 0,90 0 1,16 3,25
−0,3 −0,3 1,72 0,89 0 1,17 3,27
+0,3 0,3 1,68 0,86 0 1,04 2,93
+0,3 −0,3 1,68 0,86 0 1,03 2,91
−0,1 0 1,81 0,72 0 0,80 2,18
−0,3 0 1,84 0,72 0 0,82 2,57
+0,1 0 1,78 0,73 0 0,79 2,35
+0,3 0 1,76 0,74 0 0,80 2,27
−0,3 0,3 1,85 0,72 0 0,81 2,56
−0,3 −0,3 1,84 0,71 0 0,82 2,57
+0,3 0,3 1,76 0,74 0 0,80 2,38
+0,3 −0,3 1,76 0,74 0 0,78 2,26
Нами использовался при¨ем «решить задачу, не решая задачи». Выражения d, f входят в большинство выражений, включенных в уравнение (4.1).
Уравнение частотное существенно изменилось, но внешне оно осталось
прежним, за исключением выражений d, f.
Анализ фазовых скоростей можно выполнить по аналогии с расчетами в таблице 5.3. Все расч¨еты даны в безразмерном виде по отношению
к стандартной модели эквивалентного бруса. Для пространственных продольных колебаний это соотношение равно единице. Групповую скорость
предлагается анализировать по примеру, данному в таблице 5.2. В табличном виде групповые скорости не показаны, студенты должны сравнить фазовые и групповые скорости для выбранных ими примеров. При сравнении
выявляется эффект, когда групповая скорость меньше фазовой. Экспери-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]