Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по интеграционной механике. Компьютерный комплекс лабораторных работ по взаимосвязанным нелинейным задачам
.pdf
ВВЕДЕНИЕ xi
но. Его многолетняя дружба с авторами книги всегда останется в нашей
памяти.
Авторы благодарят доктора технических наук, профессора МГТУ
им. Н. Э. Баумана, заведующего кафедрой Гаврюшина Сергея Сергеевича за
рецензирование данной книги. Профессор С. С. Гаврюшин читает в МГТУ
им. Н. Э. Баумана курс лекций по упругим элементам, он в курсе всех наших новых разработок в области упругих элементов, а также методики преподавания механики.
Главы 1, 2, 3 написаны Полищуком Д. Ф. Компьютерный лабораторный комплекс представлен в главе 4: ДК-1 — Полищуком А.Д., Полищуком Д. Ф.; ДК-2 — Полищуком Д. Ф.; ДК-3 — Полищуком А.Д., Полищуком Д. Ф. Компьютерный лабораторный комплекс представлен в главе 5: ИК-1–ИК-4 написаны Полищуком А. Д., лабораторные работы ИК-5,
ИК-6 — Полищуком А. Д., Полищуком Д. Ф., лабораторные работы ИК-7,
ИК-8 — Полищуком Д. Ф. Компьютерный лабораторный комплекс представлен в главе 6: лабораторные работы ФМП-1, ФМП-3 — Полищуком А. Д.,
Полищуком Д. Ф., ФМП-2 написана Полищуком А. Д., лабораторная работа
ФМП-4 — Полищуком А. Д., Полищуком Д. Ф. Введение, литература написаны авторами совместно. Данная книга предназначена студентам технических специальностей, специалистам по прикладной математике и механике, которые имеют полное право увидеть пути достижения переднего края
науки.
ГЛАВА 1
Геометрическая статика — оператор
информации нулевого действия
1.1. Оператор информации нулевого действия
и аксиомы cтатики
Аксиоматика статики соответствует вузовскому учебнику. Оператор
информации нулевого действия и его количественный аналог — основной
оператор механики — объясняют все аксиомы статики.
Первая аксиома: система двух сил, приложенных к одному твердому
телу, действующих по одной прямой в этом теле и равных по величине, но
противоположно направленных, эквивалентна нулю. Эта аксиома есть нулевой оператор информации, а точнее — его математическая компонента —
нулевой вектор. Нулевой вектор широко используется в [8].
Вторая аксиома: механическое состояние тела не изменится, если к системе добавить или изъять из нее систему сил, эквивалентную нулю. Эта
аксиома есть нулевой вектор информации системы сил.
Третья аксиома: всякое действие вызывает равное и прямо противоположное действие. Если рассматривается одно тело, то имеем взаимодействие на него со стороны другого тела, т.е. силу, но если рассматривать
систему из двух тел, то эта аксиома опять приводит нас к оператору информации нулевого действия.
Четвертая аксиома: система двух сил, приложенных к одной точке
твердого тела, всегда имеет равнодействующую силу. Эта аксиома допускает и обратное утверждение: силу можно разложить бесчисленным количеством способов на две силы, приложенные в любой точке действия данной
силы. Эта аксиома является чисто математической компонентой оператора
информации нулевого действия.
Пятая аксиома: эффект от действия связей таков же, как и от действия определенных, дополнительных сил, которые могут быть приложены
2ГЛАВА 1
к свободному телу вместо связей. Это системная компонента оператора информации нулевого действия. В самой аксиоме предполагается сохранение
действия, и это главное, а замена связей дополнительными силами позволяет изменить только информацию, но не действие. Рассмотрение данной
аксиомы в феврале 1988 года при первом чтении курса теоретической механики одним из автором данной книги и привело к понятию оператора
информации нулевого действия. Изменились математика и физика заделки
балки. Например, жесткая заделка балки, где первоначально заданы известные нулевые перемещения и вращения, заменена на свободное перемещение и вращение тела, но прикладываются неизвестные силы и моменты.
Эти неизвестные силы и моменты обладают размерностью соответственно
сил и моментов, которые задаются в основной информации о равновесии
тела. Это главная информация, которая сохраняется неизменной. В дальнейшем из основной информации легко определяются неизвестные силы
имоментыбалки.
Шестая аксиома (аксиома отвердевания): равновесие механической системы не нарушается от наложения новых связей; в частности, равновесие
механической системы не нарушится, если все части системы связать между собой неизменно, жестко. Новые связи — это дополнительная информация, но действие — равновесие системы сил — остается неизменным.
К этой аксиоме примыкает прием расширения габаритов тела — опять это
системный прием: габариты тела расширяются, меняется информация, но
все пространство «заморожено», поэтому действие неизменно.
Применяя оператор инверсии, можно из оператора информации нулевого действия как следствия получить все аксиомы статики. Поэтому в интеграционной механике не надо отказываться от аксиом статики, так как
с их помощью легче объяснять отдельные положения статики, но, в единстве рассматривая аксиомы статики, приходим к более глубокому пониманию самой статики.
1.2. Понятие о силе трения
Исследованиями законов трения занимались Леонардо да Винчи
(1452–1519), французский физик Амонтон (1663–1705), французский инженер Ш. Кулон (1736–1806).
Законы Амонтона – Кулона [6]
1) Силы трения скольжения зависят от материала и физического состояния поверхностей трущихся тел.
1.2. ПОНЯТИЕ О СИЛЕ ТРЕНИЯ 3
2) Трение движения почти не зависит от величины скорости движения
трущихся тел.
3) Сила трения скольжения почти не зависит от величины отношения
нормальной составляющей N реакции опоры к площади соприкосновения поверхностей тел.
4) Сила трения покоя больше силы трения движения.
5) Предельная величина силы статического трения пропорциональна силе
нормального давления поверхностей тел, между которыми она возникает.
Предельная величина силы статического трения:
max
= f ·N,
F
tr
где главной экспериментальной величиной является сама сила трения. Искомая экспериментальная величина приравнивается к произведению известной величины N и неизвестного коэффициента f , который будет безразмерным, так как известная величина выбрана той же размерности, что
и искомая экспериментальная величина.
Если f — коэффициент статического трения скольжения, а˘f —коэф-
фициент трения движения, то
˘
f<f.
Величина предельного угла наклона поверхности, по которой двигает-
ся груз под действием силы тяжести, определяется из равенства
Q sin α − fQcos α =0.
Из этого равенства легко определить предельный угол наклона поверхности, при котором движение груза прекратится:
f =tgα.
Если будем рассматривать трение качения, то экспериментальную ве-
личину трения качения определяем по методике силы трения скольжения,
известной величиной является нормальная реакция
N = |Q cos α|.
Максимальная величина трения качения (без уч¨ета скольжения во вре-
мя качения) определяется из выражения, где коэффициент пропорциональности между экспериментальной величиной трения качения и нормальной
реакцией колеса по наклонной плоскости определяется выражением
tr
= δ|Q cos α|.
M
c
4ГЛАВА 1
В данном выражении коэффициент трения качения δ, в отличие от трения
скольжения f, является величиной размерной.
1.3. Основной оператор механики для геометрической
статики и основные положения статики
Основной оператор механики для геометрической статики представляет объединение общего оператора информации и оператора информации
нулевого действия. Он получается из общего оператора теоретической механики (рис. 1.3), где отсутствуют операторы, связанные с временем.
1.3.1. Система сходящихся сил. Теорема о тр¨ех силах
Для системы сходящихся сил определяющим является пересечение линий действия системы сил в одной точке. Сила, действующая на тв¨ердое
тело, является скользящим вектором. Все действующие силы можно заменить одной результирующей силой, приложенной в точке пересечения
сходящихся сил (рис. 1.1).
F
R
O
A
n
A
F
n
3
1
F
1
A
2
F
2
F
3
Рис. 1.1. Определение равнодействующей системы сходящихся сил
Условие равновесия системы сходящихся сил — равенство нулю равнодействующей силы:
R =0;
R =F
F
ix
=0,
i +F
ix
iy
Fiy=0,
j +F
k;
iz
Fiz=0.
(1.1)
1.4. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ И ОСИ.ПАРА СИЛ 5
Очень интересным примером для информационной механики является теорема о равновесии тр¨ех сил. В соответствии с этой теоремой можно
«решить задачу, не решая задачи». На рис. 1.2 представлена балка, которая
нагружена силой P под углом α. Зная направление реакции в точке B,можно найти точку пересечения силы P и реакции R
проходить и линия действия реакции R
, так как балка под действием при-
A
.Черезэтуточкудолжна
B
ложенных сил находится в равновесии. Это позволяет построить силовой
треугольник сил и сразу найти реакции R
Рис. 1.2
B
и RA.
Теорема Вариньона
Если данная система сходящихся сил сил имеет равнодействующую,
то момент равнодействующей пространственных сходящихся сил относительно произвольной точки равен векторной сумме моментов слагаемых
сил относительно той же точки [6].
Теорема Вариньона верна только для сходящихся сил и совокупности
сил с параллельными друг другу линиями действия. В теореме Вариньона
имеем дело с оператором информации нулевого действия. В несходящейся
совокупности сил представление о равнодействующей несходящейся совокупности сил лишено смысла. В этом случае вводится более общее понятие
главного вектора.
1.4. Момент силы относительно точки и оси. Пара сил
1.4.1. Момент силы относительно точки
Алгебраический момент силы относительно точки (рис. 1.3):
M
(F )=± F · h. (1.2)
o
6ГЛАВА 1
Алгебраический момент силы относительно точки не зависит от переноса силы вдоль ее действия (физическое свойство объекта как твердого
тела, которое не подвергается деформации), сжимает информацию (две информационные величиныF и h заменяются одной величиной M
(F )). Ко-
o
личественно (математическая компонента) алгебраический момент равен
| M
(F ) |=2SOAB.
o
B
F
h
O
Рис. 1.3. Алгебраический момент силы относительно точки
A
Вектор момента силы относительно точки O (рис. 1.4) является оператором сжатия информации:
M
(F )=r ×F.
o
B
F
M
0
A
r
h
O
Рис. 1.4. Вектор момента силы относительно точки
1.4. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ И ОСИ.ПАРА СИЛ 7
Скользящий векторF несет три информационных инварианта: сохранение линии действия (абсолютное тв¨ердое тело не искажает линию действия); сохранение направления; количественное значение модуля силы не
изменяется.
Векторный момент силы относительно точки сохраняет эти инварианты, но в преобразованном виде: переносу силыF вдоль линии действия
силы соответствует постоянство площади SOAB, линия действия силы
F иточкаO образуют плоскость; линия действия вектора момента силы
M
(F ) перпендикулярна плоскости, где находятся силаF иточкаO;на-
o
правление вектора момента силыM
чика», если с конца вектора момента силыM
(F ) определяется «правилом бурав-
o
(F ) наблюдается вращение
o
вектора силыF против часовой стрелки, то направление вектора момента
силыM
(F ) принимается положительным, в противном случае (вращение
o
по часовой стрелке) — отрицательным.
Момент силы относительно оси
В математике существует очень серь¨езный парадокс: проекции вектора на все три координаты Декарта являются векторами; проекции этого
же вектора на плоскость также представляются двумя векторами; проекция
вектора на ось становится скаляром. В последнее время в [4] этот парадокс
убран и предложено использовать понятие оснащенного вектора. По установившейся традиции момент силы относительно оси называется алгебраическим моментом проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную
оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью [6].
Пара сил
Пара сил возникает из нулевого оператора силыF (рис. 1.5), когда точка O приложения двух равных противоположных сил раздваивается и эти
два нуля O и O
раздвигаются на расстояние h. Эквивалентность двух пар
1
сил, как любое понятие эквивалентности, является оператором информации нулевого действия. В одной плоскости различные пары будут эквивалентны, если их действие постоянно, что количественно определяется
равенством алгебраического момента. Пара сил представляет математически свободный вектор, который нес¨ет инварианты: плоскость действия, направление вращения, постоянство алгебраического момента пары сил. Пару
сил можно переносить в параллельную плоскость, в самой плоскости пару
сил можно поворачивать как угодно и переносить в е¨е плоскости действия;
8ГЛАВА 1
можно менять плечо и силы, сохраняя при этом алгебраический момент
пары и плоскость действия. Эти операции не изменяют их действия на
тв¨ердое тело (принимаем под действием условное вращение, где сама ось
точкой приложения не фиксирована). Теорема о сумме моментов сил пары
(сумма векторных моментов сил, входящих в состав пары, относительно
любой точки не зависит от выбора точки и равна векторному моменту этой
пары сил) показывает, что плоскость действия пары эквивалентна линии
действия силы. Сложению двух пар сил, лежащих в пересекающихся плоскостях, соответствует сложение двух пересекающихся сил. Условие равновесия пар сил,
n
i=1
Mix=0,
M =
n
i=1
i=1
n
M
,
i
Miy=0,
M =0, (1.3)
n
Miz=0, (1.4)
i=1
является оператором информации нулевого действия, так как система находится в равновесии под действием внешних пар сил только в том случае,
когда они равны нулю.
Что наиболее сложно для понимания действия пары сил? Это перенос оси вращения пары в плоскости. Если внести новое понятие момента
вектора силы относительно оси как вектора, то наглядность переноса оси
в плоскости действия пары сил улучшится, так как пара сил будет определяться разностью двух векторов относительно одной оси, которая перпендикулярна плоскости пары сил. В этом случае наглядно видно, что разность
векторов не зависит от места расположения самой оси.
−F
O
F
−F
O
h
Рис. 1.5. Формирование пары сил
O
F
1.4.2. Сложение двух параллельных сил
Сложение двух параллельных сил (рис. 1.5) является важным примером внесения нулевой физической информации, а затем е¨е вынесения из
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]