Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по интеграционной механике. Компьютерный комплекс лабораторных работ по взаимосвязанным нелинейным задачам
.pdf
2.4. МЕТОДЫ ТВОРЧЕСТВА В ИССЛЕДОВАНИИ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ 29
B
C
A
A
1
O
C
1
B
1
B
C
A
A
1
Q
a
C
1
B
1
O
Рис. 2.7 Рис. 2.8
определять из пропорции. Соединим методику проверки решения с определением точки C
На рис. 2.8 представлено это решение. Точка C
ного вектора ˜a
куляра Q
aC1
на основе мгновенного центра ускорений для звена A.
1
(конец редуцирован-
1
) определяется на пересечении отрезка A1B1и перпенди-
C
к QaC.
Один из сатириков как-то сказал: «Если ты сделал переворот в науке,
посмотри, не перевернулся ли ты сам».
На рис. 2.9 построим классическим методом план ускорения для данного механизма. Выберем за начало координат векторов a
, aB, aCпо-
A
люс π. В этой точке нами сжата информация о начале всех тр¨ех векторов. Проводим известную линию действия, направление вектора и модуль
вектора a
проводим линию действия, направление и модуль вектора a
дикулярно ему вектор a
Определяем из пропорции нахождение точки C на векторе a
, известную линию действия вектора aB. Из конца вектора a
A
τ
до пересечения с направлением вектора aB.
BA
n
и перпен-
BA
и соединя-
BA
ем эту точку с началом векторов (полюс π). Сравнивая стандартный метод
(рис. 2.5) и предложенный метод на рис. 2.3, очевидно, что в предложен-
A
30 ГЛАВА 2
C
Рис. 2.9 Рис. 2.10
ном методе разнесены точки A, B, C по длине звена BA, а для того, чтобы
звено BA использовалась как вектор, введено редуцированные ускорения.
На рис. 2.10 показано нахождение редуцированного ускорения в точке C звена BA планиметра. Особенность данного механизма и положения
его звена BA в том, что редуцированное тангенциальное ускорение ˜a
τ
BA
совпадает с редуцированным ускорением ˜aA, поэтому соединяем точку C
сточкойC
, расположенной на векторе ˜a
1
τ
BA
.
На рис. 2.11 показан при¨ем инверсии для кинематики плоской системы. Обычный метод: сначала определяется скорость, а только потом ускорение. Особенность механизма на рис. 2.11 — это заданное нулевое ускорение в точке A. Необходимо найти ускорения в точках B, C. Естественно,
что истинное ускорение найти нельзя, но редуцированное ускорение находится элементарно (рис. 2.11) как в точке B,такивточкеC. Строим план
скоростей, определяется угловое ускорение звена BA и истинное ускорение
точки B. Если для редуцированного ускорения ранее истинное ускорение
делили на квадрат углового ускорения звена BA, то в данном случае надо
умножить редуцированное ускорение на квадрат углового ускорения звена DA.
Определение ускорений для колеса, катящегося без скольжения по
плоскости, вызывает затруднения у студентов. На рис. 2.12 показан простой графический способ определения ускорений для любой точки колеса.
2.4. МЕТОДЫ ТВОРЧЕСТВА В ИССЛЕДОВАНИИ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ 31
Рис. 2.11
Рис. 2.12
Дано: радиус колеса R, скорость центра колесаV0, ускорение центра коле-
.ТочкаM — мгновенный центр скоростей, легко определить угловую
са a
0
скорость колеса ω, редуцированное ускорение a
. Опускаем перпендикуляр
0
32 ГЛАВА 2
на отрезок MA и получаем мгновенный центр ускорения для редуцированных векторов нашей задачи. Графически получили нужный нам угол α,
соединяем мгновенный центр ускорения Q сточкойK, строим угол α.Направление угла выбираем из условия, что вектор a
должен вращаться от-
k
носительно мгновенного центра ускорения для редуцированных ускорений,
как и вектор a
вектор
−−→
KK
. Восстанавливаем перпендикуляр к отрезку QK и получаем
0
.
1
Поставим важную инженерную задачу: зная только редуцированное
ускорение в точке A (рис. 2.5), найти графически, без каких либо расч¨етов,
ускорения сразу в нескольких точках звена BA. Это важно для инжене-
ра, который анализирует ускорение звена BA как минимум в десяти точках. В предыдущих наших графических построениях (рис. 2.5) при знании
угла α достаточно тр¨ех перпендикуляров, чтобы построить редуцированное ускорение для точки C.Ноуголα можно построить в точке B,так
как уже известны редуцированные нормальное и тангенциальное ускорения
звена BA, соответственно величины BA и B
на направлении B
водим луч через точки B и A
точки B
и находим искомый мгновенный центр ускорения. Для нахожде-
1
, строим перпендикулярный к BA отрезок B1A1, про-
1A1
. На луч угла α опускаем перпендикуляр из
1
. Откладываем отрезок BA
1A1
ния мгновенного центра ускорения потребовалось проведение тр¨ех перпендикуляров. Четв¨ертый перпендикуляр необходим для графического поиска
конца вектора редуцированного ускорения точки C . Этот метод назван автором методом 4П. Построение дано на рис. 2.13.
Задание для лабораторной работы
1) Для заданного механизма найти скорости и ускорения в четырех выбранных положениях одного из звеньев механизма.
2) Выполнить рисунок механизма в удобном масштабе.
3) Найти скорости и ускорения различными методами и дать численную
оценку погрешности данных методов.
4) В процессе оформления работы указать приемы творчества, которые
использовались в данной исследовательской лабораторной работе.
Сгруппируем некоторые при¨емы творчества, используемые в нахожде-
нии нового метода поиска ускорения при плоском движении
1) уч¨ет особенности объекта;
2) предание звену AB статуса вектора;
3) замена ускорения редуцированным ускорением, имеющим размер-
ность перемещения;
2.5. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ 33
Рис. 2.13
4) при¨ем «идеального решения», полученное решение используется для
его же проверки;
5) поставленная задача определения ускорения в любой точке звена без
построения ускорения в конечной точке звена (задано значение ускорения, например, в точке A,вточкеB достаточно знать только линию
действия) решается шестью способами;
6) мгновенный центр ускорения можно найти независимо по знанию редуцированного ускорения для любой точки звена и угла α, что является
простой методикой проверки решения;
7) использован принцип «декомпозиции», план ускорения построили не
для самого ускорения, а для его составляющей (редуцированное тангенциальное ускорение).
2.5. Сложное движение точки. Системный метод
определения ускорения Кориолиса
Рассмотрим простейший пример (рис. 2.14).
Диск вращается относительно оси с угловой скоростью ω, при неподвижном диске задано движение по диску со скоростьюV (V
рость движения точки A). Исходная информация задана не для системы
—этоско-
A
34 ГЛАВА 2
V
w
Рис. 2.14
в целом, а для двух независимых подсистем. Первая подсистема: диск только вращается, а точка A неподвижна. Вторая подсистема: диск не вращается, а движется только точка A со скоростьюV .
Движение в первой подсистеме переносное. Движение во второй подсистеме относительное. Имеем основную опорную информацию для уско-
e
рения Кориолиса: ω
ная информация первой подсистемы),V
— угловая скорость в переносном движении (основ-
— скорость точки в относительном
r
движении (основная информация второй подсистемы). В таблице 2.1 представим эти две взаимно противоположные задачи.
Таблица 2.1
Переносное движение,
+
e
=0,Vr=0
ω
Относительное движение,
−
=0,ωe=0
V
r
Переносное движение в относитель-
+ −
ном движении, ω
Относительное движение в перенос-
− +
ном движении, ω
e
e
×V
×V
r
r
К этим двум задачам добавляются их взаимосвязанные задачи: переносное движение в относительном движении; относительное движение
в переносном движении. Что считать за относительное движение, что за переносное — это условно. Поэтому оба эти движения должны быть равными
и состоять из основной информации. Само ускорение Кориолиса, определяемое этими двумя дополнительными движениями,
=2ωe×Vr. (2.8)
a
c
2.5. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ 35
Сейчас необходимо определить, что будем считать за относительное
ускорение. Если координаты относительного движения (подсистема 2) примем неподвижными, то ускорение точки в этом случае и будем считать
относительным ускорением всего движения в целом.
Обозначим относительное ускорение:
dV
r
, (2.9)
=
a
r
dt
где знак ~ означает для производной, что она является локальной — отсутствует вращение осей. Общее ускорение в случае сложного движения
представим в виде
= ak+ ar+ ae, (2.10)
a
A
где a
— переносное ускорение точки для сложного движения. Математи-
e
чески это значит, что нами выделено из сложного выражения ускорения
точки A два простых выражения, а все остальные члены объединены в a
e
При выводе абсолютного ускорения при сложном движении точки
необходимы формулы Пуассона и формула Бура. Формулы Пуассона:
.
di
dt
= ω ×i,
dj
dt
= ω ×j,
dk
= ω ×k, (2.11)
dt
Формула Бура:
dR
dR
=
dt
+ ω ×R. (2.12)
dt
Вывод формулы Бура:
dR
dt
R = R
dR
=
dt
dR
x
i +
·i + Ry·j + Rz·k,
x
dR
dt
y
j +
z
dt
k + R
di
x
dt
+ R
dj
y
dt
+ R
dk
z
dt
обозначим
dR
dR
dt
=
dt
dR
x
i +
dt
dR
y
j +
z
k. (2.13)
dt
Из (2.13) ясно видно понятие локальной производной. Необходимо
знать особенности смешанного произведения векторов:
a · (b × c)=b · (c ×a),
,
36 ГЛАВА 2
преобразовать
di
R
x
dt
= ω ×iR
dj
+ R
y
dt
+ ω ×jRy+ ω ×kRz= ω × (R
x
+ R
dk
= R
z
dt
(ω ×i)+Ry(ω ×j)+Rz(ω ×k)=
x
i + R
x
j + R
y
k)=ω ×R.
z
Перемещение точки M (рис. 2.13) будет состоять из двух перемещений: переносного — r
и относительного — ρ:
A
r
= rA+ ρ,
M
ρ = x ·i + y ·j + z ·k.
Рис. 2.15
Абсолютная скорость точки M :
(2.14)
dρ
dt
dr
=
dt
dr
V
M
A
dt
+
=
dρ
A
+
+ ω ×ρ. (2.15)
dt
Принимаем
dρ
=V
, (2.16)
dt
V
=VA+ ω × ρ +Vr. (2.17)
M
r
Если мы сохраняем наше деление на относительное и переносное движение, то относительная скорость в (2.15) по определению (2.16) уже заняла свое место, поэтому сложное выражение для переносной скорости
2.5. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ 37
таково:
Нам известны две составляющие полного ускорения (a
e
V
=VA+ ω × ρ. (2.18)
,ac), осталось
r
определить третью составляющую. Вывод полного ускорения для точки M
выполняем по известной методике [6]:
d−→V
=
a
M
a
dt
d−→V
=
M
e
a
M
d
M
=
(−→V
+ω×ρ+−→Vr)=
A
dt
dρ
dρ
=
dt
A
+−→ω × ρ + ω ×[−→ω × ρ]+−→ω ×V
dt
+−→ω × ρ;
dt
dρ
ω ×
= a
= ω ×−→V
dt
+ ε × ρ +−→ω × [−→ω × ρ]+ar+ ac;
A
d−→V
d−→V
r
=
dt
+−→ω × [−→ω × ρ];
r
= aA+ ε × ρ + ω × [ω × ρ]; aM= a
dt
a
d−→V
+
dt
d−→ω
×ρ + ω×
dt
r
+−→ω ×−→V
d−→V
+
r
M
r
+−→ω ×−→V
dt
e
+ ar+ ac.
dρ
d−→V
r
+
dt
;
r
;
dt
=
r
(2.19)
При выводе ускорения точки при сложном движении применен принцип инверсии, сначала получены основные компоненты уравнения, а только потом все значения уравнения. Имеет ли ускорение Кориолиса физический смысл? Ускорение Кориолиса является информационным ускорением, так как появляется при задании исходной информации не в целом
для всей системы, а через подсистемы. Если можно подобрать параметры системы, в которой останется только ускорение Кориолиса, тогда оно
принимает физический смысл. Ускорение Кориолиса необходимо считать
информационно-физическим. Такой подход совпадает с понятием силы Кориолиса, как информационной силы, в работах А. Ю. Ишлинского [2, 3].
В данной книге большое внимание уделяется, как в статике, так и в динамике, оператору информации нулевого действия. Суммарное ускорение
сложного движения точки не изменяется из-за того, что мы его представляем в виде тр¨ех ускорений: переносного, относительного и ускорения Кориолиса. Рассмотрим физику ускорения Кориолиса на простейшем примере
(рис. 2.16).
Очень важно при рассмотрении физики явления исходные данные
упрощать так, чтобы физический смысл не исчезал, а исходная информация
упрощалась. В связи с этим принимаем для задачи на рис. 2.16: V =const,
38 ГЛАВА 2
Рис. 2.16
ω =const. Ускорение Кориолиса состоит из двух равных величин, докажем
r
это, рассмотрев изменение скорости относительного движение (V
)при
переносном движении. Из рисунка 2.17 находим само изменение скорости
относительного движения при переносном движении:
r
ΔV
= Vr· Δϕ,
e
r
ΔV
e
a
=
1
= V
Δt
Рис. 2.17
r
· ωe.
Ускорение a1обладает следующими свойствами:
1) находится в физической плоскости (физическая плоскость перпендикулярна оси вращения, на рисунке 2.16 это плоскость, где расположен
чертеж);
2) перпендикулярно относительной скорости (V
e
3) направлено в сторону вращения ω
.
);
r
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]