Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по интеграционной механике. Компьютерный комплекс лабораторных работ по взаимосвязанным нелинейным задачам
.pdf
6.2. ИССЛЕДОВАНИЕ КОНЦЕВОГО ЭФФЕКТА 149
0-частота 2
поперечная осн. симметр.
поперечная осн. АС
продольная осн.
крутильная осн.
продольная 1 гарм.
поперечная 1 гарм. АС
крутильная 1 гарм.
◦
2,5
11 12
=0, α =10
2
8910
7
Рабочих витков
Рис. 6.3. Концевой эффект при m =0,3, m
56
4
2
1,5
1
0
, безразмерная частота
0,5
w/p
3
0
150 ГЛАВА 6
рис. 3.6 наблюдаются существенные изменения. Зона перехода поперечных
колебаний через продольные и крутильные колебания сместилась в зону
i =6,5. Исчез график частот для «нулевой частоты». Интересен конце-
вой эффект для первых гармоник продольных и поперечных колебаний. На
рис. 6.3 привед¨ен концевой эффект частотного спектра при растяжении.
Исследовательская часть лабораторной работы заключается в построении концевого эффекта для данных графика на рис. 6.7 при наличии закрутки.
Экспериментальная проверка концевого эффекта проведена в [12].
6.3. Лабораторная работа ФМП-3. Аналитико-численный
и прямой методы исследования эйлеровской потери
устойчивости ВТБ
Рассмотрим прием синтеза взаимно противоположных решений на
примере продольной потери устойчивости тонкого винтового бруса. Решение, определяющее предельные параметры нагружения тонкого винтового
бруса при продольном сжатии, строим из двух физически противоположных теорий. Первая теория (условно присвоим знак «+») состоит из определения предельной величины сжатия по «идеальным» краевым условиям,
приводящим к граничному уравнению (4.2). Итак, в этой теории необходимо положить ω =0в характеристическом уравнении (4.1), далее уравнение
N =0определяет единую трактовку различных видов потери устойчи-
вости, но необходимо выделить гармонику основной частоты поперечных
колебаний. Таких гармоник будет две, поэтому и получим два уравнения
продольной потери устойчивости, соответствующих гармоникам
n =
2i − 1
2i
и n =
где i — число рабочих витков.
Краевые условия при шарнирной заделке позволяют движение тонкого
винтового бруса как твердого тела при гармонике n =2i,где2i — строго
целое число.
Вторая теория (условно присвоим ей знак «–») противоположна первой, так как в ней решение ищется в области, где m =0,аω ·p
область математически устойчивых решений, где рассматривается недеформированное состояние, что и определяет m =0. Сопоставляются собствен-
ные частоты основной гармоники поперечных колебаний при «идеальных»
2i +1
2i
,
−1
=0.Это
0
6.3. СОПОСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИКО-ЧИСЛЕННОГО И ПРЯМОГО МЕТОДОВ 151
краевых условиях и выбранных, например условия жесткой заделки. На
данный коэффициент умножается параметр H
/D для «идеальных» кра-
0
евых условий. Уравнение продольной потери устойчивости при жесткой
заделке концевых витков получается умножением предельных m (рис. 6.4)
соответственно на коэффициенты
ω
1
η
=
1
где ω
, ω4— соответственно основные частоты поперечных колебаний для
1
,η2=
ω
2
ω
4
,
ω
3
условий жесткой заделки для симметричной формы колебаний и антисимметричной формы колебаний; ω
ний для условий шарнирной заделки, n =(2i −1) · 2i
— основная частота поперечных колеба-
2
−1
; ω3—основная
частота поперечных колебаний для условий шарнирной заделки, где n =
−1
=(2i +1)· 2 i
.
i
2+1
n
=
i
HD
0
HD
0
2
i
21
-
n
=
i
2
-1
h
1
-1
h
2
HD
0
HD
-1
-1
0
m
m
ïð
-1
HD
0
-1
HD
0
Рис. 6.4. Уравнения продольной потери устойчивости
В таблице 6.1 дается сравнение аналитико-численного метода, изложенного ранее, и прямого численного метода. Для рассмотренных в таблице двух примеров дадим пояснение. Сначала задаемся числом витков, углом
подъ¨ема винтовой линии пружины. Определяем при заданной безразмерной
высоте пружины предельную величину сжатия, соотношение частот η.Как
видно из таблицы, этот коэффициент равен 1,986 и близок к стандартной
теории — коэффициенту 2. Для второго примера (это вторая основная частота поперечных колебаний) данный коэффициент равен 1,908.
152 ГЛАВА 6
Определяем безразмерную высоту при условии жесткой заделки при
тех же параметрах относительного поджатия — соответственно m = −0,3;
m = −0,34. Число рабочих витков в этом случае для данных примеров со-
ответственно 19,85 и 18,99. Далее приводится прямой расчет обращения
частоты поперечных колебаний в нуль; сохраняя прежние значения поджатий (m = −0,3; m = −0,34), варьируем числом рабочих витков. Для
первого примера это будет i =20,4, а для второго примера — i =19,46.
В таблицах 6.2 и 6.3 даны ещ¨е четыре примера, взятые из книги авторов [12].
Таблица 6.1. Сравнение продольной потери устойчивости при шарнирной и жесткой заделке опорных витков (α =6
m = −0,3, шарнирная m = −0,34, шарнирная
Аналитико-численный метод [1]
H0/D i n H0/D i n
3,30 10 19 3,30 10 21
m =0,жесткая m =0,жесткая
ω/p0, ω/p0, η ω/p0, ω/p0, η
шарнирн. жесткая шарнирн. жесткая
0,452 0,8975 1,986 0,465 0,8875 1,908
Динамический метод [6], жесткая заделка
H0/D i H0/D i
6,554 19,85 6,27 18,99
ω/p
0
0 20,4 0 19,462
0,018 20,39 0,013 19,461
◦
)
i ω/p
0
i
По аналогии с приведенными примерами в лабораторной работе необходимо выполнить несколько расч¨етов цилиндрической пружины на эйлеровскую потерю устойчивости и оценить различие аналитико-численного
метода и прямого численного метода, оба метода являются разновидностями динамического метода. Привести количественную оценку различия
данных методов.
6.4. ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДОМ НЕЛИНЕЙНОЙ СТАТИКИ 153
Таблица 6.2. Сравнение продольной потери устойчивости при шарнирной и жесткой заделке опорных витков (α =6
m = −0,19, шарнирная m = −0,21, шарнирная
Аналитико-численный метод [1]
H0/D i n H0/D i n
3,96 12 23 3,96 12 25
m =0,жесткая m =0,жесткая
ω/p0, ω/p0, η ω/p0, ω/p0, η
шарнирн. жесткая шарнирн. жесткая
0,3884 0,7975 2,053 0,3962 0,7925 2,00
Динамический метод [6], жесткая заделка
H0/D i H0/D i
8,13 24,65 7,92 23,99
ω/p
0
0 24,67 0 23,63
0,0087 24,66 0,00775 23,62
◦
)
i ω/p
0
i
Очень интересный метод, применен в аналитико-численном методе для
того, чтобы избежать особенности этого метода в виде строго целого удвоенного числа рабочих витков при шарнирной заделке. После получения
предельной относительной высоты пружины, которая получается умножением относительной высоты пружины при шарнирной заделке на специальный коэффициент η, переход от относительной высоты пружины при
жесткой заделке к числу рабочих витков это ограничение снимает.
6.4. Лабораторная работа ФМП-4. Исследование
численным методом плохо обусловленной нелинейной
статики винтового тонкого бруса
Чтобы выполнить данную лабораторную работу, необходимо ознакомиться с лабораторной работой ДК-2, а также с математическим методом
получения аналитического решения по [15, 16, 17]. После ознакомления
154 ГЛАВА 6
Таблица 6.3. Сравнение продольной потери устойчивости при шарнирной и жесткой заделке опорных витков (α =6
m = −0,15, шарнирная m = −0,16, шарнирная
Аналитико-численный метод [1]
H0/D i n H0/D i n
4,46 13,5 26 4,46 13,5 28
m =0,жесткая m =0,жесткая
ω/p0, ω/p0, η ω/p0, ω/p0, η
шарнирн. жесткая шарнирн. жесткая
0,3504 0,73250 2,09 0,3562 0,7275 2,042
Динамический метод [6], жесткая заделка
H0/D i H0/D i
9,32 28,23 9,11 27,59
ω/p
0
0 27,35 0 26,60
0,00575 27,34 0,0067 26,59
◦
)
i ω/p
0
i
с общим решением очевидно, что от числа рабочих витков качественно меняется определение необходимых постоянных, так как при одних числах
рабочих витков в решении выпадают члены, содержащие синусы, а при
других числах рабочих витков в решении пропадают члены, содержащие
косинусы, при дробном числе рабочих витков в решении будут члены, содержащие как синусы, так и косинусы. Качественно решение меняется, особенно в середине пружины. На дисплее фиксируется решение постоянных
(i =1,...,6). Необходимо просчитать примеры для шести вариантов
C
i
числа рабочих витков, например: i =3; 3,5; 3,25; 3,75; 3,7; 3,8.Длякаж-
дого примера привести графики неравномерности напряженного состояния
по отношению к стандартному эквивалентному напряжению. Для одного
из примеров получить графики компонентов сил и суммарный график сил,
графики моментов и эквивалентного напряжения. Пример на рис. 6.5, 6.6.
6.4. ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДОМ НЕЛИНЕЙНОЙ СТАТИКИ 155
3
QR
c 0
dEJ
0,01
0
-0,01
-0,02
3
QR
r 0
dEJ
-0,01
-0,02
3
QR
x 0
dEJ
-0,0415
-0,0410
-0,0406
|Q|R
dEJ
0,043
0,041
3
0
0
0,5
1
1,5
2,0
2,5
i
Рис. 6.5. Статика
156 ГЛАВА 6
2
MR
r 0
dGJ
r
-0,05
-0,04
2
MR
c 0
dGJ
r
0,01
0
-0,01
2
MR
x 0
dGJ
r
0,01
0
-0,01
-0,02
s
s
ýêâ
1,05
1,0
0,95
0,90
0,85
0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
Рис. 6.6. Изменение силовых параметров Mρ, Mχ, Mξ, σ по винтовой линии пружины (i =3, α =6
◦
, m =0)
i
Литература
[1] Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний. — М.:
Высшая школа, 1972. — 416 с.
[2] Ишлинский А. Ю. Классическая механика и силы инерции. — М.: На-
ука, 1987. — 320 с.
[3] Ишлинский А. Ю. Механика: идеи, задачи, приложения. — М.: Наука,
1985. — 624 с.
[4] Курс теоретической механики / Под ред. К. С. Колесникова. — М.: Изд-
во МГТУ, 2000. — 735 с.
[5] Лойцянский Л. Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. Т. 1. —
М., 1982. — 352 с., т.2. М., 1955. — 595 с.
[6] Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. — М.: Высшая школа,
1990. — 607 с.
[7] Остроумов В. П., Карпунин В. А. Повышение динамической прочно-
сти пружин. — М.–Св.: Машгиз, 1961. — 111 с.
[8] Павловский М. А. и др. Теоретическая механика. Статика. Кинемати-
ка. — Киев: Выща школа, 1989. — 351 с.
[9] Пойя Д. Математика и правдоподобные рассуждения. — М.: Наука,
1975. — 464 с.
[10] Пойя Д. Математическое открытие. — М.: Наука, 1976. — 448 с.
[11] Полищук Д. Ф. Введение в интеграционную механику. Методы твор-
чества в классической механике: курс лекций. 3 изд., испр. и доп. —
Ижевск: Изд–во ИжГТУ, 2009. — 144 с.
[12] Полищук А. Д., Полищук Д. Ф. Лабораторный комплекс по интегра-
ционной механике. — М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований; НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2006. — 94 с.
[13] Полищук Д. Ф., Полищук А. Д. В поисках гена природы. Гипотезы ка-
чественной модели единой физики природы на основе винтового деформированного движения. — М.–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2012. — 120 с.
158 ЛИТЕРАТУРА
[14] Полищук Д. Ф. Информация и творчество-единство науки, образова-
ния и искусства. — М.–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2012. — 124 с.
[15] Полищук Д. Ф., Полищук А. Д. Интеграционная механика. Винтовое
деформируемое движение и его аналоги. — М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований; НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2010. — 220 с.
[16] Полищук Д. Ф. Обобщенная теория цилиндрических пружин. —
Ижевск: Изд-во Удм. ун-та, 1992. — 216 с.
[17] Полищук Д. Ф. Техническое творчество в механике. Системно-опера-
торная механика. — Ижевск: Изд-во Удм. ун-та, 1993. — 230 с.
[18] Полищук Д. Ф., Девятериков С. А. Прикладные теории удара. Удар
в пружинных механизмах. — М.–Ижевск: Институт компьютерных
исследований; НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2006. —
124 с.
[19] Полищук Д. Ф., Полищук А. Д. Интеграционная механика. Физико-ма-
тематический полигон для численных методов решения взаимосвязанных нелинейных задач. — М.–Ижевск: Институт компьютерных иссле-
дований; НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. — 86 с.
[20] Тимошенко С. П. Теория колебаний в инженерном деле. — М., 1967.
[21] Яблонский А. А. и др. Сборник заданий для курсовых работ по теоре-
тической механике. — 4 изд. — М.: Высш. школа, 1985. — 367 с.
[22] Polishchuk D. F., Krylov E. G. Integration mechanics. Lectures and exer-
cises. — М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований; НИЦ «Ре-
гулярная и хаотическая динамика», 2005. — 148 с.
[23] Hiroshi S., Masaru T., Takashi M. The end effect of a Helicalsprings //
Froc. of the 7-th Japan Nation Conar. for Appl. Mech., 1957. — P. 365–
539.
[24] Shimizu Hiroshi, Jnoue Junkishi On the Static and Dynamic Behavior
of Coil Spings. Memoirs of the Faculty of Science Kyusyu University,
1964. — 23, 3, P. 123–168.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]