Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптика. Учебное пособие для СПО
.pdf
чения всех длин волн) от температуры. Австрийский физик И.Стефан в 1879
году, анализируя экспериментальные данные, пришёл к выводу, что энергети-
ческая светимость (энергия, испускаемая единицей поверхности нагретого тела
за единицу времени) любого тела пропорциональна абсолютной температуре в
четвёртой степени. В 1884 году Л.Больцман, применив термодинамический метод к исследованию чёрного излучения, теоретически показал, что это справедливо только для абсолютно чёрного тела.
Площадь под кривой r
= f(ν,T) (рисунок 100) равна энергетической све-
ν,T
тимости абсолютно чёрного тела:
R = σT4, (33.1)
где σ = 5,67⋅10-8 Вт⋅м-2⋅К-4 − постоянная Стефана-Больцмана.
Формула (33.1) выражает закон Стефана-Больцмана.
По отношению к нечёрным телам закон Стефана сохранить нельзя. Были
попытки придать ему более общую форму R = BTn, где коэффициент теплового
излучения (степень черноты) В и показатель n должны быть определены экспе-
риментально для каждого тела. Так, вблизи Т = 1 000 К для платины удовлетворительные результаты получаются из формулы
RPt = 3,56⋅10
-15T4,77
,
а для вольфрама
RW = 5,9⋅10
-17T5,35
.
Однако наблюдения при разных температурах показывают, что ни коэффициент теплового излучения В ни показатель n не остаются постоянными.
Так, для вольфрама около Т = 2 000 К имеем уже новые значения: В = 2,4⋅10
-15
и
n = 4,85.
Таким образом, закон Стефана-Больцмана имеет силу только для абсолютно чёрного тела.
231
Закон Стефана-Больцмана касается лишь интенсивности интегрального
е
ν,T
зависимость
ν
излучения чёрного тела и ничего не говорит относительно спектрального распределения энергии. Первым исследователем, пытавшимся теоретически определить вид функции r
, был В.А. Михельсон (Москва, 1887 г.). Хотя формула
ν,T
Михельсона не вполне удовлетворяла опытным данным, тем не менее, ее установление сыграло известную роль в истории этого вопроса.
В1893 году немецкий ученый Вильгельм Вин рассмотрел задачу об адиабатическом сжатии излучения в цилиндрическом сосуде с зеркальными стенками и подвижным зеркальным поршнем. При движении поршня энергия излучения единицы объема (плотность энергии) будет возрастать по двум причинам:
- за счёт уменьшения объёма (общая величина энергии постоянна);
- за счёт работы, совершаемой поршнем против давления излучения.
r
Экспериментальная
По Вину
Рисунок 101
Однако, в силу эффекта Доплера (увеличение частоты излучения, отражённого от движущегося поршня) движение поршня приводит к изменению
частоты излучения. Окончательно Вин получил:
С
ν
2
3
r
ν,T
= С1ν
Т
, (33.2)
где С1 и С2 – постоянные, которые Вин не расшифровал.
232
Эта формула даёт хорошее согласие с опытом в коротковолновой части
∂
е
е
T
ν
T
ν
спектра и не годится для длинноволновой (рисунок 101).
Выражение (33.2) имеет сейчас лишь историческую ценность. Но Вин
нашёл зависимость ν
значению r
абсолютно чёрного тела). Найдём максимум функции (33.2). Для
ν,T
= f(T) (ν
max
− частота, соответствующая максимальному
max
этого найдём производную по ν и приравняем к нулю:
r
ν T,
= С13ν
2
max
ν
max
2
−
Т
+ С1ν
3
max
С
ν
2
−
С
ν∂
тогда
max
3
=
max
= const.
C
2
= const. (33.3)
max
Т
С
2
−
Т
= 0,
Это и есть закон смещения Вина. Смещение частоты в зависимости от
температуры хорошо иллюстрируется экспериментальными кривыми, изображёнными на рисунке 100.
Чаще закон смещения Вина записывают в виде
λ
= b/T, (33.4)
max
где постоянная Вина b = 2,886⋅10-3 м⋅К.
Длина волны λ
, на которую приходится максимум спектральной плот-
max
ности излучательной способности абсолютно чёрного тела, обратно пропорциональна абсолютной температуре. За работу по тепловому излучению Вин в
1910 г. получил Нобелевскую премию.
Чем выше температура абсолютно чёрного тела, тем на более короткую
длину волны λ приходится максимум излучательной способности. Из соотно-
233
шения (33.4) видно, что при практически достижимых температурах длина волны, на которую приходится максимум излучательной способности абсолютно
чёрного тела, лежит в инфракрасной области. При температуре в 3 000 К максимум излучательной способности лежит ещё за пределами видимого спектра,
вблизи λ = 0,96 мкм. Только при температуре в 5 000 К максимум попадает в
жёлто-зелёную область спектра (λ
= 0,577 мкм). При температурах выше
max
7 200 К максимум попадает в ультрафиолетовую область.
Таблица 1
Температура Т, К
1 200
1 600
2 000
3 000
4 000
5 000
6 000
λ
max
2,405
1,804
1,443
0,962
0,721
0,577
0,481
, мкм
Энергетическая светимость R, Вт/см
11,84
37,41
9134
462,4
1 461
3 568
7 399
2
8 000
10 000
0,361
0,289
23 384
57 090
Как видно из таблицы 1, энергетическая светимость абсолютно чёрного
тела чрезвычайно быстро возрастает с температурой и при высоких температурах достигает очень больших значений. При температуре в 6 000 К с каждого
квадратного сантиметра абсолютно чёрного тела излучается поток мощностью
7 399 Вт, т.е. в 10 ″лошадиных сил″ с лишним.
§ 5.34 Формула Рэлея-Джинса
Формула В.А. Михельсона, попытавшегося найти аналитический вид
функции r
= f(ν,T), не удовлетворяла термодинамическим законам Вина и
ν,T
234
Стефана-Больцмана. В 1900 г. Рэлей подошёл к изучению спектральных зако-
с
ν,T
завис
и
мость
ν
номерностей излучения чёрного тела с позиции статистической физики, воспользовавшись классическим законом равномерного распределения энергии по
степеням свободы.
Он рассмотрел равновесное излучение в замкнутой полости с зеркальны-
ми стенками как совокупность стоячих электромагнитных волн (осцилляторов).
К стоячим волнам, образующимся в промежутке между двумя стенками,
Рэлей применил один из основных законов статистической физики – закон о
равномерном распределении энергии между степенями свободы системы, находящейся в равновесии. Каждой стоячей волне со своей собственной частотой
соответствует своя колебательная степень свободы (на одну колебательную
степень свободы приходится энергия E = kT, т.е. сумма потенциальной kT/2 и
кинетической тоже kT/2 (в среднем)), где k – постоянная Больцмана. Т.е. каж-
дый осциллятор в среднем имеет энергию, равную kT: Eср = kT.
r
По Рэлею-Джинсу
Экспериментальная
По Вину
Рисунок 102
В 1905 г. Джинс уточнил расчёты Рэлея и окончательно получил:
2
ν,T
=
2πν
kT. (34.1)
2
r
235
Это и есть формула Рэлея-Джинса. Из формулы (34.1) видно, что r
c
π
ν,T
мо-
нотонно возрастает с ростом ν2 в отличие от экспериментальной кривой, которая имеет максимум (рисунок 102).
Формула (34.1) справедлива только в области малых частот и не согласу-
ется с законом Вина. Попытка получить из формулы Рэлея-Джинса закон Сте-
фана-Больцмана (R ∼ T4) приводит к абсурду:
R =
∞
ν
dr =
ν
T,
∫
0
∞
kT2
2
2
∫
0
νν
d = ∞.
Этот результат получил название «ультрафиолетовой катастрофы», так
как с точки зрения классической физики вывод Рэлея-Джинса был сделан безупречно. Поэтому расхождение формулы Рэлея-Джинса с опытом указывало на
существование каких-то закономерностей, несовместимых с представлениями
классической статистической физики и электродинамики.
Итак, были получены две формулы, описывающие излучение абсолютно
чёрного тела: одна для коротковолновой части спектра (формула Вина), другая
– для длинноволновой (формула Рэлея-Джинса). Задача состояла в том, чтобы
получить выражение, описывающее тепловое излучение во всём диапазоне частот.
§ 5.35 Формула Планка
Многочисленные попытки теоретически установить закон чёрного излучения, приведшие, как мы видели, к установлению важных частных законов
(Больцман, Вин), не могли дать общего решения задачи и приводили к заключениям, согласующимся с опытом, только в ограниченном интервале темпера-
тур Т и частот ν. Причина неудач оказалась лежащей чрезвычайно глубоко. Законы классической электродинамики, при помощи которых проводились все
эти исследования, оказались лишь приближённо правильными и давали невер-
236
ный результат при рассмотрении элементарных процессов, обусловливающих
тепловое излучение.
Если осуществить теоретическое чёрное тело при помощи бесконечной
совокупности гармонических осцилляторов, каждый из которых даёт отдельную монохроматическую линию, а все вместе – сплошное чёрное излучение, то,
пользуясь законами, управляющими поведением этих осцилляторов, можно
прийти к закону чёрного излучения такой системы. Общие же соображения,
лежащие в основе закона Кирхгофа, показывают, что закон излучения, найденный для одного чёрного тела, справедлив и для любого другого чёрного тела,
т.е. все они дают один и тот же тип излучения – чёрное излучение.
Идя по этому пути, Планк не получил, однако, закона, согласного с опытом, и, анализируя положение, пришёл к выводу, что причина неудачи лежит в
неприменимости законов классической физики к таким атомным осцилляторам.
По классическим законам осциллятор частоты ν может заключать в себе
любое количество энергии, поскольку энергия осциллятора пропорциональна
квадрату амплитуды. В соответствии с этим и излучающий осциллятор может
испустить за единицу времени любое количество энергии. Эти простые законы
согласно заключению Планка не имеют места. Гармонический осциллятор частоты ν может обладать только таким количеством энергии, в котором содер-
жится целое число элементарных порций величиной hν каждая, где h − универсальная постоянная, равная 6,626⋅10
-34
Дж⋅с. Итак, энергия осциллятора должна
быть целым кратным некоторой единице энергии, пропорциональной его частоте ν:
En = nhν,
где n = 1, 2, 3…
Минимальная порция энергии E = hν = ħω, ħ = h/2π и ω = 2πν. То, что E = hν −
это гениальная догадка Макса Планка.
Эти новые квантовые законы не стоят в противоречии с классическими в
той области низких частот (например, радиочастот), для которой, собственно
237
говоря, и были установлены классические законы на основе электромагнитной
с
с
1
e
−
ν
1
e
теории Максвелла.
Действительно, если ν не очень велико, то порция hν настолько мала, что
в наших опытах мы не можем установить, содержит ли осциллятор целое или
дробное число этих порций. Так, например, для λ = 3 мм величина hν составля-
ет 6,626⋅10
-23
Дж, и ни в одном опыте со сравнительными грубыми осциллято-
рами, настроенными на эту длину волны, мы не в состоянии оценить, является
ли энергия осциллятора кратной этой величине6. Наоборот, для атомных осцилляторов частота, а значит, и элементарные порции энергии соответственно
больше, а точность измерений атомных процессов такова, что расхождение между классическими и квантовыми представлениями становится весьма различимым. Выводы приближённых классических представлений оказываются в
резком противоречии с опытом, тогда как рассуждения, учитывающие квантовую теорию, приводят к превосходному согласию с ним.
Так, при расчёте совокупности гармонических осцилляторов, подчиняющихся классическим законам, Планк нашёл для функции Кирхгофа выражение
2
ν,T
=
2πν
kT, (35.1)
2
r
известное и ранее (формула Рэлея-Джинса). Учитывая же новые квантовые законы, управляющие осциллятором, он получил выражение для универсальной
функции Кирхгофа
2
r
2πν
=
ν,T
2
h
kT/h
ν
, (35.2)
или
2
r
hc2λπ
=
λ,T
5
1
kT/hc−λ
, (35.3)
6
В современной квантовой теории выяснилось, что осциллятор частоты ν обладает энергией hν/2 + nhν, где n −
целое число, но это не меняет дела.
238
где k – постоянная Больцмана,
kT
ν
kT
ν
с
с – скорость света.
Формула (35.2), полученная Планком, даёт превосходное согласие с результатами самых тщательных экспериментальных исследований зависимости
излучательной способности чёрного тела от ν и Т и является, таким образом,
полным решением основной задачи, поставленной Кирхгофом.
Из формулы Планка можно получить и формулу Рэлея-Джинса, и формулу Вина, и закон Стефана-Больцмана.
1) В области малых частот, т.е. при hν << kT,
kT/heν
= 1 +
h
+ …, поэтому
kT/heν
− 1 ≈
h
,
отсюда получается формула Рэлея-Джинса:
2
ν,T
=
2πν
kT.
2
r
Это совпадение показывает в согласии с основными допущениями теории
квантов, что в области низких частот ее выводы не отличаются от выводов
классической теории. Классическая теория оказывается лишь приближением к
действительности, приближением, вполне удовлетворительным для того круга
явлений, с которыми имеет дело макроскопическая электродинамика, т.е. электродинамика систем, состоящая из многих атомов и молекул. По-видимому,
даже движения ионов, т.е. элементарных зарядов с большой массой (по сравнению с электроном), ещё довольно удовлетворительно описываются классическими электродинамикой и механикой, хотя точность современных измерений
и здесь позволяет установить отступления (опыты по дифракции молекулярных
пучков). Но поведение электронов внутри атомов и молекул должно описываться при помощи квантовых законов механики и электродинамики. Примене-
239
ние же к ним законов, имеющих силу для макромира, приводит к резким про-
с
1
e
kT
ν
h
с
тиворечиям с опытом.
2) В области больших частот, т.е. при hν >> kT, единицей в знаменателе
можно пренебречь, и получается формула Вина:
3
r
h2 νπ
=
ν,T
2
kT/heν−
.
3) Из (35.2) можно получить закон Стефана-Больцмана:
3
νπ
h2
2
c
1
kT/h−ν
dν. (35.4)
R =
∞
dr =
ν
T,
∫
0
∞
ν
∫
0
h
Введём безразмерную переменную х =
, тогда
ν =
kT
h
х, dν =
kT
h
dх.
Подставив в (35.4) эти величины и проинтегрировав, получим:
R =
4
k2π
T
32
3
∞
4
dxx
−
1e
= σT4.
∫
x
0
Т.е. получили закон Стефана-Больцмана: R = σT4.
Таким образом, формула Планка полностью объясняла законы излучения
абсолютно чёрного тела. Следовательно, гипотеза о квантах энергии была подтверждена экспериментально, хотя сам Планк не слишком благосклонно относился к гипотезе о квантовании энергии. Тогда было совершенно не ясно, почему волны должны излучаться порциями.
240
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]