Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптика. Учебное пособие для СПО
.pdf
стейшую модель вещества, состоящего из не взаимодействующих друг с дру-
(
)
−
гом атомов. Каждый атом представляет собой ядро, окружённое быстро движущимися электронами, которые в совокупности как бы «размазаны» по симметричной сферической области вокруг ядра. Поэтому принято говорить, что
ядро с зарядом q окружено «электронным облаком» с зарядом −q.
В отсутствие внешнего поля Е центр электронного облака совпадает с
ядром, и дипольный момент атома равен нулю. При наличии же внешнего поля
Е электронное облако смещается относительно практически неподвижного яд-
ра, и возникает дипольный момент p = qℓ, где q > 0, а ℓ − вектор, проведённый
из центра «облака» к ядру. Проекция вектора р на ось 0х равна
р
= qℓх = q(−x) = − qx, (26.2)
х
здесь х – смещение центра «облака» из положения равновесия, т.е. относительно ядра. Заметим, что центр «облака» ведёт себя как точечный заряд − q.
С учётом (26.2) выражение (26.1) можно представить так:
qxn
ε = 1 +
0
ε
. (26.3)
E
x0
Как видно, задача сводится к определению х(t) под действием Ех(t). Для
этого запишем уравнение движения электронного облака как
mx′′ = − kx − rx′ + qE0cosωt, (26.4)
где m − масса электронного облака.
В правой части уравнения (26.4) записаны проекции на ось 0х квазиупругой силы, удерживающей оптический электрон около положения равновесия; силы
«сопротивления», обусловленной чем-то вроде «трения» облака о ядро; и вынуждающей силы со стороны гармонической электромагнитной волны частоты
191
ω. Магнитной составляющей этой силы мы пренебрегаем, поскольку в нереля-
βω
тивистском случае она ничтожно мала.
Разделив уравнение (26.4) на m, приведём его к виду
x′′ + 2βx′ + ω
2
x = f0cosωt, (26.5)
0
где ω
2
= k/m, 2β = r/m, f0 = qE0/m.
0
Для теории дисперсии имеет значение не общее, а только частное (установившееся) решение уравнения (26.5):
x = acos(ωt − ϕ), (26.6)
где а – амплитуда колебаний;
ϕ − разность фаз между смещением х и «силой» f0cosωt.
Подстановка этого решения в уравнение (26.5) позволяет с помощью векторной
диаграммы найти значение амплитуды а и разности фаз ϕ, а именно
а =
0
2
( )
0
2
2
4fωβ+ω−ω
, tgϕ =
22
2
2
0
(26.7)
2
ω−ω
(решение уравнения (26.5) подробно рассматривается в теории колебаний).
Ограничимся простейшим случаем, когда 2βω << (ω
2
− ω2), т.е. когда вы-
0
нуждающая частота (поля) не очень близка к собственной частоте ω0 колебаний
электронного облака и коэффициент β, характеризующий затухание, достаточно мал. В этом случае, если ω < ω0, то
f
x(t) =
0
2
0
cos(ωt). (26.8)
2
ω−ω
Такой же результат будет и при ω > ω0, когда ϕ = π.
192
Остаётся подставить (26.8) в (26.3) и учесть, что вынуждающая сила в
ϰ
n
ω
1
ω
0
0 n
(26.4) qE0cosωt = − qЕх. В результате получим:
ε = 1 +
2
0
, (26.9)
2
ω−ω
где b = n0q2/ε0m = N0e2/ε0me,
N0 − концентрация электронов.
В (26.9) учтено, что q = Ze, m = Zme и N0 = Zn0, Z − число электронов в атоме.
Разрыв функции ε(ω) при ω = ω0 и обращение ее в ± ∞ не имеют физического смысла, это получилось вследствие игнорирования затухания (β → 0).
Если же его учесть, то ход кривой будет иным (рисунок 88) и достаточно хорошо подтверждается экспериментально (сравните с рисунком 87). Зависимость
ϰ(ω) характеризует полосу поглощения. Как раз с ней совпадает область аномальной дисперсии (dn/dω < 0).
b
Заметим, что собственных частот ω0i может быть несколько в атоме, соответственно будет и несколько областей аномальной дисперсии. Кроме того как
видно из рисунка 88 при ω > ω0 показатель преломления (n = ε ) будет меньше
единицы, а это значит, что фазовая скорость электромагнитной волны v = c/n
оказывается больше с! Подобное имеет место в плазме, где ω0 = 0 (электроны
свободные), и для рентгеновского излучения (ω >> ω0). Никакого противоречия с
теорией относительности здесь нет. Последняя утверждает, что скорость сигнала
(импульса) не может превышать с. Понятие же показателя преломления применимо к монохроматическим электромагнит-
Рисунок 88
ным волнам, бесконечным в пространстве
193
и во времени. Такие волны не могут служить для передачи сигнала, а кроме то-
π
го, их в принципе невозможно осуществить.
Из выражения (26.9) вытекает и ещё одно неожиданное следствие для
случая, когда ω0 = 0 (например, в той же плазме). При этом условии, когда час-
тота электромагнитной волны ω ≤ b , оказывается, что диэлектрическая проницаемость ε(ω) ≤ 0, а, следовательно, показатель преломления для таких час-
тот (n = ε ) становится мнимым, и его можно представить n = iϰ. Выясним, что
это означает.
Запишем уравнение электромагнитной волны в комплексной форме:
Ê = Е
i(kx-ωt)
е
0
= exp(i(kx-ωt)),
где k = 2πλ,
λ − длина волны в среде.
Если длина волны в вакууме λ0, то λ = λ0/n, и
2
k =
n = ik0x,
λ
где k0 = 2πλ0.
Подставив это выражение для k в исходное уравнение волны Е(x, t), получим:
Ê = Е0⋅еxp(−ϰk0x)⋅exp(−iωt),
или для действительной части
Е = Е0⋅еxp(−ϰk0x)⋅cosωt.
Видно, что в рассматриваемом случае мы имеем стоячую волну, амплитуда которой экспоненциально затухает5. Фактически это означает, что излучение
5
В общем случае вводят комплексный показатель преломления ň = n + iϰ, где n определяет фазовую скорость
волны v = c/n, а мнимую часть ϰ называют показателем затухания. Он характеризует затухание волны по мере
ее распространения. Затухание не обязательно связано с поглощением электромагнитной волны, примером тому служит разобранный пример.
194
при ε < 0 не может пройти через плазму, и происходит полное отражение его в
0
х
пограничном слое. На этом, кстати, основан метод определения концентрации
электронов в плазме.
§ 4.27 Групповая скорость
Волновой пакет. Строго монохроматическая волна – это идеализация.
Таких волн в природе нет. Любая реальная волна, согласно теореме Фурье, может быть представлена как суперпозиция монохроматических волн с различными амплитудами и частотами ω в некотором интервале ∆ω. Суперпозицию
волн, мало отличающихся друг от друга по частотам (∆ω << ω), называют вол-
новым пакетом или группой волн. Вид волнового пакета в некоторый момент
времени показан на рисунке 89. В его пределах монохроматические составляющие усиливают друг друга, вне пакета практически гасят друг друга.
Отметим, что сложные волновые процессы описываются с использованием двух скоростей распространения.
В вакууме все монохромати-
Е
х
ческие волны, образующие пакет,
распространяются с одинаковой
фазовой скоростью, представ-
ляющей скорость перемещения
Рисунок 89
поверхности одинаковых фаз:
v = ω/k, (27.1)
где ω − частота волны;
k − волновое число.
С такой же скоростью распространяется в вакууме и сам волновой пакет, не изменяя своей формы.
195
Групповая скорость. В диспергирующей же среде волновой пакет рас-
dk
ω
dk
ω
dk
dk
λ
ddvdk
λ
k
π
λ
d
λ
d
плывается, поскольку скорости его монохроматических составляющих отличаются друг от друга, и понятие скорости такой волны требует уточнения.
Если дисперсия достаточно мала, расплывание волнового пакета происходит не слишком быстро. В этом случае волновому пакету можно приписать
скорость u, с которой перемещается его «центр тяжести». Это так называемая
групповая скорость. Соответствующий расчёт даёт, что групповая скорость
волны, состоящей из гармонических волн разных частот, определяется как
d
u =
Подставляя в (27.2) ω, найденное из (27.1), и принимая во внимание, что k =
. (27.2)
2π/λ, получаем
d
u =
или
Выражение (27.3) было получено английским физиком Рэлеем (1842-1919) и
называется формулой Рэлея. Из него видно, что в зависимости от знака dv/dλ
групповая скорость волны может быть как меньше, так и больше ее фазовой
скорости.
В большинстве сред фазовая скорость с ростом длины волны возрастает
=
d
( )
vk
= v + k
u = v − λ
dv
= v + k
d
= v −
dv
. (27.3)
2
dv
(dv/dλ > 0). Такая дисперсия называется нормальной. В случае нормальной
дисперсии групповая скорость u оказывается меньше фазовой скорости v: u < v.
В отсутствие дисперсии dv/dλ = 0, и групповая скорость совпадает с фазовой
196
скоростью (об этом уже говорилось). В некоторых случаях имеет место ано-
2
−
ω
б) у
х
мальная дисперсия, когда dv/dλ < 0 и u > v.
Поясним формулу (27.2) на примере суперпозиции двух волн с одинаковой амплитудой и несколько отличными друг от друга длинами волн (и частотами). На рисунке 90,а показано их относительное расположение в некоторый
момент времени, а на рисунке 90,б – результат их суперпозиции. Нас будет интересовать скорость, с которой перемещается место с максимальной амплитудой – это и будет скорость волнового пакета – групповая скорость. Определим
ее величину.
Пусть уравнения этих двух монохроматических волн имеют вид:
Е
= А⋅cos(ωt − kx),
1
Е
= А⋅cos[(ω + dω)t − (k + dk)x].
2
В результате их наложения образуется суммарная волна
xdktd
Е = Е1 + Е2 = 2А⋅cos
⋅cos (ωt − kx). (27.4)
а)
Рисунок 90
197
Выражение (27.4) можно рассматривать как уравнение монохроматиче-
dk
dk
d
0
λ λ
u
v v
∆λ
А
ской волны, амплитуда которой меняется по закону
xdktdω
2AcosA
= .
0
−
2
Отсюда следует, что точки, соответствующие, например, максимуму амплитуды, движутся по закону
tdω − xdk = 0,
откуда x = (dω/dk)t. Величина в скобках и есть групповая скорость (27.2).
Выражение для групповой скорости можно представить в ином виде. Заменив ω через vk согласно (27.1), получим:
d
u =
( )
vk
Так как k = 2π/λ и dk = − (2π/λ)2dλ, то выражение (27.5) можно переписать
так:
u = v − λ
Опять получили формулу Рэлея (27.3).
Существует простой графический способ нахождения групповой скорости по кривой v(λ). Он
показан на рисунке 91. В случае группы волн роль
= v + k
dv
λ
dv
. (27.5)
. (27.6)
играет только малый участок кривой v(λ) в узком
диапазоне ∆λ (∆λ << λ). Отрезок, который отсекает
на оси ординат касательная к кривой v(λ), проведённая через точку А, равен v − λ(dv/dλ), т.е. групповой
Рисунок 91
198
скорости u при данной длине волны λ.
ω
Для примера найдём выражение для групповой скорости в среде с извест-
ной зависимостью показателя преломления от частоты электромагнитной волны, n(ω). Будем исходить из определения групповой скорости – формулы (27.2).
Принимая во внимание, что фазовая скорость v = ω/k = c/n, получим
k = ωn/c.
Теперь возьмём производную dk/dω:
ω
dk
d
d
=
ω d
ω
d
c
1
n
n
c
dn
ω+=
ω
.
Подстановка обратного значения этой величины, т.е. dω/dk, в (27.2) приводит к
искомому результату:
u =
d
=
dk
c
( )
ωω+
ddnn
/
. (27.7)
В некоторых случаях групповая скорость, вычисленная по приведённым
выше формулам, оказывается больше с – скорости света в вакууме. Так будет,
например, в области аномальной дисперсии. Это не противоречит теории относительности, так как групповая скорость выражает скорость сигнала лишь тогда, когда волновой импульс в процессе распространения практически не изменяет своей формы. В области же аномальной дисперсии импульс сильно деформируется, и групповая скорость в таких случаях утрачивает определённое
физическое содержание.
Групповая скорость и перенос энергии. Рассмотрим вопрос о скорости
распространения энергии, переносимой электромагнитной волной. Прежде всего, заметим, что фазовая скорость монохроматической волны не имеет ничего
общего со скоростью переноса энергии. Фазовая скорость устанавливает только
связь между фазами колебаний в различных точках пространства.
199
Строго монохроматическая волна не может служить для передачи сигнала, поскольку она не имеет ни начала, ни конца во времени и пространстве. Поэтому распространение сигнала связано с перемещением изменений амплитуды. И в тех случаях, когда групповая скорость имеет смысл (т.е. электромагнитный импульс распространяется, не расплываясь), она совпадает со скоростью переноса энергии.
Итак, в области, далёкой от области сильного поглощения, скорость переноса энергии в группе волн совпадает с групповой скоростью.
Прямые измерения скорости света сводятся к измерению расстояния,
проходимого световым сигналом (импульсом) за определённый промежуток
времени. Этот метод практически даёт групповую скорость. То же самое, как
показывает подробный анализ, относится ко всем известным косвенным методам измерения скорости света. Фазовую же скорость (точнее, отношение фазовых скоростей в двух различных средах) можно определить по отношению показателей преломления, или воспользовавшись законом преломления.
§ 4.28 Поглощение света
Явление уменьшения энергии световой волны при ее распространении в
веществе, происходящее в результате преобразования энергии электромагнитной волны во внутреннюю энергию вещества или энергию вторичного (фотолюминесцентного) излучения, имеющего иной спектральный состав и иные направления распространения, называется поглощением света. Свет, проходя через любое вещество, в той или иной мере в нём поглощается. Обычно поглощение носит селективный характер, т.е. свет различных длин волн поглощается
различно. Так как длина волны определяет цвет света, то, следовательно, лучи
различных цветов, вообще говоря, поглощаются в данном веществе по-разному.
Прозрачными неокрашенными телами являются тела, дающие малое поглощение света всех длин волн, относящихся к интервалу видимых лучей. Так,
стекло поглощает в слое толщиной в 1 см лишь около 1 % проходящих через
200
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]