Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптика. Учебное пособие для СПО
.pdf
нормалью к поверхности зоны. Покажем, прежде всего, что площади зон при-
2
λ
2
λ
S r
0
S′
W
C′
C
R
3
B1
2
P
мерно одинаковы.
B
B
B
0
r
Рисунок 39
Обозначим через ρm радиус m – ой зоны. Из рисунка 40 имеем
2
ρ
= R2 − (R− h)2 = r
m
2
− (r0 + h)2, (13.4)
m
Откуда
2
−
h =
m
+
Но по (13.3) расстояние до m-ой зоны rm на m
rm = r0 + m
, отсюда r
Считая, что λ << r0, приближённо получим
2
r
m
2
− r
= mr0λ, (13.6)
0
2
rr
0
. (13.5)
)r2(R
0
больше расстояния r0:
2
λ
2
2
− r
m
= mr0λ + m
0
2
.
2
101
после чего равенство (13.5) примет вид:
2
λ
π
2
λ
π
2
λ
π
2
λ
π
S
0
W C
0
P
R
R
m
ρ
m
h
α
0
⋅
. (13.7)
rRr+
0
B
m
h = m⋅
r
B
r
Рисунок 40
Площадь поверхности сферического сегмента радиуса ρm равна
∆Sm =2πRh.
Подставляя сюда вместо h его значение (13.7), получим
Rr2
∆Sm = m⋅
0
⋅
.
rR
+
0
В пределах этого сегмента умещается m кольцевых зон, откуда площадь
одной зоны ∆S может быть представлена как разность площади этого сегмента
и сегмента, охватывающего (m−1) зону:
∆S = ∆Sm − ∆S
m-1
= m⋅
Rr2
0
⋅
− (m−1)⋅
rR
+
0
Rr2
0
⋅
,
rR
+
0
откуда
∆S =
102
0
⋅λ.
rRRr+
0
Таким образом, площадь зоны в указанном приближении не зависит от ее
2
2
2
2
2
2
номера m, т.е. площади ∆S всех зон приблизительно одинаковы. Следовательно, амплитуды колебаний, доходящих от отдельных зон до точки Р, зависят
лишь от расстояния rm и от угла, который направление rm составляет с нормалью к поверхности зоны. С увеличением номера зоны m расстояние rm возрастает и возрастает угол наклона, поэтому амплитуды аm колебаний, доходящих
до точки Р от отдельных зон, должны монотонно убывать с увеличением номера зоны m:
а
> а2 > а3 > а4 > . . . > am > a
1
m+1
> . . .
Так как фазы колебаний, приходящих в точку Р от двух соседних зон,
противоположны, то амплитуда Аm суммарного колебания, вызванного действием m зон, равна
А
= а1 − а2 + а3 − а4 + a5 − . . . ± am, (13.8)
m
где знак последнего члена положителен при нечётном m и отрицателен при
чётном m. Очевидно, при чётном числе зон их действия попарно ослабляют
друг друга и амплитуда суммарного колебания Аm в точке Р незначительна; при
нечётном числе зон действие одной из зон остаётся не ослабленным и амплитуда Аm больше, чем при чётном числе зон.
Более точно значение амплитуды Аm суммарного колебания мы получим,
разбив в сумме (13.8) все нечётные слагаемые на два слагаемых: а1 =
а
а
=
3
а
3
+
3
и т.д. Тогда при нечётном m получим:
а
1
+
а
1
,
Аm =
а
1
+
а
1
2
а
3
+−
а
2
2
+
а
3
2
а
5
+−
а
4
+ . . . +
2
а
−
2
103
2m
а
+
а
m
+−
−
1m
2
а
+
m
. (13.9)
При чётном m получим:
2
2
2
+
2
2
2
2
2
2
2
2
Аm =
а
1
+
а
1
2
а
3
+−
а
2
2
+
а
3
2
а
5
+−
а
4
2
+ . . . +
а
−
+
3m
2
а
а
−
1m
+−
−
2m
2
а
+
1m−
− am. (13.10)
Так как, как было сказано, амплитуды am монотонно убывают с возрастанием m, то приближённо можно положить амплитуду колебаний, вызванных
какой-либо m-ой зоной, равной полусумме амплитуд колебаний, вызванных
(m − 1)-ой и (m + 1)-ой зонами:
aa
am =
1m1m +−
,
откуда все слагаемые в рядах (13.9) и (13.10), выделенные скобками, равны нулю и, следовательно, при нечётном m:
А
m
а
=
а
1
+
m
, (13.11)
а при чётном m:
А
а
=
m
а
1
+
1m−
− am, (13.12)
Если число зон m достаточно велико, то амплитуды колебаний, вызванных (m − 1)-ой и m-ой зонами, мало отличаются друг от друга, откуда прибли-
жённо
а
1m−
− am = −
а
m
. Таким образом, равенства (13.11) и (13.12) принимают
вид:
А
m
а
=
а
1
±
m
, (13.13)
104
где знак плюс соответствует нечётному числу зон, а знак минус – чётному числу зон.
Число зон, которое уложится на части волнового фронта, не закрытой экраном, зависит от отношения размеров отверстия к длине волны λ и от места
его положения. По формуле (13.4) радиус m-ой зоны ρm определяется равенством:
2
ρ
m
Полагая h << r0, пренебрежём членом h2, тогда
Подставляя сюда вместо h его значение по (13.7), получим:
наконец, заменяя по (13.6) r
= r
m
2
− (r0 + h)2 = r
m
2
ρ
= r
m
ρ
2
− r
2
m
2
= r
m
2
через mr0λ, найдём
0
m
− r
2
− r
0
2
− m⋅
2
− r
m
2
− 2r0h.
0
2
− 2r0h − h2.
0
2
0
⋅λ,
rRr+
0
ρ
2
m
= m⋅
0
⋅λ,
rRRr+
0
откуда
Rr
ρm = λ⋅
m . (13.13)
0
⋅
+
rR
0
Очевидно, что ρm одновременно есть радиус рассматриваемого отверстия
в экране. Отсюда получаем, что отверстие радиуса ρ открывает часть волнового
фронта, на котором умещается число зон
105
ρ
+
ρ
ρ
Для плоского фронта волны, падающего на экран (R = ∞), формула (13.14)
принимает вид:
m =
)rρ(R
⋅
λ
0
. (13.14)
Rr
0
m =
⋅
λ
r
0
или
ρ
m =
⋅α, (13.15)
λ
ρ
где α =
− угол, под которым видно отверстие в экране из точки Р.
r
0
Амплитуда результирующего колебания в точке Р зависит от числа открытых зон m. Для данных длины волны, места положения экрана и размеров
отверстия в нём (даны λ, R и ρ) число открытых зон m определится положением точки Р; для разных точек Р это число m будет различным. В тех точках Р,
для которых m нечётно, амплитуда результирующего колебания Аm больше, а в
тех точках Р, для которых m чётно, она меньше. Квадрат амплитуды определит
энергию колебаний. В свою очередь энергия световых колебаний определяет
освещённость. Таким образом, при продвижении вдоль прямой В0А′ (рисунок
39) мы будем встречать то большие, то меньшие освещённости.
При данных же R и r0, т.е. при данном расположении источника света, экрана с отверстием и точки наблюдения Р, освещённость в точке Р будет зависеть от размеров отверстия ρ и его отношения к длине волны λ.
Таким образом, мы приходим к выводу: свет не распространяется прямо-
линейно, освещённость в точке Р определяется размером и положением отверстия СС′, она определяется действием всех точек, лежащих на открытой части
волнового фронта.
106
Если размеры отверстия СС′ увеличивать до бесконечности, т.е. оставить
2
2
2
2
незакрытой всю поверхность волнового фронта W, то действие последней зоны
am станет бесконечно малым и по (13.13) амплитуда результирующего колеба-
ния А∞ в точке Р окажется равной:
а
А∞ =
1
.
Если размеры отверстия СС′ такие, что по отношению к данной точке Р
на площади отверстия укладывается нечётное число зон, то амплитуда колебаний в точке Р равна
А
m
а
=
а
1
+
m
,
т.е. она больше, чем при полностью открытом фронте. Максимальное значение
А
имеет в такой точке Р, для которой на площади отверстия укладывается од-
m
на первая зона, тогда А1 = а1, т.е. вдвое больше, чем А∞.
а
При большом числе открытых зон
m
мало, и амплитуда результирующе-
го колебания Аm мало отличается от амплитуды А∞, соответствующей полностью открытому фронту. Отсюда размеры отверстия СС′ перестают сказываться
на освещённости в точке Р, если число открытых зон велико. Если бы свет распространялся прямолинейно, то размеры отверстия вообще не должны были бы
сказываться на освещённости в точке Р. Отсюда мы приходим к следствию, что
выводы из волновых представлений и представлений о прямолинейном распространении света начинают совпадать, когда число открытых зон велико. Поль-
зуясь выведенными выражениями для числа m, легко подсчитать, при каких условиях число зон, укладывающихся на площади отверстия, велико. Например,
для случая плоского фронта (R = ∞) для точки Р, расположенной на расстоянии
r0 = 50 см от отверстия радиусом ρ = 0,5 см и при длине волны света λ =
5⋅10-5 см, по (13.15)
107
m =
ρ
10
5
50
ρ
⋅
=
λ
r
0
50
,
⋅
0,5
⋅
5
−
= 100.
Таким образом, при этих условиях на площади отверстия укладывается
значительное число зон, дальнейшее увеличение размеров отверстия практически не будет влиять на освещённость в точке Р – результат такой, как если бы
свет распространялся прямолинейно. Для точки же Р, отстоящей от того же от-
верстия радиусом ρ = 0,5 см на расстояние 50 м, на площади отверстия уложится лишь одна зона, и волновой характер распространения света будет явно сказываться.
§ 2.14 Графическое сложение амплитуд
Рассмотрение вопроса о действии световой волны в точке Р (см. рисунок
39), чрезвычайно удобно производить, пользуясь графическим методом сложе-
ния колебаний, обладающих некоторой разностью фаз. Для того чтобы графически изобразить действие целой зоны, следует разбить ее на весьма узкие равные кольцевые участки, столь малые, чтобы фаза колебаний, вызываемых в
точке Р различными воображаемыми источниками такого участка, практически
могла считаться постоянной. Тогда действие всего участка можно выразить
вектором, длина которого даёт суммарную амплитуду, а направление определяет фазу, обусловливаемую этим участком. Действие соседнего участка можно
выразить вторым вектором, несколько повёрнутым относительно первого, так
как фаза, определяемая совокупностью источников второго участка, будет немного отличаться от фазы, задаваемой первым участком. По длине же этот вектор практически не будет отличаться от первого, так как амплитуда колебания,
вызываемого равновеликими участками фронта волны, отличается только
вследствие изменения наклона фронта волны к линии, проведённой к точке Р, а
для двух соседних участков это изменение ничтожно мало. Даже при переходе
от одной зоны к следующей действие изменения наклона весьма незначитель-
108
но. Таким образом, векторная диаграмма, определяющая действие ряда участ-
В
0
1
0
0
1
2
ков, составляющих целую зону, изобразится ломаной, представленной на рисунке 41.
Здесь для определённости мы предполагали, что зона разбита на 6 элементарных участков. Если разбить зону на бесконечно большое число бесконечно малых участков, то ломаная линия обратится в дугу, которая лишь
очень мало будет отличаться от полуокружности. При
этом вектор, касательный к дуге в точке В, будет иметь
направление, прямо противоположное направлению соответствующего вектора вблизи точки 0, так как фаза коле-
Рисунок 41
бания в Р, обусловленного действием последнего участка
зоны, очевидно, противоположна фазе колебаний, излучаемых начальным участком зоны. Таким образом, векторную диаграмму действия центральной зоны
можно представить рисунком 42, и результирующую, характеризующую коле-
бание в Р, вызванное действием одной центральной (1-й) зоны, − вектором 0В1.
Здесь амплитуда колебаний от узкого кольца, прилегающего к границе 1-й зоны
Френеля, отстаёт по фазе на π от амплитуды колебаний, приходящих в точку Р
от центра 1-й зоны, поэтому соответствующие этим амплитудам векторы взаимно противоположны по направлению.
В
В
В
Рисунок 42
Рисунок 43
109
Для того, чтобы учесть действие второй зоны, надо продолжить нашу
0
ВNК
векторную диаграмму. Тогда мы получим рисунок 43, где результирующая амплитуда 0В2 определяет действие первых двух зон Френеля, причём хорда В
1В2
несколько меньше, чем у дуги 0В1, вследствие возрастающего наклона зоны.
Цепочка по мере увеличения кольцевых зон будет «закручиваться» в спираль и результирующая амплитуда, характеризующая действие всего волнового
фронта, выражается вектором 0N = s (рисунок 44). Эту спираль называют спи-
ралью Френеля. Из рисунка 44 легко видеть, что вектор s равен примерно поло-
вине вектора 0В1 = s1, представляющего действие центральной зоны, и совпадает с ним по направлению. Другими словами, колебание в точке Р, обусловленное всем волновым фронтом, совпадает по фазе с колебанием, которое могло
бы создать центральная зона, а по амплитуде составляет примерно половину этого колебания. Приведённые рассуждения показывают, что действие (амплитуда), вызванное всем волновым фронтом, примерно
равно половине действия центральной зоны, а не
Рисунок 44
действию половины центральной зоны, как нередко утверждают. В самом деле,
действие половины центральной зоны выразилось бы вектором 0К, отличающимся от правильно найденного вектора 0N.
Таким образом, амплитуда колебаний и интенсивность в точке Р (см. рисунок 39) по мере увеличения радиуса отверстия в экране изменяется не монотонно. Пока открывается 1-ая зона Френеля, амплитуда в точке Р увеличивается
и достигает максимума при полностью открытой зоне (см. рисунок 42). Но по
мере открывания 2-й зоны Френеля амплитуда колебаний в точке Р убывает, и
при полностью открытых двух первых зонах уменьшается почти до нуля (см.
рисунок 43), хотя световой поток через отверстие оказывается вдвое больше.
Затем амплитуда попеременно увеличивается и уменьшается (рисунок 44).
Рассмотрим теперь случай плоского волнового фронта, падающего на непрозрачный экран с круглым отверстием. Тогда по формуле (13.15) § 2.13 каж-
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]