Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптика. Учебное пособие для СПО
.pdf
дой точке спирали, например точке К рисунка 44, соответствует определённое
ρ
значение отношения
⋅α, где ρ − радиус отверстия, а α − угол, под которым
λ
это отверстие видно из точки Р (рисунок 40). Длина вектора а, соединяющего
точку 0 с точкой К, даст амплитуду колебаний, вызванных в точке Р всей частью волнового фронта, открытого рассматриваемым круглым отверстием.
Предположим, например, что при заданном радиусе отверстия ρ точка Р перемещается вдоль оси SS′ (рисунок 39), следовательно, меняется угол α. Этому
будет соответствовать непрерывное перемещение точки К по спирали. При
этом длина вектора 0К = а будет периодически то удлиняться, то укорачиваться, что указывает на периодическое изменение освещённостей при перемеще-
нии вдоль оси SS′ (рисунок 39). К такому же результату мы пришли в § 2.14 путём алгебраического суммирования, только там построение зон Френеля позволяло найти амплитуды колебаний лишь для тех точек Р, для которых число открытых зон равнялось целому числу. Теперь, благодаря построению бесконечно узких зон, мы можем найти амплитуду колебаний в любой точке Р.
Эти результаты, предсказанные на основе принципа Гюйгенса-Френеля,
на первый взгляд выглядят парадоксальными. Однако они хорошо подтверждаются опытом. В то же время согласно геометрической оптике интенсивность света в точке Р не должна зависеть от радиуса отверстия и от расстояния
точки наблюдения Р до отверстия.
Итак, амплитуда колебаний в точке Р от полностью открытой волновой
поверхности, согласно представлениям Френеля, равна s = s1/2, т.е. интенсивность, пропорциональная квадрату амплитуды, в четыре раза меньше, чем при
наличии экрана с круглым отверстием, открывающем только 1-ую зону Френеля. Особенно неожиданным в методе Френеля представляется тот удивительный вывод, что при отверстии в экране, открывающем для точки Р две зоны
Френеля, интенсивность в этой точке практически падает до нуля, хотя световой поток через отверстие оказывается вдвое больше.
111
В дальнейшем, при рассмотрении различных случаев дифракции, мы будем пользоваться графическим методом сложения колебаний.
При этом нужно отметить, что в методе расчёта Френеля имеются принципиальные неясности. При расчётах ″задняя″ часть волнового фронта во внимание не принимается. Второй недостаток метода Френеля заключается в том,
что он даёт неправильное значение начальной фазы колебания в точке Р. Значение фазы результирующего колебания в точке Р, найденное путём графического сложения колебаний, приходящих от отдельных зон полностью открыто-
го фронта, отличается на π/2 от действительного.
Тем не менее, метод Френеля полезен, так как он приводит к правильным
значениям амплитуды колебаний, а, следовательно, и освещённости. В большинстве же задач важно знать именно освещённость. Точный расчёт дифракции может быть получен лишь на основании электромагнитной теории света.
§ 2.15 Дифракция от непрозрачных преград
Когда волновые фронты светового пучка ограничиваются, например,
диафрагмой или краем непрозрачного экрана, волны частично проникают в область геометрической тени. Поэтому тень оказывается не резкой, как должно
было бы быть при прямолинейном распространении света, а размытой. Такое
огибание светом препятствий является общим для всех волн свойством и называется дифракцией. Различают два вида дифракции. Если источник света и точка наблюдения расположены от препятствия настолько далеко, что лучи, падающие на препятствие и идущие в точку наблюдения, образуют практически
параллельные пучки, то имеет место дифракция Фраунгофера или дифракция в
параллельных лучах. В противном случае будет наблюдаться дифракция Френеля. С практической точки зрения особенно важен случай дифракции Фраун-
гофера, т.к. математический разбор многих важных примеров дифракции Фраунгофера не труден и он находит применение при рассмотрении многих вопросов, касающихся оптических приборов (дифракционной решетки, оптических
112
инструментов и т.д.). Условия, близкие к условиям Фраунгофера, можно осу-
Р
S
D
E
P′
B
C′
ρ
R
0
ществить, поместив малый источник света в фокусе линзы и собрав свет при
помощи второй линзы в некоторой точке экрана, расположенного в ее фокальной плоскости. Эта точка служит изображением источника. Помещая между
линзами различные препятствия, мы наблюдаем на экране различные дифракционные картины. Решить задачу дифракции - значит найти распределение интенсивности света на экране в зависимости от размеров и формы препятствий,
вызывающих дифракцию света.
Рассмотрим сначала некоторые частные случаи дифракции Френеля.
1. Дифракция от круглого отверстия. Пусть S – точечный источник света (рисунок 45), В − непрозрачный экран с круглым отверстием D с центром в
точке С и Е – экран, на котором наблюдается освещённость. В случае прямоли-
нейного распространения света мы
получили бы на экране Е освещённый
круг с резкими краями. В действительности получится более сложная
C
r
картина. Результат действия волнового фронта, проходящего через отвер-
Рисунок 45
стие D, в точке Р, лежащей на оси SC,
мы уже определили. Освещённость в точке Р больше или меньше освещённости
от незакрытого фронта в зависимости от того, уложится ли при данных условиях опыта на площади отверстия D нечётное или чётное число зон Френеля. Для
определения освещённости в какой-либо точке Р′, не лежащей на оси SC, мы
можем рассуждать следующим образом. Если бы экрана В
не существовало вовсе, то мы определили бы действие
волнового фронта в точке Р′, построив кольцевые зоны
Френеля, центром для которых служила бы точка С′. при
наличии экрана В отверстие D расположится не концентрически по отношению к этим зонам. Открытая часть зон
Рисунок 46
будет выглядеть, как это изображено на рисунке 46, где для ясности нечётные
113
зоны заштрихованы. Действие этих зон в точке Р′ определится не только их
ρ
+
числом, но и тем, какая часть каждой из зон открыта. Точный подсчёт амплитуды суммарного колебания в точке Р′ сложен, но ясно, что при удалении от точки Р мы периодически встретим места с большей или меньшей освещённостью.
Так как вся картина должна обладать круговой симметрией, то около точки Р
возникнут чередующиеся более светлые и менее светлые кольца. Число наблюдаемых светлых и тёмных колец и их положение зависят от числа зон,
умещающихся на площади отверстия D при данных условиях наблюдения. По
формуле (13.14) § 2.13 на отверстии радиуса ρ уложится число зон m, определяемое равенством
)rρ(R
m =
⋅
λ
0
. (15.1)
Rr
0
Как видно, это число m зависит от отношения радиуса отверстия ρ к длине волны λ и от расстояний R от источника до экрана и r0 − от экрана до места наблюдения. При бесконечном увеличении расстояния R формула (15.1) переходит в
формулу (13.15) § 2.13. Число зон m может быть мало и при значительных размерах отверстия D, если только расстояния R и r0 достаточно велики. Если на
площади отверстия укладывается лишь одна центральная зона Френеля или
часть ее, то на экране Е получается размытое пятно, не окружённое светлыми и
тёмными кольцами. Если на площади отверстия укладывается большое число
зон Френеля, то освещённость вблизи точки Р получается практически равномерной и лишь у краёв геометрической тени наблюдается чередование весьма
узких светлых и тёмных полос.
Все рассуждения проведены в предположении, что источник света S − точечный. Всякий же реальный источник протяжён. В этом случае мы должны
его мысленно разбить на точечные источники, каждый из которых даст дифракционную картину. Эти дифракционные картины будут несколько смещены
друг относительно друга. Размеры источника должны быть настолько малы,
114
чтобы тёмные и светлые полосы, даваемые отдельными точками источника, не
2
Р
S
D
E
перекрылись, что повело бы к полному размыванию картины.
2. Дифракция от круглого непрозрачного экрана. Пусть S – точечный
источник света, D – непрозрачный круглый диск с центром в точке С (рисунок
47). Определим прежде всего действие волнового фронта в точке Р, лежащей на оси SC. Пусть экран D закроет m первых зон. Тогда в точку Р
C
придут колебания от всех остальных
зон, начиная от (m + 1)-ой. Суммируя
Рисунок 47
действие всех этих зон, точно так же,
как это было сделано в § 2.13, придём к выводу, что амплитуда колебаний АР в
точке Р будет равна половине амплитуды колебаний, приходящих от (m + 1)-ой
зоны:
а
А
Р
=
1m+
.
Для точек, лежащих не на оси SC, диск окажется расположенным не концентрически по отношению к зонам. Суммарная амплитуда будет больше или
меньше в зависимости от того, какая часть зон закрыта. Таким образом, мы
приходим к выводу, что центральную светлую точку окружает система чередующихся светлых и тёмных колец. Если диск закрывает лишь малую часть
центральной зоны, то волны полностью обогнут его, и диск вовсе не даст тени.
Если диск перекрывает лишь несколько зон Френеля, то суммарная амплитуда
в центре геометрической тени почти такая же, как при отсутствии диска. Это
непосредственно следует из спирали Френеля (рисунок 44).
Светлое пятно в центре геометрической тени называют пятном Пуассона.
Рассматривая в своё время метод Френеля суммирования колебаний от отдельных зон волнового фронта, Пуассон пришёл к выводу, что в центре тени от
диска должно быть светлое пятно. Но он посчитал этот вывод столь абсурдным,
115
что выдвинул его как убедительное возражение против волновой теории, развиваемой Френелем. Однако это «абсурдное» предсказание было экспериментально подтверждено Арагоном. Волновая теория Френеля восторжествовала.
Зонная пластинка. Если в экране открыть только нечётные зоны Френеля (1-ую, 3-ю,…), то векторы-амплитуды от этих зон будут сонаправлены и в
сумме дадут вектор, во много раз превосходящий по модулю векторы А∞ и А1.
Такой экран называют зонной пластинкой. Аналогично можно изготовить зонную пластинку, где открыты только чётные зоны Френеля. Зонная пластинка,
содержащая n открытых зон, создаёт в точке Р интенсивность приблизительно в
n2 раз большую, чем отверстие в первую зону Френеля. Усиление интенсивности света зонной пластинкой эквивалентно фокусирующему действию линзы.
Метод зон Френеля позволяет сравнительно просто найти интенсивность
света только в точке Р, лежащей на оси кругового отверстия в экране. Расчёт же
распределения интенсивности для всей дифракционной картины значительно
сложнее. Вся картина обладает круговой симметрией и представляет собой чередующиеся светлые и тёмные кольца, плавно преходящие друг в друга.
§ 2.16 Дифракция в параллельных лучах
Рассмотренные нами случаи дифракции (дифракции Френеля) наблюдаются без помощи каких-либо оптических приборов: на пути фронта световой
волны располагается лишь непрозрачный экран, частично загораживающий
фронт. Иной способ наблюдения дифракционных наблюдений дифракционных
явлений дал Фраунгофер. Он наблюдал картину, возникшую в главной фокальной плоскости линзы, собирающей плоские световые волны, загороженные тем
или иным непрозрачным экраном. Схема наблюдения дифракции Фраунгофера
изображена на рисунке 48. Точечный источник света S расположен в главной
фокальной плоскости линзы L1. Из линзы L1 выходит параллельный пучок лучей, на пути которого расположен непрозрачный экран с отверстием ab. Экран
частично загораживает пучок лучей, который затем падает на вторую линзу L2.
116
В случае прямолинейного распространения света лучи распространялись бы и
S
2
a
за экраном параллельным пучком и были бы собраны второй линзой L2 в точку
в ее главной фокальной плоскости (обе линзы считаем идеальными). На самом
деле в фокальной плоскости F2 линзы L2 наблюдается дифракционная картина,
вид которой зависит от формы и размеров отверстия в экране и длины падающей волны.
Явления фраунгоферовой
дифракции могут быть также ра-
F
зобраны методом графического
2
b
суммирования колебаний, при-
L
ходящих от отдельных зон вол-
L
1
Рисунок 48
нового фронта. Рассмотрим частные случаи дифракции Фраунгофера.
1. Дифракция Фраунгофера от одной щели. Точное вычисление интеграла (13.2) возможно только в простейших случаях. Обычно его вычисляют с
помощью приближённых методов. В частности, точный расчет интеграла (13.2)
возможен для дифракции Фраунгофера от щели. Пусть, на щель шириной b падает плоская монохроматическая световая волна (рисунок 49). Поместим за щелью собирающую линзу, а в фокальной плоскости линзы - экран. Волновая поверхность падающей волны, плоскость щели и экран параллельны друг другу.
Наша цель - найти распределение интенсивности света в плоскости экрана. При этом мы используем примечательное свойство собирающей линзы − все
параллельные пучки света 00', NN', FF' собираются в одной и той же точке Р
фокальной плоскости линзы, в которой расположен экран. Для аналитического
расчёта интенсивности света, распространяющегося по разным направлениям
за щелью, напишем выражение для волны, посылаемой каждым элементом
волнового фронта, и просуммируем действие всех элементов. Амплитуда волны, обусловленной одним таким элементом, пропорциональна его ширине dх,
т.е. равна C⋅dx. Множитель С определяется из условия, что по направлению ϕ =
117
0 амплитуда волны, посылаемой всей щелью, равна A0, т.е. C⋅b = A0, или С =
b
b
b
О
О
′
Р
N
F
F′
N′
х
0
∆
ϕ
b
х
ϕ
Q
A
0
.
Таким образом, световое колебание на соответствующем участке dx щели
выразится соотношением:
dA
=xsin
Рисунок 49
A
0
Собирающая линза
экран
( )
tωcosdx
⋅⋅⋅= (16.1)
Для отыскания действия всей щели в направлении, определяемом углом ϕ
с первоначальным направлением, необходимо учесть разность фаз, характеризующую волны, доходящие от различных элементов волнового фронта до точки
наблюдения Р.
Из рисунка 49 видно, что разность хода между волнами, идущими от элементарной зоны при точке О (левый край щели) и от какой – либо точки N (ле-
жащей на расстоянии х от края щели), есть NQ = ∆ = x⋅sinϕ. Световое колеба-
ние, идущее от элемента dх в точке N, в точку Р экрана запишем следующим
образом:
A
0
dA
( )
dxsinkxωtcos
ϕ⋅−= (16.2)
118
Результирующее колебание в точке Р определится как сумма этих выра-
2
λ
2
λ
λ
ϕ
⋅
жений, т.е. выразится интегралом по всей ширине щели:
1
sin
b
A
A (16.3)
0
∫
b
0
( )
=ϕ⋅−⋅⋅=
Adxsinkxtωcos
2
0
1
sinbk
ϕ⋅
sinbk
ϕ⋅
1
tωcos
2
ϕ⋅−⋅⋅
sinbk
Таким образом, результирующая волна, идущая в направлении ϕ, имеет
амплитуду:
1
sin
2
AA
=
ϕ
1
sinbk
sinbk
ϕ⋅
A
=
ϕ⋅
sin
00
sinπb
ϕ⋅
λ
sinπb
, (16.4)
ϕ⋅
2π
так как k =
.
Для точки, лежащей против центра линзы, ϕ = 0 и Аϕ
= А0. При ϕ = 0
ϕ=0
колебания от всех элементарных зон приходят в точку Р в одинаковой фазе.
Поэтому амплитуда результирующего колебания равна алгебраической сумме
амплитуд складываемых колебаний.
При значениях ϕ, удовлетворяющих условию
sinπb
=±nπ, (16.5)
т.е. в случае, если b⋅sinϕ = ± nλ, (n = 1,2,3,..), амплитуда Аϕ обращается в нуль.
Условию (16.5) можно дать простое объяснение. Допустим, что n = 1. Тогда разность хода между лучами, идущими от краёв щели, составляет λ, или
разность фаз между этими лучами равна 2π. Тогда для любого луча, проходя-
щего через щель, можно найти другой луч, колебания вектора напряжённости
119
электрического поля в котором происходят в противофазе с первым лучом
(разность фаз составляет π). Эти два луча в точке Р, в которой собираются лучи
идущие в направлении ϕ, взаимно компенсируют друг друга. Очевидно, эти
рассуждения можно повторить для любого целого n. Таким образом, если на
разности хода между лучами, идущими от краёв щели в направлении ϕ, укладывается целое число длин волн, то в точке Р экрана Аϕ = 0.
Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды. Следовательно, в соответствии с (16.4):
sinbπ
ϕ⋅
2
sin
II
=
0
ϕ
sinbπ
λ
λ
, (16.6)
2
ϕ⋅
где I0 − интенсивность света в середине дифракционной картины (против
центра линзы),
Iϕ − интенсивность в точке, положение которой определяется значени-
ем ϕ.
Выражения (16.5) и (16.6) показывают, что вдоль экрана (с изменением
угла ϕ) интенсивность меняется, проходя через максимумы и минимумы, в частности, краям центрального максимума соответствуют значения угла ϕ, получающиеся из условия b⋅sinϕ = ±λ. Эти значения угла ϕ равны ±arccos(λ/b). Следовательно, угловая ширина центрального максимума равна δϕ = 2arccos(λ/b).
Таким образом, центральная светлая полоса тем шире, чем меньше ширина щели b. На рисунке 50 показана кривая распределения интенсивности Iϕ в зависимости от sinϕ.
Как видно из рисунка 50 величина вторичных максимумов быстро убывает. Так, расчёт по формуле (16.6) даёт, что численные значения интенсивностей
центрального и следующих максимумов относятся как 1: 0,045: 0,016: 0,008 и
т.д.
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]