Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Многоканальные системы управления. Синтез линейных систем с разнотемповыми процессами. Учебное пособие
.pdf
Замечание 4.7. Из условия
q
следует, что при практической ре-
ализации алгоритма управления (4.15) не требуется применять операцию идеального дифференцирования. В соответствии с процедурой
перехода к наблюдаемому каноническому представлению [1, 39, 83] от
выражений (4.15) можно перейти к записи данного алгоритма в виде
системы, которая содержит дифференциальных уравнений в форме
Коши, как это было показано выше для уравнения (3.4).
Выполняя преобразование Лапласа для (4.15) при нулевых началь-
ных условиях, получаем
k
us
()
12
qq
12
qq
sd s dsd
q
0
121
1
[() ()] ().
rs ys s s s ys
Ts T T
dd
aa
12
12
d
a
1
(1)
2
T
Замечание 4.8. Из полученного выше выражения следует, что в законе обратной связи с алгоритмом управления (4.15) присутствуют
оценки производных выходной переменной вплоть до производной
порядка 1 , но отсутствует оценка для производной выхода порядка
. Таким образом, обсуждаемый класс систем управления не принад-
лежит к системам с управлением по старшей (относительной старшей
)
производной в законе обратной связи [15]. В системах [15] имеет место
противоречие между требованием на точность регулирования и требованием устойчивости быстрых процессов, что было отмечено в работе
[76]. Указанное противоречие отсутствует в обсуждаемых системах
управления с разнотемповыми процессами. Отметим также, что рассмотренные в работе [15] алгоритмы управления не обеспечивают
свойства астатизма системы
управления и поэтому не имеют самостоя-
тельного значения для практических приложений.
4.3.2. АНАЛИЗ СВОЙСТВ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ
Введем новые переменные:
,uu
uuu u u u
1
(1) (2 ) 1 ( 1)
23
,, , ,
2
j
jj
81
где 1, , jq , тогда
(4.15) в виде
(1)
uu
и представим уравнения регулятора
jj
,
1
uku
,
01
(1)
uu
1
,
2
(1)
uu
q
(1)
udu du
qqq
,
q
1
12 1
1
[] .
ry y y y
TT
d
a
1
11
1
a
T
d
1
(4.16)
(1)
В соответствии с (4.8) и (4.16) получаем следующие уравнения замкнутой системы:
(1)
yy i
ii
(1) * * *
yaYazbkuf
(1)
zAYAzBkuf
(1)
uu j q
jj
(1) (1)
udu du ry y yy
qqq
12 1 1 1
1
12 01
12 01
1
1
TT
1, ..., 1,
y
,
1
(4.17)
1, , 1,
[] .
z
,
d
a
1
1
d
a
T
Замена
(1)
y
в последнем уравнении системы (4.17) на правую часть
уравнения
(1) * * *
yaYazbkuf
12 01
y
82
приводит к сингулярно-возмущенной системе дифференциальных
уравнений
(1)
yy i
ii
(1) * * *
yaYazbkuf
(1)
zAYAzBkuf
(1)
uu j q
jj
(1) *
ubkudu du rYzf
qqq
1
12 01
12 01
1
1, ..., 1,
y
,
z
,
1, , 1,
01 12 1 2
( , , , ),
y
(4.18)
где
1
(, , , ) [ ]
rYzf r y
21
d
a
1
(4.19)
yyaYazf
112
1
T
y
T
d
a
1
T
**
y
.
Анализ свойств системы (4.18) выполним методом разделения
движений путем выделения уравнений для подсистемы быстрых и
подсистемы медленных движений. Из системы (4.18) получим уравнения для ПБД следующего вида:
(1)
uu j q
jj
(1) *
ubkudu du rYzf
qqq
1, , 1,
1
01 12 1 2
( , , , ),
y
(4.20)
где
(, , , )
rYzf рассматриваются как функция с замороженными
2
y
аргументами на интервале времени переходных процессов в (4.20).
Характеристический полином ПБД (4.20) имеет вид
qq
() .
As sd s dsbk
ПБД 110
qq
(4.21)
Если выбрать коэффициент усиления
1
1*
*1
()kb
k , например, из условия
0
q
, (4.22)
0
83
а параметры jd регулятора (4.15) в виде коэффициентов бинома Нью-
s
B
тона, то из (4.21) будет следовать устойчивый полином
() ( 1)
As s .
ПБД
q
В условиях предположения устойчивости ПБД (4.20) полагаем, что
0 . Тогда после затухания быстрых переходных процессов возни-
кает квазиравновесный режим ПБД (4.20), которому соответствует
управляющее воздействие
uu u
23
lim ( ) ( , , , ).
uuubk rYzf
111 02
0
s
0,
q
1
*
(4.23)
y
При квазиравновесном режиме ПБД (4.20) из (4.23) и уравнений (4.18)
следует вырожденная система уравнений
(1)
yy i
ii
(1) * * *
yaYazbkuf
(1)
zAYAzBkuf
ubk rYzf
102
1
12 011
12 01
*
s
1, ..., 1,
1
( , , , ).
y
s
,
(4.24)
z
,
y
Учитывая вид выражения для (4.19) в (4.24), получим уравнения ПМД:
(1)
yy i
ii
(1)
yry y y
(1)
zABbazABbaY
1
1
TT
2211
() [ ] .
bryy yff
1, ..., 1,
a
1
84
d
a
1
T
(4.25)
d
a
1
T
y
z
d
1
d
a
[] ,
() ()
*1
1
11
*1* *1*
TT
1
1
11
Из уравнений ПМД (4.25) следует, что поведение выхода 1y описыва-
s
ется эталонным уравнением (4.14), где
yy . Следовательно, обеспе-
1
чивается свойство (4.2) для процессов в ПМД. Таким образом, после
затухания быстрых процессов в замкнутой системе доминируют медленные процессы и при этом формируются желаемые показатели качества переходных процессов по переменной y в условиях отсутствия
полной информации о параметрах объекта управления и внешних возмущениях, следовательно, обеспечивается
решение поставленной за-
дачи управления.
Так как характеристический полином ПМД (4.25) имеет вид
() () ()AsAsAs,
ПМД ЭУ внутр
то ПМД является устойчивой в силу устойчивости внутренней подсистемы (4.11) и эталонного уравнения (4.14).
Замечание 4.9. Устойчивость процессов во внутренней подсистеме
является достаточным условием ограниченности управляющего воз-
действия
u , которое соответствует квазиравновесному режиму ПБД
1
(4.20) и имеет вид (4.23).
Замечание 4.10. Поведение выхода y в ПМД (4.25) соответствует
уравнению (4.14), из свойств которого следует, что скоростная ошиб-
ка по задающему воздействию r пропорциональна величине параметра T .
Замечание 4.11. Расчет параметров регулятора (4.15) на основе
формирования в замкнутой системе разнотемповых процессов включает следующие этапы
:
1) проверку свойства обратимости системы (4.1) (предположе-
ние 4.1);
2) проверку свойства внутренней устойчивости системы (4.1) (за-
мечание 4.1);
3) выбор коэффициента
4) выбор коэффициентов
k , например,
0
d исходя из требования на демпфирова-
j
ние переходных процессов в ПБД, выбор коэффициентов
*1
()kb
;
0
d
a исходя из
j
требования на демпфирование переходных процессов по выходным
переменным y ;
85
5) выбор постоянной T исходя из требования на желаемое время
переходных процессов по выходной переменной y ;
6) выбор постоянной
исходя из требования на степень разделе-
ния темпов движений между процессами в ПБД и ПМД, например,
/T , где 10 .
4.4. СИНТЕЗ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
4.4.1. СТРУКТУРА АЛГОРИТМА УПРАВЛЕНИЯ
При синтезе высокоточных следящих систем управления можно
рассмотреть два способа уменьшения величины скоростной ошибки по
задающему воздействию r в сравнении с алгоритмом управления вида (4.15). Первый способ состоит в формировании устойчивого эталонного уравнения для желаемого поведения выхода y с учетом тре-
бования на астатизм заданного порядка:
() ( 1) (2) (1)
где
yaTy aTyaTyTy
aT r aT r aT r T r
, (4.26)
. В соответствии с (4.26) уравнения модифицированного ал-
121
ddd
121
() (2) (1)
ddd
21
21
горитма управления принимают следующий вид [74, с. 54]:
uku
где
,
0
() 1 ( 1) (1)
qq q q
ud u du
[] [ ] [ ]
TryaT r y aT r y
dd d
aT r y a T y a Ty y
q
.
Например, если 2
11
q
12
dd
12
() () ( 1) ( 1) ( )
[] ,
(2) 1 (1) 2 1 (1) 2
yaTyTyaTrTr
,
(4.27)
(1) (1) ( 2) ( 2)
и 1
dd
11
1
11
, то получаем эталонное уравнение
86
где в режиме линейной заводки для ()rt величина скоростной ошибки
D
равна нулю. Тогда при 2q
из (4.27) получим алгоритм управления
вида
2 (2) (1) 2 1 (1) (1) (2)
uku u du T ry aT r y y
,[][]
01 1
d
. (4.28)
Замечание 4.12. При практической реализации алгоритма управления (4.28), а в более общем случае алгоритма управления (4.27) можно
перейти к представлению алгоритма управления в виде наблюдаемой
канонической формы полностью аналогичным образом, как это было
показано для уравнения (3.4).
Замечание 4.13. Анализ свойств замкнутой системы, заданной
управлениями (4.8) и (4.27), выполняется по методике предыдущего
раздела данного раздела
.
Второй способ уменьшения скоростной ошибки по задающему
воздействию r состоит в формировании алгоритма управления следующего вида [74, с. 71]:
,
0
() 1 ( 1) (1)
qq q q
ud u du
TeaT e aT e aTe e
11
q
(1) ( 2) ( 1) ( )
12
dd d
12 1
.
(4.29)
,
где
uku
q
Замечание 4.14. Здесь аналогично уравнениям (4.15) выделена ди-
намическая часть и пропорциональное звено с коэффициентом усиле-
ния
k с целью последующей унификации методики синтеза регулято-
0
ров для многоканальных систем управления.
Выполняя преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, представим алгоритм управления (4.29) в форме
d
()
() ()
us k es
As
0
Ds
()
, (4.30)
где
dd dd
() .
As s a Ts aT s aT sT
()
(4.32)
qq q q
ssd s ds
, (4.31)
11 2 2 1
121
11
11
q
87
Заметим, что передаточная функция регулятора (4.30)–(4.32) явля-
ется правильной и реализуема без операции идеального дифференцирования, если q . При практической реализации алгоритма управ-
ления можно перейти от (4.29) к управляемому или наблюдаемому
каноническому представлению в виде системы q дифференциальных
уравнений в форме Коши.
Замечание 4.15. Если 1q
, то из (4.30)–( 4.32) следует струк-
тура ПИ-регулятора
1
sT
() ()
us k es
0
s
.
Если 1q , то из (4.30)–(4.32) следует структура ПИ-регулятора с
дополнительным фильтром. Например, пусть 2q
1
sT
() ()
us k es
0
22
sds
1
.
и 1
, тогда
Если 2q , из (4.30)–(4.32) следует структура правильной переда-
точной функции ПИД-регулятора. Например, пусть 2q
212
d
() ()
us k es
saTsT
0
1
22
sds
1
, тогда
.
Правильная передаточная функция ПИД регулятора с дополнительным
фильтром следует из (4.30)–(4.32) при 2q . Например, пусть
3q и 2 , тогда
212
d
() ()
us k es
saTsT
0
33 2 2
sdsds
1
21
.
Замечание 4.16. С целью упрощения уравнения передаточной
, ...,
функции регулятора можно выбрать в качестве параметров
dd
и
, ...,
aa коэффициенты бинома Ньютона. Тогда из (4.30)–(4.32)
11
dd
11
q
следует
88
1
()
sT
() ()
us k es
0
(1)1
q
s
.
Отметим, что подобную структуру алгоритма управления можно
также найти в работах [63, 64].
Замечание 4.17. Отличительная особенность передаточной функ-
ции (4.30)–(4.32) обсуждаемого регулятора состоит в том, что
сматривается как малый положительный параметр, где 0
зультате уменьшения параметра
в замкнутой системе формируются
. В ре-
рас-
быстрые и медленные процессы, где степень разделения темпов этих
процессов обеспечивается выбором параметра
Наличие малого параметра
позволяет представить уравнения за-
.
мкнутой системы в виде сингулярно-возмущенной системы дифференциальных уравнений, анализ свойств которой может быть выполнен на
основе метода разделения движений.
4.4.2. АНАЛИЗ СВОЙСТВ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ
Предположение 4.3. При рассмотрении следящей системы управления полагаем, что задающее воздействие ()rt является произвольной
неизвестной гладкой функцией времени t , которая имеет ограниченный диапазон изменения вместе со всеми своими производными, т. е.
()
i
const
r 0, 1, 2, ...i
Обозначим
,uu
uuu u u u
1
23
где 1, , jq , тогда
(1) (2 ) 1 ( 1)
,,, ,
(1)
uu
и представим уравнения регулято-
jj
2
,
1
j
jj
ра (4.29) в виде
uku
(1)
uu j q
jj
(1)
udu du
qqq
,
01
1
12 1
TeaT e aTe e
1, ..., 1,
dd
11
(1) ( 1) ( )
11
89
(4.33)
.
Дополнительно введем следующие обозначения:
rrr r rr r r
, , , , ,
12 3 1
eeryry
111
(1) (1)
ee r y ry
222
(1) (1) (1) (1)
eryr y
(1) ( 2) ( )
,
(1)
1
,,
.
(4.34)
Рассмотрим уравнения замкнутой системы, состоящие из уравнений модели объекта в канонической форме (4.8) и уравнения регулятора в форме (4.33). Принимая во внимание обозначения (4.34), получим
уравнения замкнутой системы
(1)
yy i
ii
yaYazbkuf
zAYAzBkuf
uu j q
udu duTryaTry
Замена
1
(1) * * *
12 01
(1)
12 01
(1)
jj
(1) 1
qqq
12 1 1 1 1 2 2
aTr y r y
(1)
y в последнем уравнении системы (4.35) на правую часть
1, ..., 1,
y
,
z
,
(4.35)
1
d
1, ..., 1,
1(1)
11
[] .
[] [ ]
d
уравнения
(1) * * *
yaYazbkuf
12 01
y
приводит к сингулярно-возмущенной системе дифференциальных
уравнений:
(1)
yy i
ii
yaYazbkuf
(1)
zAYAzBkuf
uu j q
ubkudu du rYzf
1
(1) * * *
12 01
12 01
(1)
jj
1
(1) *
qqq
1, ..., 1,
y
,
z
,
1, , 1,
01 12 1 3
( , , , ),
y
(4.36)
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]