Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Многоканальные системы управления. Синтез линейных систем с разнотемповыми процессами. Учебное пособие
.pdf
7. МНОГОКАНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
С РЕГУЛЯТОРОМ ОБЩЕГО ВИДА
В данном разделе рассматривается методика синтеза многоканальных систем стабилизации выхода и методика синтеза следящих систем
управления для обратимых линейных объектов, где индексы обратимости компонент вектора выхода могут иметь различные значения.
При этом, как и в предыдущих главах, предполагается, что свойство
внутренней устойчивости модели объекта выполнено. Излагаемая методика
разделения движений.
многоканальной системы сформулирована в разделе 5.1. В отличие от
предыдущих посвященных многоканальным системам разделов здесь
рассматривается случай, когда многоканальный регулятор состоит из
согласующей матрицы
могут иметь разную структуру, например структуру ПИ- и ПИД-регу-
ляторов.
поставленная задача управления имеет решение. Данные условия сводятся, во-первых, к проверке обратимости модели объекта управления (5.1), а во-вторых, к проверке свойства внутренней устойчивости
на основе преобразования модели
форме и последующего выделения и анализа устойчивости уравнений
внутренней подсистемы.
последовательном дифференцировании компонент вектора выхода
синтеза систем управления основана на применении метода
7.1. УСЛОВИЯ ОБРАТИМОСТИ И ВНУТРЕННЕЙ
УСТОЙЧИВОСТИ
Обсуждаемая в данном разделе постановка задачи управления для
K
и p одноканальных регуляторов, которые
0
Предварительно рассмотрим условия, при выполнении которых
объекта к нормальной канонической
Процедура проверки свойства обратимости системы (5.1) состоит в
141
вплоть до того момента, пока не будет получено выражение, которое
явно включает в себя компоненты вектора входа (управления) [87, 97,
101, 102]. Например, для первой компоненты вектора y имеем выра-
жение
,ycxw
11 1
где
c есть первая строка матрицы C в системе (5.1). В результате
1
дифференцирования данного уравнения в силу решений (5.1) получим
(1) (1)
ycAxcBucfw
111
11
Если
cB O , т. е. получена строка с нулевыми элементами, тогда вы-
1
.
числим вторую производную
(2) (1) (2)
y cAx cABu cAf c f w
11
2
11 11
.
Если
cAB O
1
, то найдем выражение для следующей производной.
Процедура повторяется отдельно для каждой компоненты вектора выхода системы (5.1).
В результате данной процедуры для каждой компоненты
, получаем систему уравнений
1, , ip
ycxw
ii i
(1) (1)
ycAxcfwcBO
ii i ii
(2) (1) (2)
y cA x cAf c f w cAB O
ii i i ii
,
,,
2
,,
y , где
i
(7.1)
2
(1) (1)
ii
ycAxcAfwcABO
ii i ii
ii i
где выражение для
() ()
ii
y cA x cA Bu cA f w cA B O
ii i i i i
ii i i
(7.2)
i
12 2
0
j
()
i
y явно зависит от вектора управления u , т. е.
i
1
11 1
i
0
j
j
()
j
j
()
j
,,
,.
142
1
Здесь
c
– i-я строка матрицы C , а в строке
i
i
cA B
i
содержится хотя
бы один ненулевой элемент.
Величину
называют индексом обратимости [87, 97, 101], отно-
i
сительным порядком системы (5.1) для i -й компоненты вектора выхода [88, 89], относительным порядком старшей производной системы
(5.1) для i -й компоненты вектора выхода [74].
Предположение 7.1. Пусть для модели объекта управления (5.1)
справедливы следующие условия:
j
cA B O i p j
ii
*
det 0B
1, , ; 0, , 2,
, где
1
i
cA B O
i
B
,
*
bcAB
11
*
. (7.4)
*1
b
p
cA B
p
1
1
p
(7.3)
Замечание 7.1. Условия (7.3), (7.4) есть достаточные условия обра-
тимости модели объекта управления вида (5.1) [97].
Свойство внутренней устойчивости системы (5.1) состоит в том,
что в режиме формирования предписанной траектории поведения компонент вектора выхода отсутствуют неустойчивые процессы по компонентам вектора состояния системы (5.1) [74, с. 128].
С целью анализа свойства внутренней устойчивости системы (5.1)
можно использовать способ, основанный
на преобразовании данной
системы к канонической форме [71], где новый вектор состояния
включает каждую компоненту вектора выхода вместе с первыми
– 1
i
ее производными.
Полагаем, что достаточные условия обратимости (7.3) и (7.4) для
системы (5.1) выполнены.
Введем обозначения:
(1)
yyy yyy y y
, , , ,
(7.5)
iii iii i i
,1 , 2 , 3 ,
(1) (2)
143
i
i
и представим p систем уравнений вида (7.1) в следующей форме:
p
x
ywcxi p
,1
iii
ycfwcAx
,2
ii i i
ycAfcf w cAx
,3
ii i i i
,1, , ,
(1)
,
(1) ( 2)
2
,
(7.6)
2
i
21
j
()
ycAfwcAx
,
ii ii
i
j
ii
0
j
(1)
i
.
Система (7.6) содержит l уравнений, которые дополняем уравнением
для вектора внутренних переменных z :
p
,
. (7.7)
i
i
1
c
i
cA
cA
i
i
1
i
. (7.8)
Матрица
Q выбирается из условия
zQ x
1
det 0Q , где
, где
1p
Q
1
QQ ip
Q
p
Q
1
p
nl
zR l
,,1, ,
i
Учитывая (7.8), выполним преобразование координат на основе системы n уравнений (7.6), (7.7). В результате, исключая вектор
, пред-
ставим модель объекта управления (5.1) в следующем виде [71, 74]:
(1)
,,1
ij ij i
(1)
YYY Y Y yy y
где
yaYazbuf
,
i
i
(1)
zAYAzBuf
TT T T
, , , , , , , .
11 ,1,2 ,
, 1, , , 1, , 1,
***
12
iiii
122
T
piii i
y
,
z
,
144
(7.9)
i
Уравнение
p
p
(1)
yaYazbuf
i
***
(7.10)
iiii
12
,
i
в системе (7.9) есть выражение для
вектора выхода
y
, которое в исходной системе координат x имеет
i
-й производной i-й компоненты
i
y
вид (7.2).
Систему из
уравнений вида (7.10) представим в векторной
форме
***
yAYAzBuf, (7.11)
*1 2
y
где
()
Здесь
1
y
1
y
*
y есть вектор относительных старших производных компонент
*
()
p
y
p
,
AABf
***
aabf
11 12 1
** *
12
,,,
.
** *
aabf
12
ppp
y
1
y
y
вектора y системы (5.1).
Условия устойчивости процессов по внутренним переменным линейной системы (5.1) в режиме формирования заданных процессов по
выходной переменной y могут быть легко получены непосредственно
из системы (7.9) путем перехода к рассмотрению уравнений вырожденных движений, возникающих в режиме стабилизации выхода.
Так как внешние
возмущения f и w не могут повлиять на устой-
чивость процессов в системе (5.1), то принимаем их тождественно равными нулю.
Для выделения уравнений вырожденных движений полагаем
() 0yt t, тогда () 0Yt t
, ( ) 0Yt t, соответственно
() 0yt t
*
В результате из системы уравнений (7.9) и выражения (7.11) получим
**
0,
Az Bu
где
*
A
2
*
a
12
.
*
a
2m
2
(1)
zAzBu
22
(7.12)
,
.
145
Исключая переменную u , получим уравнения вырожденных движе-
ний, возникающих в режиме () 0
yt t , которые имеют вид
(1)
22 2
*1*
()zABBAz
. (7.13)
Замечание 7.2. В условиях предположения 7.1 для устойчивости
процессов по внутренним переменным
z линейной системы (5.1) в
режиме формирования заданных процессов по выходной переменной
y необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа матрицы
*1*
22 2
()ABB A
в системе (7.13) имели строго отрицательную веще-
ственную часть.
Предположение 7.2. Пусть модель объекта управления (5.1) удо-
влетворяет условию внутренней устойчивости, которое дано в замечании 7.2.
7.2. СИНТЕЗ СИСТЕМ СТАБИЛИЗАЦИИ ВЫХОДА
7.2.1. АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ СТАБИЛИЗАЦИИ ВЫХОДА
Рассмотрим алгоритм управления для многоканальной системы
стабилизации выхода объекта управления вида (5.1). Сформируем эталонное уравнение для желаемого поведения
i-й компоненты вектора
выхода в виде устойчивого дифференциального уравнения
() ( 1) 2
ii i
yaTy aTy
iiii iii
aT y T y T r
, (7.14)
dd
1
,1 ,2
i
1
d
iii
ii i i i i i
,1
(1)
(2)
где характеристический полином эталонного (желаемого) уравнения (7.14) имеет вид
1
Например,
dd
() .
AssaTs aTsT
iiiiii
,ЭУ ,1 ,1
a удобно задать в виде коэффициентов бинома Ньютона,
,dij
ii
i
1
1
ii
тогда
i
1
()
AssT
,
i ЭУ i
.
146
Предлагаемая структура многоканального регулятора соответству-
K
ет схеме на рис. 5.1 и состоит из согласующей матрицы
и p одно-
0
канальных регуляторов:
где
uKu i p
q и
ii
, 1, , ,
0
qq q q
() 1( 1)
ii i i
ud u du
ii iq i i iii
ii ii
[] ,
TryaTy aTy y
iiiiii i ii i
uu u
,1 ,1
i
1(1)()
dd
,1 , 1
, ,
1
T
p
(1)
. Каждый из одноканальных регуляторов
i
(1)
(7.15)
1
можно представить в виде
us
()
i
i
T
i
s
dd d
aT aT s a T s s ys
ii i i i i i
ip . В силу условия
где 1, ,
qq
12
ii
ii iq i ii i
[() ()]
rs ys
ii
12
ii
,1 , 2 , 1
qq
12
ii
sd s dsd
,1 ,2 ,1
1
i
,
21
1
q регулятор вида (7.15) реализуем
i
ii
ii
()
без применения операции идеального дифференцирования.
7.2.2. АНАЛИЗ СВОЙСТВ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ
Введем новые переменные:
uu
,1,ii
jq ; 1, , ip
где 1, ,
uuuu u u
,2 ,3 ,
iiiiii ijii
i
, тогда
(1) ( 2) 1 ( 1)
,, , ,
2
(1)
uu
,,1
iij ij
.
jj
Принимая во внимание (7.5), представим уравнения регулятора (7.15)
в виде
uKu
,
0
(1)
uu i pv q
iiv iv i
,,1
(1)
udu du
iii iqiq
iq
,
i
, 1, , , 1, , 1,
,1 , 2 , 1 ,
ii
Try aTy aTy y
[] .
iii ii i i ii
ii
1
dd
,1 ,1 , 2 , 1 ,
ii
1
(1)
i
,
(7.16)
i
147
Таким образом, получаем уравнения замкнутой системы вида (7.9),
(7.16). С целью упрощения анализа свойств этой системы полагаем
*1
()KB
. (7.17)
0
Тогда уравнения замкнутой системы управления (7.9), (7.16) принимают вид
(1)
yy i pj
,,1
ij ij i
(1)
yaYazuf
,
i
i
(1)
zAYAzBBuf
(1)
uu v q
,,1
iiv iv i
(1)
udu du
iii iqiq
,
iq
i
, 1, , , 1, , 1,
**
12,1
iiii
122
, 1, , 1,
,1 , 2 , 1 ,
ii
Try aTy a
[]
iii ii i i
y
,
*1
() ,
z
ii
1
d
,1 ,1 , 2
d
,1 ,
ii
1
Ty y
ii
(1)
,
i
(7.18)
,
i
где
T
Замена
uuu u
(1)
y в последнем уравнении системы (7.18) на правую
i
,
i
, , ,
1,1 2,1 ,1
. (7.19)
p
часть уравнения
(1)
yaYazuf
i
**
12,1
iiii
,
i
y
приводит к сингулярно-возмущенной системе дифференциальных
уравнений
(1)
yy i pj
,,1
ij ij i
(1)
yaYazuf
,
i
i
(1)
zAYAzBBuf
(1)
uu v q
,,1
iiv iv i
(1)
uudu du
i i i i iq iq i
,
iq
i
, 1, , , 1, , 1,
**
12,1
iiii
122
, 1, , 1,
,1 ,1 , 2 , 1 ,
y
,
*1
() ,
ii
z
(7.20)
(),
148
где
f
p
() [ ]
iiiiiii
(7.21)
ii
Try aTy
d
aTy aYazf
iii i i i
,1 , 1 2
ii
,1 ,1 , 2
1**
1
d
y
.
Анализ свойств системы (7.20) выполняется в соответствии с методом разделения движений путем выделения уравнений для подсистемы
быстрых движений и подсистемы медленных движений.
Из системы (7.20) получим уравнения для ПБД следующего вида:
где
(1)
uu i pv q
,,1
iiv iv i
(1)
uudu du
i i i i iq iq i
,
iq
i
()
рассматриваются как функции с замороженными аргументами
i
, 1, , , 1, , 1,
,1 ,1 , 2 , 1 ,
ii
(7.22)
(),
на интервале времени переходных процессов в (7.22). Аргументами
функции
щений ,
()
являются переменные , , Yzr а также функции возму-
i
w и их производные.
Отметим, что в силу условия (7.17) характеристический полином
ПБД (7.22) распадается на произведение характеристических полиномов ПБД
каналов управления
() ()
As A s
ПБД ,ПБД
p
i
1
i
,
где
qq
qq
ii
() 1.
As sd s ds
,ПБД ,1 ,1
iiiqi ii
ii
1
1
i
С целью обеспечения устойчивости процессов в ПБД можно задать
параметры
d регуляторов в виде коэффициентов бинома Ньютона,
,ij
тогда получим
p
() ( 1)
As s
ПБД
i
1
149
q
i
i
.
В условиях предположения устойчивости ПБД (7.22) будем пола-
p
F
0
гать, что
i
для всех 1, , ip
. Тогда после затухания быстрых
переходных процессов возникает квазиравновесный режим ПБД (7.22),
которому соответствует управляющее воздействие
uu u i p
,2 ,3 ,
ii iq
ii
[] .
Try aTy aTy aYazf
iii iii i ii i i i
dd
,1 ,1 , 2 , 1 , 1 2
lim ( )
uuu
,1 ,1 ,1
ii i i
0
i
1
0 1, , ,
i
s
ii
1**
(7.23)
y
Принимая во внимание (7.17) и (7.19), запишем систему уравнений (7.23) в векторном виде
s
uFAYAzf
**
*1 2
y
, (7.24)
где
sss s
uuu u
ii
[]
Try aTy aTy
1, , .ip
ii ii ii i i ii
, , ,
1,1 2,1 ,1
,1 ,1 , 2 , 1 ,
1
dd
T
,
p
[, , , ]
FFF F ,
*12
1
ii
T
Для квазиравновесного режима ПБД (7.22) из уравнений (7.20) следует
вырожденная система уравнений
(1)
yy i pj
,,1
ij ij i
(1)
yaYazuf
,
i
i
(1)
zAYAzBBuf
0,1,,1,
uv q
0().
, 1, , , 1, , 1,
**
12,1
iiii
122
s
,1
iv i
ss s
udu du
iii iqiqi
,1 ,1 , 2 , 1 ,
y
s
,
*1
sz
() ,
ii
(7.25)
150
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]