Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Многоканальные системы управления. Синтез линейных систем с разнотемповыми процессами. Учебное пособие
.pdf
т. е. для произвольных точек (, )yu в пространстве состояний систе-
M
мы (1.10), где (, )
u к скорости изменения переменной y зависит от параметра
нимает как угодно большие значения при 0
точек в пространстве состояний системы (1.10) на многообразии
данное отношение удовлетворяет условию (1.12).
Таким образом, наличие малого параметра в сингулярно-возмущенной системе (1.10) приводит к формированию разнотемповых процессов в решениях данной системы вне многообразия
процессы происходят по переменной
ной
y . Исключая переменную u в вырожденной системе (1.11), полу-
чаем уравнение для описания процессов по переменной
М:
разии
которое называется уравнением подсистемы медленных движений.
Соответственно многообразие (1.13) называют многообразием медленных движений [90]. Качественный вид фазового портрета устойчивой сингулярно-возмущенной системы дифференциальных уравнений (1.10) представлен на рис. 1.6.
yu M
, отношение скорости изменения переменной
и при-
. В то же время для
М, где быстрые
u , а медленные – по перемен-
y на многооб-
1
11 22 21 0
,( 0)yAAAyyt y
, (1.14)
Рис. 1.6. Фазовый портрет устойчивой син-
гулярно-возмущенной системы дифференци-
альных уравнений (1.10)
21
С целью выделения уравнений, описывающих быстрые процессы
M
вне многообразия
по переменной u , применяется процедура разде-
ления движений, для этого запишем систему (1.10) в виде
dy
Ay Au
11 12
dt
du
Ay Au
dt
21 22
,
(1.15)
.
Затем введем быстрое время
менем t соотношением
tt
вим систему (1.15) в быстром времени
dy
dt
0
du
dt
0
Выполняя предельный переход 0
dy
dt
du
dt
t
, которое связано с исходным вре-
0
[13, с. 259; 18]. В результате предста-
0
t
:
0
[],
Ay Au
11 12
(1.16)
Ay Au
21 22
.
в системе (1.16), получим
0,
0
Ay Au
21 22
0
(1.17)
.
Систему (1.17) называют подсистемой быстрых движений в быстром
времени, а также присоединенной системой [13, с. 261; 18].
Возвращаясь в системе (1.17) к исходной шкале времени t путем
замены
/tt
0
, получаем уравнение подсистемы быстрых движений
du
Ay Au
dt
21 22
, (1.18)
где y рассматривается как постоянная величина (замороженная переменная) на интервале времени переходных процессов в системе (1.18).
22
Если
A
s
является гурвицевой матрицей, то при 0
22
все корни
характеристического полинома
1
det
IA
m
22
подсистемы быстрых движений (1.18) удаляются в бесконечность влево от мнимой оси на комплексной плоскости.
Основной результат метода разделения движений [13, с. 267; 26–
28], который лежит в основе анализа систем с разнотемповыми процессами, формулируется для линейных систем следующим образом:
если подсистема медленных движений (1.14) и подсистема быстрых
движений (1.18) одновременно устойчивы, то существует такое
что при всех
(0, ) состояние равновесия исходной сингулярно
0
0
0
,
возмущенной системы (1.11) также является устойчивым.
Систему (1.10) можно представить в виде системы с большим коэффициентом усиления 1/
, где
k
при 0
. Вопросы
k
анализа систем регулирования, сохраняющих свойство устойчивости
при неограниченном увеличении коэффициента усиления, были
впервые исследованы в работах М.В. Меерова [36–38]. Данные работы, по словам А.А. Воронова [12, с. 9], «предвосхитили идею метода
сингулярных возмущений для декомпозиции сложных многосвязных
систем на более простые “быструю” и “медленную” системы». Разработанная М.В.
Мееровым методика выделения характеристических
полиномов подсистем быстрых и медленных движений, а также сравнение результатов этой методики с представленной выше методикой
разделения движений будут рассмотрены в последующих разделах
учебного пособия.
1.4. АЛГОРИТМЫ ЛОКАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
Вторая после метода разделения движений особенность применяемого в учебном пособии подхода к синтезу систем управления состоит
в использовании алгоритмов управления, структура которых следует
из алгоритмов локальной оптимизации высшего порядка [65, с. 45].
С целью пояснения этого вопроса обратим внимание, что равновесный
режим для уравнения подсистемы быстрых движений (1.18) соответ-
23
ствует решению алгебраического уравнения
A
J
вим данное уравнение в виде
() 0
u , (1.19)
где
()uAyAu
, (1.20)
21 22
0
yAu
21 22
. Предста-
а вектор
y в выражении (1.20) рассматривается в данном случае как
неизвестный постоянный вектор с ограниченной нормой. Полагаем,
что выполнено условие
det 0A
, соответственно уравнение (1.19)
22
имеет единственное решение.
Решение уравнения (1.19) при отсутствии полной информации о
его параметрах, в частности при неизвестной величине вектора
y ,
может быть найдено на основе метода градиентного спуска [58, с. 189–
196, с. 202–211; 65, с. 45]; для этого введем в рассмотрение функционал
m
i
i
1
12
, (1.21)
T
m
где
[ , , ..., ]
uuu u ,
12
11
() ()() ()
uuu u
T2
22
T
() [ (), (), ..., ()]
m
uuu u . Решение
уравнения (1.19) сводится к задаче оптимизации, т. е. к нахождению
минимума функционала (1.21). В соответствии с методом градиентного спуска с целью нахождения минимума функционала (1.21) и тем
самым решения уравнения (1.19) сформируем дифференциальное
уравнение спуска [58, с. 190]
grad ( )
uk Ju
, (1.22)
где непосредственным вычислением из (1.21) получаем
()
u
()
u
J
uu u
11 1
grad ( ) ... ...
Ju
Ju
u
m
1
1
1
() ()
uu
() ()
uu
()
u
1
uu
mm
m
m
()
m
m
24
()
u
()
u
1
uu
11
()
u
1
uu
mm
m
()
u
1
... ( )
() ()
uu
mm
()
u
T
u
u
. (1.23)
В соответствии с выражением (1.23) дифференциальное уравнение
спуска (1.22) принимает вид
T
()()u
uk u
u
. (1.24)
Учитывая (1.20) и принимая 1/k
, из выражения (1.24) получаем
уравнение вида
T
[]uAAyAu
22 21 22
, (1.25)
решение которого при произвольных начальных условиях является
устойчивым для любой невырожденной матрицы
A
и имеет един-
22
ственную точку равновесия, соответствующую решению алгебраического уравнения
0 Ay Au
. Скорость переходного процесса в си-
21 22
стеме (1.25) задается выбором параметра .
С целью декомпозиции переходных процессов по компонентам
вектора u вместо уравнения (1.24) можно использовать алгоритм локальной оптимизации вида [58, с. 206]
1
()()u
uk u
u
,
тогда вместо выражения (1.25) получим
1
[]uAAyAu
22 21 22
.
25
Выражение (1.22) называют алгоритмом оптимизации первого по-
рядка. В задачах оптимизации методом тяжелого шарика применяется
алгоритм оптимизации второго порядка [65, с. 46]
21
grad ( )uuk Ju
. (1.26)
Обобщением алгоритмов оптимизации вида (1.22) и (1.26) является
выражение
q
()
j
j
ukJu
j
1
grad ( )
, (1.27)
которое называется алгоритмом оптимизации высшего порядка [65,
с. 45].
Структуры обсуждаемых в последующих разделах алгоритмов
управления соответствуют структурам алгоритмов локальной оптимизации первого, второго и высшего порядка.
Необходимо отметить близость рассматриваемых далее алгоритмов
управления к структурам алгоритмов управления в работах П.Д. Крутько [29, 30], где задача управления движением механических систем
обсуждалась как
задача минимизации функционала от энергии ускоре-
ния.
26
2. ОДНОКАНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ДЛЯ ОБЪЕКТОВ
УПРАВЛЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Раздел посвящен сравнению стабилизирующих и следящих ПИ-регуляторов, проектируемых на основе метода разделения движений для
объектов с математической моделью в виде линейного дифференциального уравнения первого порядка. Показано, что предлагаемая методика синтеза стабилизирующих регуляторов позволяет обеспечить
формирование заданных показателей качества переходных процессов
на выходе объекта в режиме ступенчатого
действия, а методика синтеза следящих ПИ-регуляторов позволяет
обеспечить как угодно точное отслеживание гладкого задающего воздействия. Показано, что как в первом, так и во втором случае обеспечивается грубость свойств системы управления в условиях неполной
информации о параметрах объекта управления и внешних возмущающих воздействиях путем формирования
системе управления.
изменения задающего воз-
разнотемповых процессов в
2.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ
Рассмотрим модель объекта управления, заданную скалярным
дифференциальным уравнением первого порядка вида
где y – выход; u – вход;
полагается, что параметры
00
d – возмущение, yR
a и 0b являются постоянными, но неиз-
0
(),yaybud
(2.1)
, uR, dR. Пред-
вестными и удовлетворяют условиям
aa ,
00max
0 bbb.
0min 0 0max
27
В задаче стабилизации выхода объекта вида (2.1) цель управления
состоит в том, что необходимо в установившемся режиме при постоянных значениях возмущения и параметров объекта обеспечить следующее свойство:
r – задающий вход, который рассматривается как кусочно-
где
lim ( )tyt r
, (2.2)
постоянная функция. При этом показатели качества переходного процесса ()
yt r при ступенчатом изменении задающего воздействия r
должны удовлетворять заданным требованиям на время переходного
процесса и перерегулирование.
Выражение (2.2) можно представить в виде
– ошибка регулирования, () () ()et rt yt
где
e
lim ( ) 0
tet
, (2.3)
.
При рассмотрении задачи слежения полагаем, что на объект действуют недоступные для измерения переменные во времени возмущения ()
dt , а также имеет место произвольное непрерывное изменение
величины задающего воздействия ()
rt . Тогда условие (2.3) в задаче
слежения заменяется на требование обеспечить свойство
lim ( )tet
, (2.4)
где – произвольная малая положительная величина, а величина e
рассматривается как ошибка слежения.
2.2. СИНТЕЗ СИСТЕМ СТАБИЛИЗАЦИИ
Рассмотрим модель объекта управления (2.1) с регулятором вида
(1) 1 (1)
где
– малый положительный параметр. Заметим, если приравнять
[] ,ukTryy
0
(2.5)
правую часть (2.5) нулю, то получим эталонное уравнение для желае-
мого поведения выхода
Ty y r
.
28
Обозначим ery. Выполняя преобразование Лапласа для (2.5)
I
s
при нулевых начальных условиях, получим
I
k
us es k ys
i
() () ()
s
p
, (2.6)
i
где
kk
p
kk
ii
I
00
,.
(2.7)
T
Выражение (2.6) соответствует структуре ПИ-регулятора, особен-
ность которого в том, что параметры ,
p
kk связаны соотношениями
ii
(2.7). Соответствующая структурная схема для системы (2.1) с регулятором вида (2.5) показана на рис. 2.1, где передаточная функция
()Gs для модели объекта управления (2.1) имеет вид
ОУ
b
()
Gs
ОУ
k
1
0
Ts
0
. (2.8)
a
0
()Gs
ОУ
k
0
Рис. 2.1. Схема для системы (2.1) и стабилизирую-
щего регулятора (2.6)
С целью анализа процессов в системе с моделью объекта управления (2.1) и регулятором (2.5) рассмотрим уравнения замкнутой системы управления
(1)
yaybud
(1) 1 (1)
ukTryy
00
0
(),
[] .
29
(2.9)
Заменяя y во втором уравнении системы (2.9) на правую часть перво-
го уравнения данной системы, получим
dy
ay b u d
dt
du
dt
00
kbu k T r y ay bd
00 0 0 0
(),
1
[] .
(2.10)
Полученные уравнения (2.10) относятся к классу линейных сингулярно-возмущенных систем дифференциальных уравнений [13, с. 266],
где при уменьшении параметра
в решениях данной системы форми-
руются быстрые и медленные процессы. Анализ свойств таких систем
может быть выполнен на основе метода разделения движений [18,
26–28, 57], применяя который можно выделить уравнения подсистем
быстрых и медленных движений с целью их последующего анализа.
Рассмотрим для данного случая процедуру выделения уравнений
подсистемы быстрых движений (ПБД) и подсистемы
жений (ПМД). Введем в рассмотрение быстрое время
зано с исходной шкалой времени t следующим соотношением:
медленных дви-
t
, которое свя-
0
tt
0
.
Тогда уравнения (2.10) можно записать для быстрого масштаба времени в следующем виде:
dy
dt
du
dt
[ ( )],
ay b u d
0
0
00
1
kbu k T r y ay bd
00 0 0 0
[] .
(2.11)
Полагаем, что 0 , тогда из системы уравнений (2.11) следует
dy
0,
dt
0
du
kbu k T r y ay bd
dt
00 0 0 0
0
1
[] .
30
(2.12)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]