Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Многоканальные системы управления. Синтез линейных систем с разнотемповыми процессами. Учебное пособие
.pdf
В то же время значение параметра
d
можно вычислить исходя из
1
дополнительного требования на величину запаса устойчивости по модулю L для ПБД (3.58) путем решения системы уравнений
kbL d d
00 1 1
22 2
LL L L
,0 0,5 arctg( / )
,
где 1L . Запас устойчивости по модулю L есть значение дополни-
тельного коэффициента в контуре управления, при котором ПБД находится на колебательной границе устойчивости.
Расчет верхней границы для параметра
осуществляется исходя
из требования на степень разделения темпов переходных процессов
между ПБД и ПМД:
ПБД ПМД
/tt, где
ПМД
4tT
, 0T , 10 .
Замечание 3.11. Аналогично выражению (2.60) можно использо-
вать алгоритм управления вида
2(2) (1)
() () [ () ( )]
utdutbkutut
100
21(1)(2)
kT rt yt aTy t y t
[() ()] () () ,
01
d
применение которого позволяет скомпенсировать влияние запаздывания на процессы в ПБД [72, 74, 75].
Замечание 3.12. Анализ влияния запаздывания на свойства следящей системы управления для модели объекта управления вида (3.54)
с регулятором (3.36) осуществляется аналогично представленной выше
методике, где характеристический полином ПБД также имеет
вид (3.57).
3.7. ПРИМЕР
На рис. 3.4 приведены результаты моделирования для объекта
управления вида
(2) (1)
с алгоритмом управления (3.4) при ступенчатом изменении задающего
1/3k
воздействия, где
0
, 0, 5T
с и 0,05
с.
71
1
0
1
-1
0 2 4 6 8 10
t, c.
()ut
5
u(t)
()dt
d(t)
, сt
0
5
-5
0 2 4 6 8 10
, сt
t, c.
Рис. 3.4. Результаты моделирования системы (3.4), (3.62)
1
()yt
y(t)
()rt
r(t)
0
1
-1
0 2 4 6 8 10
5
()yt
y(t)
()rt
r(t)
()ut
u(t)
()dt
d(t)
, сt
t, c.
0
5
-5
0 2 4 6 8 10
t, c.
, сt
Рис. 3.5. Результаты моделирования системы (3.4), (3.62)
72
2
0
2
-2
0 2 4 6 8 10
5
0
5
-5
0 2 4 6 8 10
y(t)
()rt
r(t)
()ut
u(t)
()dt
d(t)
()yt
, сt
t, c.
t, c.
, сt
Рис. 3.6. Результаты моделирования системы (3.36), (3.62)
На рис. 3.5 приведены результаты моделирования для объекта
управления (3.62) с алгоритмом управления (3.4) при гармоническом
изменении задающего воздействия. На рис. 3.6 приведены результаты
моделирования для объекта управления (3.62) с алгоритмом управления (3.36) при гармоническом изменении задающего воздействия. Моделирование во всех трех случаях выполнено при одинаковых численных значениях параметров регуляторов (3.4) и (3.36). Сравнение
результатов моделирования
на рис. 3.5 и 3.6 показывает, что структура
следящего регулятора обеспечивает существенно меньшую величину
ошибки слежения при одинаковых количественных значениях параметров регуляторов.
73
x
x
f
f
x
f
4. ОДНОКАНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
ДЛЯ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ ОБЩЕГО ВИДА
Результаты разделов 2 и 3 обобщаются на случай объектов с математической моделью в виде системы линейных дифференциальных
уравнений общего вида со скалярным входом и выходом. Представлена унифицированная методика расчета параметров стабилизирующих
и следящих регуляторов, которая в частных случаях приводит к структурам рассмотренных выше ПИ- и ПИД-регуляторов. В основе
сматриваемого подхода к расчету систем управления лежит применение метода разделения движений.
4.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ
Рассмотрим модель объекта управления, которая представлена в
следующем виде:
Ax Bu f y cx
,,
(4.1)
рас-
где
[, , ]
xx – вектор состояния системы (4.1); y – выходная
1
T
n
скалярная регулируемая переменная, которая доступна для измерения;
u – управляющее скалярное воздействие (вход);
ченных по величине гладких внешних возмущений;
Полагаем, что векторы
и f являются недоступными для измерения.
– вектор ограни-
[, , ]
ff .
1
T
n
В задаче стабилизации выхода y цель управления состоит в том,
что необходимо в установившемся режиме при постоянных значениях
вектора возмущений
и постоянных параметрах объекта вида (4.1)
обеспечить следующее свойство:
lim ( )
t
yt r
74
, (4.2)
где r – задающий вход, который рассматривается как кусочно-
f
постоянная функция. При этом показатели качества переходного процесса ()yt r при ступенчатом изменении задающего воздействия r
должны удовлетворять заданным требованиям на время переходного
процесса и перерегулирование.
При рассмотрении задачи слежения полагаем, что на объект действуют недоступные для измерения переменные во времени
ния ()
ющего воздействия ()rt , где
t , а также имеет место произвольное гладкое изменение зада-
()
i
r
0, 1, 2, ...i Цель
const
возмуще-
управления в задаче слежения формулируется как требование обеспечить свойство
lim ( )tet
где e – ошибка регулирования, () () ()et rt yt
, (4.3)
; – произвольная ма-
лая положительная величина.
4.2. ОБРАТИМОСТЬ И ВНУТРЕННЯЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
Методику синтеза регулятора для системы вида (4.1) рассмотрим в
предположении, что система (4.1) удовлетворяет условиям обратимости [87, 97, 101–103] и внутренней устойчивости [71, 74]. Выполнение
данных условий гарантирует существование ограниченного по величине управляющего воздействия, обеспечивающего решение поставленной задачи управления выходом ()yt .
Процедура проверки свойства обратимости системы (4.1) со скалярным входом и скалярным выходом состоит в
последовательном
дифференцировании выхода вплоть до того момента, пока не будет
получено выражение, которое явно включает в себя вход (управление).
Например, из уравнения ycx
получаем ycAxcBucf
. Если
0cB , то вычислим вторую производную выходной переменной
2
y cA x cABu cAf cf
. Если 0cAB, то найдем выражение для
следующей производной. Пусть в выражении для производной порядка
впервые появился ненулевой коэффициент при управляющем
воздействии
.
u
75
Предположение 4.1. Полагаем, что система (4.1) удовлетворяет до-
статочному условию обратимости [97], где
есть индекс обратимости
(или относительный порядок выхода ()yt системы (4.1), порядок отно-
сительной старшей производной выхода ()yt ).
Из предположения 4.1 следует, что
j
cA B j
00,,2
и
1
0cA B
.
С целью проверки свойства внутренней устойчивости системы (4.1)
можно воспользоваться преобразованием данной системы к канонической форме [71, 74]. Для этого в условиях предположения 4.1 дифференцируем по времени 1
раз выходную переменную ()yt . Получим
,
ycx
(1)
ycAxcf
(2) (1)
ycAxcAfcf
,
2
,
(4.4)
(1)
ycAxcAf
2
12()
0
j
jj
.
Обозначим:
, , , , yyy y yy y y
(4.5)
12 3
(1) ( 2) ( 1)
и представим систему уравнений (4.4) в виде
,
ycx
1
ycfcAx
2
y cAf cf cA x
3
,
(1)
2
,
(4.6)
2
ycAfcAx
j
2() 1
jj
0
.
76
Система (4.6) содержит уравнений, которые дополним множеством
x
линейных уравнений
zQx
где z есть вектор внутренних переменных,
Q выбирается таким образом, чтобы обеспечить свойство
z
, (4.7)
z
m
zR
, mn
. Матрица
c
det 0Q
Q
QQ
, где
Y
Q
z
,
cA
.
1
Y
cA
Система уравнений (4.6), (4.7) позволяет исключить вектор состоя-
в системе (4.1) и преобразовать ее к канонической форме сле-
ния
дующего вида:
где
[ , , , ] .Yyy y
12
(1)
yy i
ii
1
(1) * * *
yaYazbuf
12
(1)
zAYAzBuf
12
T
1, ..., 1,
y
(4.8)
,
z
,
Заметим, что уравнение
(1) * * *
yaYazbuf
(4.9)
12
y
в системе (4.8) является выражением для -й производной выхода y .
Уравнение (4.9) соответствует выражению
1
()
y cA x cA Bu cA f
для исходной системы (4.1), где справедливо условие
11()
0
j
jj
*1
bcAB
.
77
С целью упрощения анализа свойства внутренней устойчивости си-
f
f
B
B
стемы (4.8) в режиме формирования заданных движений на ее выходе
полагаем () 0
tt и () 0yt t . Тогда () 0Yt и () 0Yt t. В ре-
зультате из системы (4.8) получаем систему пониженного порядка
**
0,
az bu
2
(1)
zAzBu
2
(4.10)
.
Исключая управляющее воздействие
в системе (4.10), получаем
u
уравнение внутренней подсистемы
(1)
22
*1*
()zABbaz
, (4.11)
характеристический полином которого имеет вид
*1*
() det ( )
As sI ABba
внутр 22 2
n
.
Замечание 4.1. В условиях предположения 4.1 свойство внутренней
устойчивости системы (4.1) имеет место тогда и только тогда, когда
*1*
все собственные числа матрицы
22
()ABb a
имеют строго отрица-
тельную вещественную часть [71].
Замечание 4.2. Уравнение (4.11) также называют уравнением вы-
рожденных движений [74] или уравнением нулевой динамики [88, 89].
Замечание 4.3. Уравнение внутренней подсистемы (4.11) также
включает в себя неуправляемую или ненаблюдаемую подсистему, если
они присутствуют в системе (4.1).
Полагаем, что система (4.1) является полностью управляемой и
наблюдаемой, а возмущение
тождественно равно нулю. Из уравне-
ний (4.1) следует, что
()
1
() ( )
GscsIAB
, (4.12)
ОУ
n
s
()
As
где
()
sbs bs bsbsb
mm
,
mm
12
1210
78
As s a s as as a
p
B
f
nm
nm
,
nn
()
12
1210
n
,
*1
bbcAB
.
m
,
В соответствии с (4.12) взаимосвязь входа и выхода объекта управ-
ления можно представить в операторном виде:
()() ()()Apyt Bput
где
есть оператор дифференцирования, т. е. /pddt. Если в за-
, (4.13)
мкнутой системе управления обеспечить выполнение условия
() ()yt rt t, то поведение управляющего воздействия ()ut в систе-
ме (4.13) должно удовлетворять дифференциальному уравнению, которое в операторной форме имеет вид
()() ()
() ( 1) (2) (1)
где
() () () () () ()
rn
nn
tr tar tartartart
. Реализация
1210
put f t
,
r
такого управляющего воздействия возможна только в случае устойчивых нулей передаточной функции (4.12). Наличие неустойчивого нуля
приводит к неограниченному росту управляющего воздействия ()ut в
замкнутой системе управления.
Замечание 4.4. Из свойства внутренней устойчивости системы (4.1)
следует, что все нули ее передаточной функции (4.12) лежат в левой
части комплексной плоскости.
Замечание 4.5. Свойство
неминимально-фазовости передаточной
функции (4.12) возникает, когда имеется хотя бы один нуль, или полюс
в правой части комплексной плоскости [7, с. 82]. Свойство внутренней
устойчивости полностью управляемой и наблюдаемой системы (4.1)
связано только с расположением нулей ее передаточной функции (4.12). Поэтому свойство внутренней устойчивости системы (4.1)
не совпадает с понятием минимально-фазовости передаточной функции этой
системы.
Предположение 4.2. При рассмотрении предлагаемой ниже методики синтеза систем управления везде предполагается, что условие
внутренней устойчивости, выраженное в замечании 4.1, выполнено для
системы (4.1).
79
4.3. СИНТЕЗ СИСТЕМ СТАБИЛИЗАЦИИ ВЫХОДА
4.3.1. СТРУКТУРА АЛГОРИТМА УПРАВЛЕНИЯ
Сформируем эталонное уравнение (ЭУ) для желаемого поведения
выхода в виде дифференциального уравнения
() ( 1) (2) (1)
ddd
121
yaTy aTyaTyTyTr
, (4.14)
121
где характеристический полином уравнения (4.14) имеет вид
11 1
dd
()
AssaTs aTsT
.
ЭУ 11
Например, если
d
a задать как коэффициенты бинома Ньютона, то
j
1
() ( )As sT
.
ЭУ
Рассмотрим регулятор, уравнения которого представлены в следующем виде [73, 74]:
uku
q . Рассмотренные выше регуляторы вида (2.5) и (3.4) есть
где
,
0
() 1 ( 1) (1)
qq q q
ud u du
1
ry y y y
[] ,
TT
11
q
d
a
1
1
d
a
(1) ( 1) ( )
1
T
(4.15)
частные случаи для выражения (4.15). Заметим, что если приравнять
правую часть (4.15) нулю, то получим эталонное уравнение для жела-
емого поведения выхода
Ty a T y aTy y r
1
dd
11
.
() ( 1) (1)
Замечание 4.6. Уравнения (4.15) соответствуют структуре регуля-
тора в виде последовательного соединения динамической части и про-
порционального звена с коэффициента усиления
k . Пропорциональ-
0
ное звено выделено с целью последующей унификации методики
синтеза регуляторов для многоканальных систем управления.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]