Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Многоканальные системы управления. Синтез линейных систем с разнотемповыми процессами. Учебное пособие
.pdf
т. е. в матричной форме
x
xz
x
y
Строка
Q
z
[2 1]
требования det 0Q
Ax Bu f ycx, где
,
Q
2
, где
1
Q
Q
Q
выбирается произвольным образом, но с учетом
. Представим (4.65) в матричной форме:
A
23
12
,
3
B
,
4
11
Y
z
[1 1]c
21
. (4.67)
.
Используя преобразование (4.67), получим систему
yy
zz
1
QAQ QBu Qf
,
которая соответствует канонической форме (4.8) и имеет следующий
вид:
yyzuf f
322.
zyzuff
,
12
12
(4.68)
С целью выделения уравнений внутренней подсистемы и проверки ее
устойчивости полагаем в системе (4.68) выполнение дополнительных
условий
12
0yyf f
. Тогда, исключив управляющее воздействие
u , получим уравнение внутренней подсистемы
zz
,
решения которого являются устойчивыми.
Из представленного анализа следует, что система (4.65) удовлетворяет условию обратимости и свойству внутренней устойчивости. Таким образом, для системы (4.65) можно использовать рассматриваемый метод синтеза.
101
Так как 1 , то для решения задачи стабилизации выхода y мож-
f2f
но использовать алгоритм управления (4.15), а при синтезе следящей
системы, например, алгоритм управления (4.29). Пусть 1q
, тогда
из (4.15) получаем (2.5). На рис. 4.1 приведены результаты моделирования для объекта управления (4.65) с алгоритмом управления (2.5)
при
0
*
1/ 1kb,
с и 0, 05
0,5T
с. Из результатов моделирования
на рис. 4.1 видно, что реакция выхода на ступенчатое задающее воздействие определяется свойствами ПМД.
y(t)
()rt
r(t)
()yt
1
0.5
0
0 2 4 6 8 10
t, c.
()ut
10
0
1
0
-10
0 2 4 6 8 10
u(t)
f1
1
f2
, сt
t, c.
, сt
Рис. 4.1. Результаты моделирования системы (2.5), (4.65)
На рис. 4.2 приведены результаты моделирования для объекта
управления (4.65) с алгоритмом управления (2.5) при гармоническом
изменении задающего воздействия, где ошибка слежения имеет значительную величину. Ошибка слежения может быть уменьшена в данном
случае только путем уменьшения параметра T .
С целью синтеза следящей системы управления рассмотрим алгоритм управления (4.29). При 1q
из (4.29) получаем (2.33). На
рис. 4.3 приведены результаты моделирования для модели объекта
управления (4.65) с алгоритмом управления (2.33), где вид реакции на
ступенчатое задающее воздействие определяется свойствами ПБД. На
рис. 4.4 приведены результаты моделирования для объекта управления (4.65) с алгоритмом управления (2.33) при гармоническом задаю-
102
щем воздействии, где ошибку слежения можно уменьшать путем
уменьшения параметра
1
.
0
1
-1
0 2 4 6 8 10
10
5
0
5
-5
0 2 4 6 8 10
()yt
y(t)
()rt
r(t)
u(t)
()ut
f1(t)
1
f2(t)
2
t, c.
, сt
()ft
()ft
t, c.
, сt
Рис. 4.2. Результаты моделирования системы (2.5), (4.65)
2
1
0
1
-1
0 2 4 6 8 10
, сt
t, c.
20
()ut
u(t)
()ft
f1(t)
1
()ft
f2(t)
2
0
y(t)
()rt
r(t)
()yt
2
0
-20
0 2 4 6 8 10
t, c.
, сt
Рис.4.3. Результаты моделирования системы (2.33), (4.65)
103
2
0
2
-2
0 2 4 6 8 10
, сt
()ut
5
0
5
-5
0 2 4 6 8 10
u(t)
f1(t)
1
f2(t)
2
()ft
()ft
t, c.
, сt
t, c.
()yt
y(t)
r(t)
()rt
Рис.4.4. Результаты моделирования системы (2.33), (4.65)
Моделирование во всех случаях в данном разделе выполнено при
одинаковых численных значениях параметров регуляторов (2.5) и
(2.33). Сравнение результатов моделирования на рис. 4.2 и 4.4 показывает, что структура следящего регулятора обеспечивает существенно
меньшую ошибку слежения при одинаковых количественных значениях параметров регуляторов.
104
x
x
p
f
f
p
f
5. МНОГОКАНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
С ПИ-РЕГУЛЯТОРОМ
Результаты предыдущих разделов обобщаются на случай объектов
с математической моделью в виде системы линейных дифференциальных уравнений с векторным входом и векторным выходом. Представлена методика расчета параметров стабилизирующих и следящих ПИрегуляторов. В основе рассматриваемого подхода к расчету систем
управления лежит применение метода разделения движений.
5.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ
Рассмотрим линейный динамический объект управления с математической моделью вида
Ax Bu f
yCxw
где
[, , ]
xx – недоступный для измерения вектор состояния
1
объекта управления;
ступен для измерения;
менных; ,
w – векторы гладких возмущающих воздействий, которые
недоступны для измерения,
T
n
[, , ]
yy y – вектор выхода, который до-
1
[, , ]
uu u – вектор управляющих пере-
1
[, , ]
ff
1
Обсуждаются две постановки задачи управления. Первая – задача
стабилизации выхода и автономизации каналов управления, где требуется в установившемся режиме при постоянных значениях векторов
возмущений ,
w и постоянных параметрах объекта вида (5.1) обес-
печить в замкнутой системе свойство
,
(5.1)
,
T
T
p
T
,
[, , ]
ww w .
n
1
T
lim ( )
yt r
t
105
. (5.2)
Здесь
p
f
p
[, , ]
rr r – вектор задающих воздействий (уставок) на
1
T
входе системы управления, где компоненты вектора r являются кусочно-постоянными функциями времени t . Автономность каналов
управления соответствует требованию исключить взаимное влияние
переходных процессов в различных каналах управления и обеспечить
заданные показатели качества переходных процессов ()
yt r в каж-
ii
дом i-м канале управления (время переходных процессов, перерегулирование) независимо от показателей качества переходных процессов в
других каналах управления.
Вторая обсуждаемая постановка задачи управления – это задача
синтеза следящей системы управления, где требуется обеспечить в замкнутой системе свойство
lim ( )tet
, (5.3)
где – произвольная малая положительная величина. Здесь
[, , ]
ee e – вектор ошибок реализации задающего воздействия
1
T
p
()rt , где () () ()et rt yt. Во второй постановке задачи управления
предполагается, что компоненты вектора ()rt являются гладкими (т. е.
непрерывно-дифференцируемыми) функциями времени t и на объект
действуют недоступные для измерения переменные во времени гладкие возмущения ()
t , ( )wt .
5.2. СИНТЕЗ СИСТЕМ СТАБИЛИЗАЦИИ
5.2.1. СТРУКТУРА МНОГОКАНАЛЬНОГО ПИ-РЕГУЛЯТОРА
Выбор структуры алгоритма управления на основе обсуждаемого
метода синтеза зависит от структурных свойств модели объекта управления (5.1). В настоящем разделе рассматривается частный случай, когда обсуждаемая методика синтеза приводит к расчету многоканального регулятора, который состоит из согласующей матрицы и
одноканальных ПИ-регуляторов.
Из уравнений (5.1) следует
.yCAxCBuCf w
106
Предположение 5.1. Полагаем, что det 0CB, т. е. индекс обра-
p
p
тимости для каждой компоненты вектора выхода равен единице [97,
101, 102].
Сформируем эталонное уравнение для желаемого поведения вектора выхода в виде векторного дифференциального уравнения
1
[]yT yr
, (5.4)
где
diag{ , , }
TTT , 0
1
T 1, , ip
i
. Характеристический по-
лином эталонного (желаемого) уравнения (5.4) имеет вид
p
()
As sT
.
ЭУ
i
1
1
i
Рассмотрим структуру алгоритма управления для решения задачи
стабилизации выхода системы (5.1) в виде системы уравнений
(1) 1 (1)
uTryy
uKu
,
0
[] ,
(5.5)
где
uu u
, ,
1
Из диагонального вида матриц
регулятор (5.5) состоит из согласующей матрицы
ных регуляторов
T
, 1diag{ , , }
p
,
0
i
1, , ip
.
и T следует, что многоканальный
K и p одноканаль-
0
P , P , ..., Pp, как показано на рис. 5.1. Уравнения од-
12
ноканальных регуляторов имеют вид
(1) (1)
uTryy
ii i i i i
1
[],
1, , ip
,
каждый из которых, выполняя преобразование Лапласа при нулевых
начальных условиях, можно записать в форме
() () () ()
us rs ys ys
iiii
11 1
Ts
ii i
,
что соответствует структуре ПИ-регулятора (2.5).
107
Рис. 5.1. Структура многоканальной системы стабилизации выхода
объекта управления (ОУ)
5.2.2. АНАЛИЗ СВОЙСТВ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ
С целью анализа свойств замкнутой системы управления введем
следующее преобразование координат [71, 74] для системы (5.1):
Q
1
Q
2
1
где матрица
yw
z
Q выбирается таким образом, что det 0Q.
2
,,,
Qx Q Q C
В новой системе координат уравнения (5.1) принимают вид
где
yAyAzBuf
zAyAzBuf
np
zR
и
AA B
11 12 1
AA B
21 22 2
QAQ QB B CB f Cf w
11 12 1
21 22 2
1(1)
,,,
,
y
(5.6)
,
z
1
y
.
Уравнения модели объекта управления (5.6) с регулятором (5.5)
принимают следующий вид:
(1)
yAyAzBKuf
11 12 1 0
(1)
zAyAzBKuf
21 22 2 0
(1) 1 (1)
uTryy
[] .
108
,
y
(5.7)
,
z
Заменяя y в последнем уравнении на правую часть первого урав-
B
нения системы (5.7), получаем
(1)
yAyAzBKuf
11 12 1 0
(1)
zAyAzBKuf
21 22 2 0
(1)
uBKuryzf
10 1
y
(, , , ),
y
,
,
(5.8)
z
где
1
(, , , ) [ ]
ryzf T r y Ay Az f
.
11112
yy
Уравнения замкнутой системы (5.8) относятся к классу сингулярно-возмущенных систем дифференциальных уравнений, если
i
0
для всех 1, , ip . Тогда, применяя методику разделения движений,
из системы (5.8) получим уравнение ПБД
(, , , )
где
гументами , , ,
ryzf рассматривается как функция с замороженными ар-
1
y
ryzf на интервале времени переходных процессов
uBKuryzf
y
10 1
(, , , ),
y
(5.9)
(1)
в (5.9).
Устойчивость процессов в ПБД (5.9) обеспечивается выбором параметров матрицы
ходимо и достаточно, чтобы все собственные числа матрицы
K . Для устойчивости процессов в ПБД (5.9) необ-
0
K
10
имели строго положительную вещественную часть. Характеристический полином ПБД имеет вид
() det( )As sBK
ПБД 10
.
Если принять
KB
1
,
01
то характеристический полином ПБД примет вид
p
() ( 1)
As s
ПБД
i
109
.
1
i
0
s
В условиях предположения устойчивости ПБД (5.9), где
i
для всех 1, , ip рассмотрим квазиравновесный режим ПБД, для
которого получаем управляющее воздействие
lim ( ) ( ) [ ]
uuBKTryAyAzf
0
s
Для квазиравновесного режима ПБД (5.9) из системы np
11
1 0 11 12
. (5.10)
y
дифферен-
циальных уравнений (5.8) следует система n дифференциальных
уравнений (вырожденная система) вида
yAyAzBKuf
0 ( , , , ),
из которой, исключая
(1) 1
yTry
(1) 1
zABBAzryzff
(1)
11 12 1 0
(1)
zAyAzBKuf
21 22 2 0
s
BK u r y z f
10 1
u, получаем уравнения ПМД:
[],
22 2 1 12 2
s
( , , , , ),
,
y
s
y
(5.11)
,
z
yz
(5.12)
где
11
( , , , , ) [ ] .
ryzf f Ay BB T r y Ay Az f f
221211112
yz y z
Характеристический полином ПМД (5.12) есть произведение двух полиномов
() () ()AsAsAs,
ПМД ЭУ внутр
где
1
() det
As sI ABBA
внутр 22 2 1 12
.
np
Таким образом, в ПМД (5.12) процессы по выходной переменной
()yt соответствуют устойчивому эталонному уравнению (5.4), в силу
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]