Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Многоканальные системы управления. Синтез линейных систем с разнотемповыми процессами. Учебное пособие
.pdf
Из системы (1.1), выполняя преобразование Лапласа при нулевых
начальных условиях, получим выражение
11
() ( ) () ( ) () ()
ys CsI A Bus CsI A f s ws
nn
. (1.4)
где связь между вектором управляющих воздействий и вектором выходных переменных представлена матричной передаточной функцией
1
() ( )
Gs CsI A B
, (1.5)
n
элементами которой являются обычные передаточные функции в виде
отношения двух полиномов.
Если размерности векторов входа и выхода равны, т. е. mp
, то
матричная передаточная функция (1.5) имеет квадратный вид. Чтобы
иметь возможность независимого (автономного) управления каждой
компонентой вектора выхода, необходимо (но недостаточно) выполнение условия mp . В ряде случаев наличие дополнительных mp
управляющих воздействий позволяет решать вспомогательные задачи
при управлении многоканальными системами. Например, задачу стабилизации неустойчивых внутренних процессов в режиме формирования заданных движений на выходе объекта управления [74], задачу
рационального распределения ресурса управления между управляющими воздействиями для гарантированного достижения поставленной
цели управления, задачу резервирования в случае отказа исполнительных механизмов [32].
В рамках данного учебного пособия рассмотрение вопросов синтеза многоканальных систем управления ограничено
случаем, когда выполнено условие mp
.
Обобщенная схема системы управления с множеством управляющих воздействий (рис. 1.1) называется многоканальной системой
управления или многомерной системой управления. В схеме на
рис. 1.1 предполагается, что для формирования каждой компоненты
вектора управления может быть использована информация о поведении всего вектора выхода объекта управления (ОУ). Поэтому регулятор (Р) на рис. 1.1 называют
связным [39, 42, 51] или централизован-
ным регулятором [105].
11
Рис. 1.1. Многоканальная система с централи-
зованным регулятором
Рис. 1.2. Многоканальная система с децентрализованным
регулятором
В схеме на рис. 1.2 предполагается, что для формирования каждой
компоненты вектора управления используется информация о поведении только одной компоненты вектора выхода. Поэтому регулятор на
рис. 1.2 называют несвязным [39, 42, 51] или децентрализованным регулятором [105]. Требование синтеза децентрализованного регулятора
накладывает дополнительные ограничения на свойства объекта управления, выполнение которых необходимо для существования решения
поставленной
задачи управления. В ряде задач, в силу технических
условий и заданных ограничений, может быть заранее предписано, какая компонента вектора управления используется для управления соответствующей компонентой вектора выхода. Если такое соответствие
не было задано техническими условиями, то при построении децентрализованного регулятора требуется для каждой компоненты вектора
выхода выбрать
наиболее подходящую для управления компоненту
вектора управляющего воздействия.
12
1.2. МЕТОДЫ СИНТЕЗА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
g
g
С целью упрощения процедуры синтеза многоканальных систем
управления можно вводить дополнительные перекрестные связи в регулятор для компенсации внутренних взаимосвязей в объекте управления [42, 51, 54]. В качестве примера рассмотрим двухканальную систему на рис.1.3 без возмущающих воздействий, где двумерный объект
управления задан матричной передаточной функцией ()Gs, а в канал
управления последовательно включен динамический компенсатор
()Ks, т. е.
() () () () () () () ()
ys g s g s us us k s k s us
1 11121 1 11121
ys g s g s us us k s k s us
() () () () () () () ()
221222221222
,
.
Рис. 1.3. Двухканальная система с динамическим компенсатором
Если выбрать передаточную функцию компенсатора ()Ks таким
образом, что произведение () ()GsKs будет диагональной матрицей, то
синтез многоканального регулятора распадется на независимый синтез
отдельных регуляторов для каждого канала управления. Например,
принимая
Из условий
ет, что компенсирующие звенья
() () 1ks k s, получим
11 22
() () () () () ()
sgsks gsksgs
() ()
GsKs
11 12 12
11 12 21 11 12 12
() () () () () ()
s g sk s g sk s g s
21 22 21 21 12 22
() () () 0gsks gs ,
() () () 0gs gsks следу-
21 22 21
() ()/ ()ks gsgs
12 12 11
,
.
()ks
21
13
()/ ()gsgs обеспечивают развязывание (автономизацию) кана-
g
21 22
лов управления, так как
() () ()/ () 0
gs gsgsgs
() ()
GsKs
11 12 21 22
0()()()/()
sgsgsgs
22 21 12 11
,
что позволяет выполнить расчет регулятора для каждого канала независимым образом. Несмотря на очевидность такого способа компенсации перекрестных связей в объекте управления, его применение на
практике весьма ограничено, так как возможно появление нереализуемых корректирующих звеньев с порядком числителя, большим чем
порядок знаменателя, возможно сокращение неустойчивых
нулей и
полюсов в передаточных функциях, что ведет к возникновению неустойчивых неуправляемых и ненаблюдаемых процессов в системе
управления. Кроме того, требуется точная информация о параметрах
матричной передаточной функции ()Gs, так как погрешности в исход-
ных данных приводят к потере свойства автономности каналов управления в системе с компенсатором.
Существует
множество методов, направленных на решение проблемы формирования желаемых показателей качества переходных
процессов, обеспечения инвариантности процессов в системе к возмущениям и автономности каналов управления в многомерных системах
на основе применения идей компенсации. Например, можно использовать частотные методы [10, 42, 51], полиномиальные методы [11, 16,
17, 50, 86], -оптимизациюH
[3], круговые частотные неравенст-
ва [67], линейно-квадратичную оптимизацию [61].
В задачах синтеза многомерных систем широко применяются методы, в основе которых лежит представление модели объекта управления
в виде уравнений в пространстве состояний вида (1.1) [4, 39, 87, 95,
100], что позволяет использовать алгебраические методы для компенсации перекрестных связей и синтеза регуляторов для многомерных
систем [35]. Множество работ посвящено
изучению возможностей
применения модального метода синтеза для проектирования многомерных систем управления [1, 4, 5, 21, 22, 31, 33, 39, 84, 86].
Многообразие методов синтеза многоканальных систем управления
и имеющихся публикаций, посвященных данным вопросам, обусловлено как различиями в постановках решаемых задач управления, так и
объемом доступной информации о параметрах объекта управления и
14
действующих возмущениях. Например, в модальном методе синтеза [1,
x
x
p
4, 20, 31, 39, 86, 95] для обеспечения устойчивости многомерных систем вида (1.1) в случае измеряемого вектора состояния
можно ис-
пользовать алгоритм управления
uKx
. (1.6)
В задаче регулирования выходной переменной y при измеряемом векторе состояния
возможно применение алгоритма управления с инте-
граторами в каналах обратной связи [4, 39, 43]:
uKxKu
ury
p
12
.
,
(1.7)
Соответствующая структурная схема системы (1.1) с алгоритмом
управления (1.7) показана на рис. 1.4.
Рис. 1.4. Структурная схема системы (1.1) с алгоритмом
управления (1.7)
При недоступном для измерения векторе состояния x в систему
регулирования можно ввести наблюдатель состояния [4, 31, 39, 43], как
это показано на рис. 1.5, или рассмотреть возможность применения
динамического регулятора [100], например, вида
uKu Kry
12
uAuBry
pppp
(),
p
().
15
Рис. 1.5. Структурная схема системы (1.1) с алгоритмом
управления (1.7), где используется фильтр оценки вектора
состояния
Возможность применения различных структур регуляторов и достижимость поставленной цели управления существенным образом
зависят от собственных свойств объекта управления, что приводит к
необходимости исследовать условия, при которых поставленная задача
управления может иметь решение. Например, для формирования произвольного размещения корней характеристического полинома системы (1.1) с алгоритмом управления (1.6) необходимо и достаточно вы
-
полнения условия управляемости системы (1.1) [4, 31]. В то же время
для решения задачи формирования предписанной гладкой траектории
движения для выхода y в системе (1.1) требуется обратимость модели
объекта [83, 97, 101–103], а при ограниченном ресурсе управления дополнительно требуется выполнение условий внутренней устойчивости
системы (1.1) [71, 74].
Подавление влияния перекрестных связей в многомерных системах
может быть достигнуто также на
основе применения больших коэффициентов усиления в законе обратной связи [29, 30, 36–38, 109], что приводит к рассмотрению систем с разнотемповыми процессами
[26–28, 57, 91]. Данные методы могут быть эффективными в условиях
неполной информации о параметрах объекта управления и действующих возмущениях. Различные подходы к анализу и синтезу систем с
разнотемповыми процессами на основе применения метода
разделения
движений можно найти в работах [11, 13–15, 60, 108, 109, 116]. Синтез
многоканальных систем управления может быть выполнен также в классе разрывных алгоритмов управления [59, 60] путем формирования
скользящих режимов на заданных многообразиях в пространстве состояний, однако в данном учебном пособии рассмотрение вопросов синтеза
ограничено системами с непрерывными алгоритмами управления.
16
Применяемая в настоящей работе методика синтеза многомерных
систем управления основана на формировании разнотемповых процессов в системе управления, где устойчивость быстрых процессов обеспечивается выбором параметров регулятора, а формируемые медленные процессы для каждой компоненты вектора выхода соответствуют
заданному эталонному уравнению, что позволяет обеспечить желаемые показатели качества переходных процессов для
выхода и авто-
номность каналов управления [72–77, 110–115].
Необходимо отметить, что большое значение для практических
приложений имеют методики синтеза пропорционально-интегральных
(ПИ) и пропорционально-интегрально-дифферециальных (ПИД) регуляторов как для одноканальных [2, 68, 79, 93, 96], так и для многоканальных систем [66, 80, 85, 94, 106, 107].
Представленная в учебном пособии общая методика синтеза систем управления в частных случаях (для
объектов с моделью низкого порядка) приводит к методике расчета ПИ- или ПИД-регуляторов
для многомерных динамических объектов. В пособии рассмотрены
различные варианты структур алгоритмов управления как для решения задачи стабилизации вектора выхода и формирования заданных показателей качества переходных процессов в режиме ступенчатого изменения задающего воздействия, так
и для решения задачи
синтеза следящих многоканальных систем управления. Рассмотрены
условия разрешимости задачи формирования заданных процессов на
выходе многомерного объекта управления на основе преобразования модели объекта к канонической форме [71, 74, 77] и последующего выделения и анализа устойчивости уравнений внутренней
подсистемы. Приведены примеры с результатами численного моделирования.
1.3. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
В основу применяемого в учебном пособии подхода к синтезу систем управления положены две отличительные особенности: первая –
применение метода разделения движений для анализа свойств замкнутой системы, вторая – использование алгоритмов управления, структура которых следует из алгоритмов локальной оптимизации высшего
порядка. В настоящем разделе рассматривается ряд вспомогательных
понятий и определений, связанных
с присутствием малого параметра в
системе дифференциальных уравнений, в частности, понятия систем с
17
регулярными и сингулярными возмущениями, а также вопросы анали-
A
s
за разнотемповых процессов методом разделения движений. Дополнительный материал по данным вопросам для линейных и нелинейных
систем можно найти, например, в работах [13, с. 256–278], [18, 26–28,
57, 90, 91, 116], [111, с. 1–21].
В учебном пособии обсуждаются только линейные системы, поэтому рассмотрим систему вида
yR , 1det 0A
где
n
и все корни характеристического полинома си-
,( 0) ,yAyyt y
10
(1.8)
стемы (1.8) имеют строго отрицательную вещественную часть, т. е.
состояние равновесия данной системы устойчиво.
Так как состояние равновесия в данном случае является единственным, то понятие устойчивости состояния равновесия совпадает с понятием устойчивости системы. Заметим, что для линейных систем понятия устойчивости, асимптотической устойчивости
и экспоненциальной
устойчивости совпадают.
Систему (1.8) будем называть номинальной системой, решение которой при заданных начальных условиях имеет вид
t
()
yt e y .
1
0
Введем в рассмотрение следующую систему:
()yA Ay
12
, (1.9)
которая называется возмущенной (регулярно возмущенной) системой
по отношению к системе (1.8), где
параметром и
матрица
A есть квадратная матрица той же размерности, что и
2
A . Предполагаем, что матрица 2A имеет произвольный
1
является малым положительным
набор собственных чисел, в том числе собственные числа с положительной вещественной частью.
В силу непрерывной зависимости корней характеристического полинома от его коэффициентов имеет место свойство
lim det ( ) det ( )
IA A sIA
0
,
12 1
nn
18
из которого следует, что для любой произвольной матрицы
A
A
ствует некоторое значение параметра
такое, что при всех 0
суще-
2
решения системы (1.9) будут устойчивы, если устойчивы решения системы (1.8).
Слагаемое
Ay в правой части уравнения (1.9) является регуляр-
2
ным возмущением и в то же время является исчезающим в точке равновесия 0y независимо от величины параметра
Решение системы (1.9) при заданных начальных условиях
.
y имеет
0
вид
()
At
()
yt e y
12
,
0
которое равномерно для всех t стремится к решению системы (1.8) с
такими же начальными условиями, если 0 .
Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений сле-
дующего вида:
yAyAuyt y
11 12 0
uAyAuut u
21 22 0
где есть малый положительный параметр,
ственно имеем матрицы
AR
,
11
Дополнительно будем полагать, что выполнено условие
,( 0) ,
(1.10)
,( 0) ,
n
nn
,
12
nm
AR
yR ,
AR
,
21
uR
det 0A
mn
m
. Соответ-
.
22
.
mm
AR
22
Система (1.10) называется сингулярно-возмущенной системой
дифференциальных уравнений [13, с. 266; 90].
Полагая в системе (1.10) 0
yAyAuyt y
0,(0),
где исходная (полная) система (1.10) имеет размерность
, получим
,( 0) ,
11 12 0
Ay Auut u
21 22 0
(1.11)
nm
, в то
время как система (1.11) имеет размерность n . Поэтому система (1.11)
называется вырожденной системой.
, yu
Отметим, что в системе (1.10) начальные условия
могут
00
быть заданы произвольным образом, а в вырожденной системе (1.11)
19
начальные условия
A
A
M
M
u
зависят от начальных условий для
0
y
в силу
0
уравнения
1
0
21 0 22 0
yAu
, где
uAAy
022210
.
Производные переменных y и u в вырожденной системе связаны
условием
1
0
yAu
21 22
, т. е.
uAAy
22 21
.
Если для оценки скорости процессов по этим переменным использовать нормы
u и y, то получим соотношение
11
uAAyAA y
22 21 22 21
.
Таким образом, справедливо неравенство
u
y
1
AA
22 21
, (1.12)
т. е. в вырожденной системе (1.11) отношение скорости изменения переменной
метра
u к скорости изменения переменной y не зависит от пара-
и ограничено некоторой константой.
Множество точек в пространстве состояний системы (1.10), удо-
влетворяющих условию
разие
, где
0 Ay Au
, образует линейное многооб-
21 22
(, ):0
yu Ay Au. (1.13)
21 22
Из сингулярно-возмущенной системы дифференциальных уравне-
ний (1.10) следует
1
11 12 21 22
,,yAyAuu AyAu
тогда
uAyAu
1
yAyAu
21 22
11 12
20
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]