Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Многоканальные системы управления. Синтез линейных систем с разнотемповыми процессами. Учебное пособие
.pdf
где
1
() [ ] [ ]
Try aT ry
311122
d
d
1**
aT r y r aYazf
[] .
1112
y
(4.37)
Уравнения замкнутой системы (4.36) имеют вид стандартной сингулярно-возмущенной системы дифференциальных уравнений, в которой при 0 формируются быстрые и медленные процессы. Соот-
ветственно для анализа свойств системы (4.36) может быть
использован метод разделения движений. Из уравнений (4.36), применяя процедуру разделения движений, получаем уравнения ПБД:
(1)
uu j q
где
jj
ubkudu du rYzf
() рассматривается как функция с замороженными (постоян-
3
1
(1) *
qqq
ными) значениями аргументов , , ,
1, , 1,
01 12 1 3
rYzf на интервале времени пере-
y
( , , , ),
y
(4.38)
ходных процессов в системе (4.38).
Полученная система уравнений для ПБД является линейной, поэтому для анализа ее устойчивости можно рассмотреть характеристический полином, который имеет вид
()
Assd s dsbk
. (4.39)
ПБД 110
qq q q
q
11
*
Устойчивость процессов в ПБД (4.38) можно обеспечить выбором
параметров регулятора
, , ...,
kd d таким образом, чтобы все корни
01 1
q
характеристического полинома (4.39) имели строго отрицательную
вещественную часть. При этом желаемая скорость переходных процессов в ПБД обеспечивается выбором параметра
, где 0
Замечание 4.18. Если принять, что коэффициент усиления
*
величине
1/b , а
тона, то полином (4.39) принимает вид
, ...,
dd являются коэффициентами бинома Нью-
11
q
()( 1)
Ass
ПБД
.
.
q
k
равен
0
91
Если процессы в ПБД (4.38) устойчивы и 0
s
s
f
, то после заверше-
ния переходных процессов в (4.38) имеет место равновесный (квазиравновесный) режим ПБД, где
*1
lim ( ) [ ] [ ]
uubkTryaTry
11 0 111 22
0
sd
uu и
11
1
d
1**
aT r y r aYazf
[] .
1112
y
(4.40)
Из уравнений (4.36) при равновесном режиме ПБД (4.38) получаем
вырожденную систему, состоящую из
n дифференциальных урав-
нений:
(1)
yy i
ii
(1) * * *
yaYazbkuf
(1)
zAYAzBkuf
0 2, ..., ,
uj q
0().
Исключая переменную
1
12 01
12 01
s
j
*
bku du d u
u из системы (4.41) и учитывая (4.37), (4.40),
1, ..., 1,
y
s
,
sz
ss s
01 12 1 3
1
,
qq
(4.41)
получаем уравнения ПМД:
(1)
yy i
ii
1
(1) 1 1
yTryaTry aTryr
(1)
zABbaz
224
где аргументами функции
щающее воздействие
1, ..., 1,
[] [ ] [ ],
11 1 2 2 1 1
() (),
dd
*1*
()
4
являются переменные y , r и возму-
(4.42)
вместе со своими производными. Из выраже-
ний (4.34) следует, что уравнения ПМД (4.42) можно представить
в виде
() ( 1) (1)
eaTe aTeTe
11
dd
11
0,
(4.43)
92
(1)
D
D
D
224
*1*
() (),zABbaz
(4.44)
где поведение внутренней переменной z описывается уравнением (4.44). В соответствии с (4.43) и (4.44) характеристический полином
ПМД имеет вид
() () ()AsAsAs. (4.45)
ПМД ЭУ внутр
Этот полином является устойчивым в силу свойств устойчивости эталонного уравнения (4.43) и внутренней подсистемы (4.44).
Таким образом, если имеет место достаточно большая степень разделения темпов быстрых и медленных процессов в замкнутой системе
и устойчивость быстрых процессов в ПБД, то равновесный режим ПБД
порождает медленные процессы, где поведение ошибки регулирова-
et соответствует решениям эталонного уравнения (4.43). Данное
ния ()
свойство выполняется в условиях отсутствия полной информации о
внешних возмущениях и параметрах объекта управления.
В следующем разделе представлен дополнительный анализ свойств
систем вида (4.1) с алгоритмом управления (4.29) с целью получения
явных расчетных соотношений для анализа точности регулирования в
таких системах.
4.4.3. СВОЙСТВА ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Рассмотрим структурную систему на рис. 3.3 с передаточной
функцией объекта управления (4.12) и алгоритмом управления (4.30).
Из уравнений замкнутой системы в изображениях Лапласа (3.50) для
данной системы получим передаточные функции, отражающие влияние задающего воздействия r :
d
() ()
Gs
Gs
Gs
yr
() ,
er
ur
()
rs
es D sAs
() ( ) ()
rs
()
us
()
() .
rs
()
()
ys
() ,
AsBsk
sAs A sBsk
( ) () () ()
0
d
d
() ()
d
0
d
sAs A sBsk
( ) () () ()
AsAsk
sAs A sBsk
( ) () () ()
0
(4.46)
0
0
93
Соответствующие передаточные функции, отражающие влияние воз-
D
D
B
мущающего воздействия d , имеют вид:
yd
() ,
Gs
ed
Gs
() .
ud
()
ds
() ( ) ()
es D sBs
()
ds
us
()
ds
()
() ( ) ()
ys D sBs
() ,
Gs
Наличие малого параметра
( ) () () ()
DsAs AsBsk
в характеристическом полиноме замкну-
d
0
d
() ()
d
0
d
sAs A sBsk
( ) () () ()
AsBsk
sAs A sBsk
( ) () () ()
(4.47)
0
0
той системы (ЗС)
(, ) ( )() ()()
As DsAsAsBsk
ЗС 0
d
(4.48)
приводит при 0 к формированию двух групп корней, одна из ко-
торых соответствует быстрым процессам, а вторая – медленным про-
цессам в системе. В соответствии с методом, разработанным в [37, 38],
из (4.31), (4.32) и (4.48) следует
() ()
где
lim ( , ) ( ) ( )
As AsBsk
ЗС 0
0
sA s для полностью управляемой и наблюдаемой си-
внутр
d
, (4.49)
стемы вида (4.1). Соответственно корни полинома (4.49) совпадают с
корнями характеристического полинома ПМД (4.45), полученного выше на основе метода разделения движений [18, 26–28, 57, 91].
С целью выделения полинома, корни которого соответствуют
быстрым процессам, представим (4.48) с учетом (4.12), (4.31) и (4.32) в
следующем виде:
qqn q q qn
(, )
As s a d s
ЗС 11
nq
11
qqqqn
aad d s
211 2
nnq q
121
nn n
ad ad a d d s
01 1 12 1
nnn
122
94
nn n
sp
ad ad a d a d b k s
011 22110
nn n nm
111
nd n
ad a d a b kT b k s
01 21 10 10
nnmm
12
212
ad ad abkT bkT s
02 11 110 20
ad a bkT bkT s bkT
(4.50)
01 010 10 00
d
Выполним подстановку
житель
n
. Получим
(, ) ( )
Ap p a d p
ЗС 11
aaddp
nnqq
ad ad a d d p
01 1 12 1
nn n
nn n
ad ad a d a d b k p
011 22110
nn n nm
ad a d a b kT b k p
(4.51)
nd n
01 21 1 0 10
nn mm
nnd n n
ad ad abkT bkT p
02 11 110 20
nd n n n
ad a bkT bkT p bkT
01 010 10 00
2
2112
nn n
12
112 22
11 1
d
1
в (4.50) и умножим результат на мно-
qn qn
21 1
nq
qn
11
1
2
.
.
При 0 из выражения (4.51) получим полином вида
qn qn
lim ( , )
Ap p dp
ЗС 1
0
2
qn
dp dp bkp
. (4.52)
210
qm
q
1
nn
95
1
Разделим полином (4.52) на
p
ps
D
В результате получим полином
n
и выполним подстановку
.
()
Assd sd s dsbk
,
ПБД 12 10
qq q q q q
который совпадает с полиномом ПБД (4.39), так как
Таким образом, при малых значениях параметра
11 2 2
qq m
*1
bbcAB
m
.
справедлива
следующая аппроксимация:
(, ) [ ( ) ] () ()
As DsbkAsBsb
. (4.53)
ЗС 0
d
mm
1
Учитывая свойство (4.53) для малых , получаем для передаточных функций (4.46) следующие соотношения, отражающие влияние
задающего воздействия r :
d
() ()
()
ys
() ,
Gs
Gs
Gs
yr
() ,
er
ur
() [ ( ) ]
rs D s b k
()
es
()
rs
()
us
() .
() [ ( ) ] ()
rs D s b k Bs
Соответствующие передаточные функции для малых
A sBsbk bk
[( ) ] ()()
Ds bkAsBs
[( ) ] ()()
Ds bkAsBs
[( ) ] ()()
Ds bkAsBs
m
()()
DsAsb
0
m
d
() () ()
A sAsb k Asb k
m
00
mm
d
0
m
d
00
mm
d
0
0
m
(4.54)
0
m
, отражающие
влияние возмущающего воздействия d , имеют вид:
()
yd
() ,
Gs
ed
Gs
() .
ud
()
ds
()
es
()
ds
us
()
ds D s bk
() [ ( ) ]
()
ys
() ,
Gs
Dsb
[( ) ] ()
Ds bkAs
[( ) ] ()
m
d
0
m
()
Dsb
sbkAs
bk
m
m
d
m
0
0
m
0
96
(4.55)
Замечание 4.19. Реакция выхода y на изменение величины задаю-
щего воздействия r в данной системе определяется свойствами подсистемы быстрых движений, что следует из выражения для передаточной
функции ()
Gs в (4.54).
yr
Из выражений (4.55) видно, что (, ) 0
0 , т. е. за счет уменьшения параметра
Gs и (, ) 0
yd
достигается подавление
Gs при
ed
влияния возмущений на поведение выхода и ошибки.
Из выражения для передаточной функции
Gs
в (4.46) вычислим
er
()
скоростную ошибку в режиме линейной заводки по задающему сигналу ()rt , где () 1()rt t t , соответственно
lim () lim ()() .
(4.56)
eetsGsrs
rer
ts
0
() 1/rs s . Получим
2
Tda
10
bk
00
Из (4.47) найдем выражение для скоростной ошибки в режиме ли-
1
(4.57)
0
, соот-
нейной заводки по возмущающему сигналу ()dt , где () 1()dt t t
ветственно
eetsGsds sGsds
dedyd
() 1/ds s . Получаем
lim () lim () () lim () () .
ts s
2
00
Td
k
Рассмотрим задающий сигнал ()rt в виде единичного ступенчатого
воздействия, где () 1()rt t
жения для ()
Gs в (4.46) при нулевых начальных условиях следует
ur
, соответственно () 1/rs s. Тогда из выра-
(0)lim()lim ()()
Если
q
, тогда
ut ut sG srs
(0) /ut k
.
ts
0
. Если
0
ur
q
, тогда (0)0ut .
Замечание 4.20. В рассматриваемой следящей системе управления
параметры алгоритма управления рекомендуется задать в соответствии
с пунктами замечания 4.11, однако параметр
необходимо выбирать
из требования на ошибку слежения (скоростную ошибку) на основе
соотношений (4.56) и (4.57), а затем задать постоянную времени T в
соответствии с условием T
, где 10 .
97
4.5. АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ЗАПАЗДЫВАНИЯ
x
В КАНАЛЕ УПРАВЛЕНИЯ
Из соотношений (4.53), (4.56) и (4.57) следует, что для обсуждаемого класса систем можно обеспечить как угодно высокую точность
слежения и одновременно подавление влияния возмущений без потери
свойства устойчивости замкнутой системы. Однако существующие в
реальных системах малые неучтенные инерционности и запаздывания
в канале управления приводят к появлению дополнительных ограничений на пределы достижимой точности
регулирования.
Рассмотрим модель объекта управления (4.1) с запаздыванием в
канале управления
() () ( ) (), () ()
tAxtBut ftytcxt
. (4.58)
Аналогично выражению (4.8) преобразуем (4.58) к канонической
форме:
(1)
( ) ( ) 1, ..., 1,
yt yt i
где
ii
(1) * * *
() () () ( ) (),
ytaYtaztbut ft
(1)
() () () ( ) (),
zt AYtAztBut ft
[, , , ]Yyy y
. При алгоритме управления (4.15), который
12
1
12
12
T
y
z
(4. 59)
запишем в виде (4.16), получим уравнения замкнутой системы:
(1)
( ) ( ) 1, ..., 1,
yt yt i
ii
(1) * * *
() () () ( ) (),
ytaYtaztbkut ft
(1)
() () () ( ) (),
zt AYtAztBkut ft
(1)
() () 1, , 1,
utu t j q
jj
(1)
ut dut dut
qqq
1
12 01
12 01
1
() () ()
12 1
1
[() ()]
rt y t
TT
1
d
a
1
() () ().
yt y t y t
1
1
y
z
d
a
1
T
(4.60)
(1)
98
Дальнейший анализ свойств системы (4.60) и процедура получения
p
D
уравнения ПБД выполняются аналогично разделу 2.6. Соответствующее системе (4.60) уравнение ПБД имеет вид
(1)
() () 1, , 1,
utu t j q
jj
(1) *
ut bkut dut dut
qqq
1
() ( ) () ()
01 12 1
( (), (), (), ()),
rt Yt zt f t
2
y
(4.61)
где
(, , , )
rYzf имеет вид (4.19) и рассматривается как функция с
2
y
замороженными аргументами на интервале времени переходных процессов в (4.61).
Из операторной формы записи для (4.61) аналогично выражениям
(2.59) и (3.59) получим передаточную функцию разомкнутой ПБД
*
где
()
ppd p dp
. При заданных значениях
параметров
стоту среза
qq q q
d рассматрим годограф Найквиста для (4.62). Найдем ча-
i
как решение уравнения
c
kb
0
Dj
()
раз
Gp e
ПБД
11
11
q
*
j
e
c
и запас устойчивости по фазе
Если задать параметры
по фазе
, где
0
0/2
. (4.64)
0c c
d и требуемую величину запаса устойчивости
i
, то совместное решение уравнений (4.63),
0
()
c
kb
Dp
, т. е.
1
в данной ПБД
0
0
()
*
0c
Arg( ( ))Dj
, (4.62)
()kb D j , (4.63)
(4.64) позволит вычислить минимальное допустимое значение параметра , которое обусловлено наличием запаздывания
.
Замечание 4.21. Аналогично выражению (2.60) можно использовать алгоритм управления с компенсацией влияния запаздывания на
процессы в ПБД [72, 74].
99
Замечание 4.22. Анализ влияния запаздывания на свойства следя-
J
F
J
x
щей системы управления для модели объекта управления (4.58) с регуляторами вида (4.27) и (4.29) осуществляется аналогично представленной выше методике.
Замечание 4.23. Обозначим правую часть выражения (4.15)
(1) ( 1) ( )
eTryaTy aTy y
F
[]
. Заменив ()y
выражением (4.9), где
и действительным значением
11
dd
11
() (1)
yy
, получим разность между желаемым
() [ ]
eu T ry aT y
F
(1)
1***
d
aTy aYazbkuf
1120
()
y как функцию переменной 0uku
d
1
(1)
1
:
y
.
Задавая функционал
(4.15) в виде
()/ [ / ]
uu e ue
() 0,5 ()
ueu
() 1 ( 1) (1)
qq q q
ud u du Juu
. Таким образом, алгоритм управления (4.15)
F
2
, представим алгоритм управления
F
11
q
, где
()/
следует из структуры алгоритма оптимизации высшего порядка (1.27).
4.6. ПРИМЕР
Рассмотрим объект управления с математической моделью следующего вида:
23 ,
xxuf
12 1
xxuf
21 2 2
yxx
24 ,
.
12
(4.65)
Дифференцируя уравнение выхода, получим выражение
yx uf f, из которого следует, что коэффициент при управ-
112
лении
уравнением внутренней переменной, например вида
*
1b и индекс обратимости 1
. Уравнение выхода дополним
2zxx
. По-
12
лучим систему уравнений для новых координат вектора состояния:
yxx
2,
zxx
,
12
12
(4.66)
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]