Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Многоканальные системы управления. Синтез линейных систем с разнотемповыми процессами. Учебное пособие
.pdf
В задаче стабилизации выхода объекта вида (3.1) цель управления
состоит в том, что необходимо в установившемся режиме при постоянных значениях возмущения и параметров объекта обеспечить следующее свойство:
lim ( )
r – задающий вход, который рассматривается как кусочно-
где
t
yt r
, (3.2)
постоянная функция. При этом показатели качества переходного процесса ()
yt r при ступенчатом изменении задающего воздействия r
должны удовлетворять заданным требованиям на время и перерегулирование переходного процесса.
Выражение (3.2) можно представить в виде
lim ( ) 0
t
et
,
e – ошибка регулирования, () () ()et rt yt
где
.
При рассмотрении задачи слежения полагаем, что на объект дей-
ствуют недоступные для измерения переменные во времени возмуще-
dt , а также имеет место произвольное непрерывное вплоть до
ния ()
вторых производных изменение величины задающего воздействия
rt , т. е. constr
()
, constr
. Цель управления в задаче слежения
формулируется как требование обеспечить свойство
где
– произвольная малая положительная величина, а величина e
lim ( )
et
t
, (3.3)
рассматривается как ошибка слежения.
3.2. СИНТЕЗ СИСТЕМ СТАБИЛИЗАЦИИ
Рассмотрим алгоритм управления, заданный в виде следующего
дифференциального уравнения второго порядка:
где
– малый положительный параметр, а эталонное уравнение для
2(2) (1) 2 1(1) (2)
udukTryaTyy
10 1
[]
желаемого поведения выхода имеет вид
d
2
d
Ty aTy y r
1
, (3.4)
.
51
21(1)(2)
J
F
Замечание 3.1. Пусть
eTryaTy y
F
[]
правой частью выражения (3.1), получим
1
d
aaT yaybud
11 0 0
()
. Задавая функционал 2() 0,5 ()
d
1
. Заменяя
2
()
eu T ry
F
ueu ,
(2)
y
F
можно представить алгоритм управления (3.4) в виде
2(2) (1)
10
()/udukJuu , т. е.
2(2) (1)
udukeue.
10
[/]
F
Таким образом, алгоритм управления (3.4) следует из структуры алгоритма оптимизации второго порядка (1.26) метода градиентного спуска
[73, 74, 111, 112].
Выполняя преобразование Лапласа для (3.4) при нулевых началь-
ных условиях, получим
k
us T rs ys aT sys s ys
() () () () (),
0
22
sds
1
212
d
1
(3.5)
из которого следует
k
us T s rs ys aT ys sys
() () () () ().
0
2
sd
21 1
1
d
1
(3.6)
Из выражения (3.6) видно, что обсуждаемый алгоритм управления
соответствует структуре ПИД-регулятора с дополнительным фильтром
первого порядка.
Заметим, что при практической реализации алгоритма управления
(3.4) не требуется применять операцию идеального дифференцирования. Покажем это путем перехода от (3.4) к представлению данного
алгоритма в виде системы двух дифференциальных уравнений в форме
Коши. Из (3.4) получим
d
(2) (1) (2) (1)
uu y y y r
1
kka kk
001 0 0
22 2222
d
TTT
.
Обозначим
d
1
ab b b c
, , , ,
12 1 0 0
kka k k
001 0 0
2 2 22 22
d
.
TTT
52
Представим (3.4) в виде
(2) (1) (2) (1)
uaubybybycr
12100
.
В соответствии с известной процедурой перехода к наблюдаемому
каноническому представлению [1, 20, 39, 84] запишем
(2) (2) (1) (1)
ubyaubybycr.
21100
Обозначим
ubycr
20 0
, тогда получим
грируя данное уравнение, имеем
следует
ubyu auby
ем уравнение
2211
ubyu
21
. Обозначим
, интегрируя которое имеем
ubyaubyu
ubyaubyu
2112
2112
, из которого
uuauby
121 1
uu by . Та-
. Инте-
. Получа-
12
ким образом, алгоритм управления (3.4) представим в виде
uuauby
121 1
ubycr
20 0
uu by
12
,
,
(3.7)
.
Подставляя последнее уравнение в правую часть дифференциальных
уравнений в системе (3.7), получаем наблюдаемое каноническое представление для (3.4) следующего вида:
uauubaby
1112112
ubycr
20 0
uu by
12
,
.
,
(3.8)
При реализации обсуждаемого алгоритма управления можно использовать его представление в виде (3.7) или (3.8). Например, на рис. 3.1
показана структурная схема регулятора в форме (3.7).
С целью анализа свойств системы стабилизации, которая задана
уравнениями (3.1) и (3.4), рассмотрим уравнения замкнутой системы
yayaybud
2(2) (1) 2 1(1) (2)
udukTryaTyy
10 1
100
(),
[] .
53
d
(3.9)
Рис. 3.1. Структурная схема регулятора в форме (3.7)
Обозначим
,,,yyy yuuu u
1212
. Тогда систему (3.9) можно
представить в виде
dy
1
y
,
2
dt
dy
2
Заменяя
ay ay b u d
dt
du
dt
du dy
dt dt
y
в четвертом уравнении системы (3.10) правой частью вто-
2
01 12 0 1
1
,
u
2
22
du k T r y a T y
12 0 1 1 2
(),
(3.10)
21
[] .
d
рого уравнения данной системы, получим
dy
1
,
y
2
dt
dy
2
ay ay b u d
dt
du
dt
du
dt
01 12 0 1
1
,
u
2
2
kbu du k T r a T y a aT y bd
00112 0 0 1 11 20
(),
22 1
d
(3.11)
.
54
Полученные уравнения (3.11) относятся к классу сингулярно-
возмущенных систем дифференциальных уравнений [13, с. 266], где
при уменьшении параметра
в решениях данной системы формиру-
ются быстрые и медленные процессы. Привлекая метод разделения
движений [18, 26–28, 57, 90, 91], выделим уравнения подсистем быстрых и медленных движений с целью их последующего анализа.
Введем в рассмотрение быстрое время
t , которое связано с исход-
0
ной шкалой времени t соотношением
tt
.
0
Тогда уравнения (3.11) можно записать для быстрого масштаба времени в следующем виде:
dy
1
y
,
dt
dy
dt
du
dt
du
dt
2
0
2
0
1
0
2
0
ay ay b u d
01 12 0 1
u
,
2
kbu du k T r a T y a aT y bd
00112 0 0 1 11 20
(),
22 1
d
(3.12)
.
Полагаем, что 0 , тогда из системы уравнений (3.12) следует
dy
1
0,
dt
0
dy
2
0,
dt
0
du
1
u
,
dt
du
dt
2
0
22 1
2
kbu du k T r a T y a aT y bd
0
00112 0 0 1 11 20
55
d
(3.13)
.
Возвращаясь в (3.13) к исходной шкале времени ,t путем замены
/tt получаем уравнение ПБД
0
du
1
u
dt
du
dt
,
2
0
22 1
2
kbu du k T r a T y a aT y bd
001 12 0 0 1 1 1 2 0
0
d
(3.14)
,
где
, , yy r
12
и d рассматриваются как постоянные величины (замо-
роженные переменные) на интервале времени переходных процессов в
ПБД (3.14).
Характеристический полином ПБД (3.14) имеет вид
ПБД 100
Так как 0 , то устойчивость ПБД имеет место при
22
()As sdskb . (3.15)
0d и
1
00
0kb .
Если процессы в ПБД устойчивы и 0 , то для равновесного
(квазиравновесного) режима ПБД получим
s
0,
u
2
0.
ss d
kbu du k T r a T y a aT y bd
001 12 0 0 1 1 1 2 0
22 1
Следовательно,
12 2 1
sd
ubTraT y aaTybd
10 0 1 11 20
. (3.16)
Таким образом, из системы (3.11) при равновесном режиме ПБД
(3.14) получаем вырожденную систему уравнений вида
dy
1
y
,
dt
dy
0,
0()().
2
2
ay ay b u d
dt
01 12 0 1
s
u
2
ss d
kbu du k T r a T y a aT y bd
001 12 0 0 1 1 1 2 0
s
(),
22 1
(3.17)
56
s
u
s
s
Исключив
u
и
1
из (3.17), получим уравнения ПМД
2
dy
1
,
y
2
dt
dy
2
212
Ty aTy Tr
dt
d
11 2
.
(3.18)
Из системы (3.18) следует уравнение
(2) 1 (1) 2 2
d
yaTyTyTr
1
, (3.19)
которое соответствует эталонному уравнению для желаемого поведения выходной переменной ()
yt , где характеристический полином
ПМД (3.19) имеет вид
212
d
()
AssaTsT
ПМД 1
. (3.20)
Таким образом, при затухании быстрых процессов в системе (3.11)
ее поведение описывается уравнением ПМД (3.18), решения которого
удовлетворяют свойству (3.2), тем самым обеспечивается стабилизация
выхода объекта управления вида (3.1) при отсутствии полной информации о параметрах модели объекта управления и внешних возмуще-
dt .
ниях ()
Замечание 3.2. Пусть
1/kb
00
,
1
ПБД (3.15) и ПМД (3.20) принимают вид
12
() ( )AssT
ПМД
. Параметр T выбирается в соответствии с требо-
d
2d
и
2
a
. Тогда полиномы
1
() ( 1)As s
ПБД
2
и
ванием на желаемое время переходных процессов по выходной переменной ()
yt . Выбор параметра
осуществляется исходя из требова-
ния на степень разделения темпов движений между процессами в ПБД
и ПМД, например, полагаем /
T, где
– степень разделения
темпов быстрых и медленных движений, 10 .
Замечание 3.3. Управляющее воздействие
uu u
s
, заданное
1
функцией (3.16), соответствует точному решению обратной задачи динамики [29], которое можно получить также из условия равенства выражений для второй производной
y
, полученных из уравнений (3.1)
57
и (3.19) при наличии полной информации о параметрах модели объек-
D
та управления и внешних возмущениях, т. е. путем решения уравнения
21
() ( )
TryaTy ayaybud
d
1100
.
3.3. СВОЙСТВА ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
СИСТЕМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ
Дополнительный анализ свойств системы (3.1) с алгоритмом
управления (3.4) выполним на основе рассмотрения передаточных
функций данной системы.
В соответствии с (3.1) рассмотрим модель объекта управления
() ()[() ()]ys G s us ds
ОУ
(3.21)
и алгоритм управления (3.4), представленный в виде (3.5), т. е.
us A s rs A sys
() ( 0)() () () ,
k
()
Ds
dd
0
(3.22)
где
() /( ), ( ) ,
Gsbsasa Ds sds
ОУ 010 1
dd d
() , ( 0) .
As s aTsT As T
222
212 2
1
(3.23)
Структурная схема для системы (3.21), (3.22) показана на рис. 3.2. Однако отметим, что практическая реализация регулятора (3.22) выполняется на основе его представления, например, в виде (3.7) или (3.8).
k
0
()
s
ОУ
()Gs
Рис. 3.2. Структурная схема системы (3.21), (3.22)
58
С целью более детального анализа свойств обсуждаемой системы
D
D
D
стабилизации рассмотрим передаточные функции, которые следуют из
структурной схемы на рис. 3.2. Получаем следующие выражения, отражающие влияние задающего воздействия
d
(0)
As bk
Gs
Gs
Gs
yr
() ,
er
() .
ur
()
rs
es
()
rs
()
us
()
rs
()
()() ()
DsAs Asbk
()()[ () ( 0)]
DsAs Asbk
( ) () ()
()
ys
() ,
sAs A s A s bk
DsAs Asbk
()() ()
d
As Ask
(0)()
r :
00
d
00
dd
d
00
0
d
00
00
(3.24)
Соответствующие передаточные функции, отражающие влияние возмущающего воздействия
() ,
Gs
yd
() ,
Gs
ed
() .
Gs
ud
Наличие малого параметра
, имеют вид:
d
()
ys
()
ds
()
es
()
ds
()
us
()
ds
( ) () ()
DsAs Asbk
()() ()
( ) () ()
в характеристическом полиноме за-
()
Dsb
sAs A sbk
sAs A sbk
0
d
()
Dsb
Asbk
d
()
0
d
00
d
00
00
00
(3.25)
мкнутой системы (ЗС)
(, ) ( ) () ()
As DsAs Asbk (3.26)
ЗС 00
d
приводит при 0 к формированию двух групп корней, одна из ко-
торых соответствует быстрым процессам, а вторая – медленным про-
цессам в системе.
С целью анализа свойств корней полинома (3.26) при 0
ис-
пользуем метод, разработанный М.В. Мееровым [37, с. 82; 38, с. 86].
Из (3.23) и (3.26) следует, что
lim ( , ) ( )
As Asbk
ЗС 00
0
59
d
, (3.27)
где корни полинома (3.27) совпадают с корнями характеристического
sp
p
ps
s
полинома ПМД (3.20), полученного выше на основе метода разделения
движений [18, 26–28, 57]. Заметим, что устойчивость полинома ПМД
обеспечивается выбором параметров эталонной модели в регулято-
ре (3.4), так как
d
() ()
As A s .
ПМД
С целью выделения полинома, корни которого соответствуют
быстрым процессам, представим (3.26) с учетом (3.23) в следующем
виде:
(, )As s a d s a ad bks
ЗС 11 01100
24 2 3 2 2
ad bkaT s bkT
(3.28)
Выполним подстановку
2
житель
. Получим
(, ) ( )Ap p a dp a ad bkp
ЗС 11 0 1100
432 2
ad bkaT p bkT
(3.29)
01 001 00
12
d
01 001 00
.
в (3.28) и умножим результат на мно-
21 22
d
.
При 0 из выражения (3.29) получим полином вида
lim ( , )Ap p dpbkp
Разделим полином на
те получим полином
ЗС 100
0
2
и выполним подстановку
22
43 2
. (3.30)
. В результа-
dsbk , который совпадает с полино-
100
мом ПБД (3.15), ранее полученным на основе метода разделения движений.
Таким образом, при малых значениях параметра
справедлива
следующая аппроксимация [37, 38]:
(, ) ( ) () [ ( ) ] ()
As A sA s DsbkAs . (3.31)
ЗС ПБЛ ПМД 00
60
d
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]