Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Многоканальные системы управления. Синтез линейных систем с разнотемповыми процессами. Учебное пособие
.pdf
Следовательно, если характеристические полиномы ПБД (3.15) и ПМД
D
D
(3.20) оба являются устойчивыми, то при уменьшении параметра
обеспечивается устойчивость характеристического полинома замкну-
той системы (3.26) независимо от вида корней характеристического
полинома объекта управления (3.21).
Замечание 3.4. Проведенные выше соотношения показывают, что
анализ свойства устойчивости замкнутой системы стабилизации на
основе метода разделения движений А.Н. Тихонова
[18, 57] и на основе анализа корней характеристического полинома замкнутой системы
в соответствии с методикой М.В. Меерова [37, 38] приводит к одинаковому результату для линейных систем. Однако метод разделения
движений на основе анализа свойств сингулярно-возмущенных дифференциальных уравнений А.Н. Тихонова эффективно может быть использован не только для линейных,
но и для нелинейных систем
управления [13, с. 256].
Учитывая свойство (3.31) для малых , получаем для передаточ-
ных функций (3.24), (3.25) следующие соотношения, отражающие влияние задающего воздействия r :
d
(0)
yr
Gs
() ,
er
Gs
() ,
ur
()
rs
es
()
rs
()
us
()
rs
()
() ( 0)
ys A s
() ,
Gs
As bk
[( ) ] () ()
Ds bkAs As
sAs A s A s bk
()()[ () ( 0)]
d
As Ask
(0)()
Ds bkAs
[( ) ] ()
00
dd
00
dd
Ds bkAs
[( ) ] ()
00
00
0
d
d
00
d
(3.32)
и соотношения, отражающие влияние возмущающего воздействия d :
()
yd
() ,
Gs
ed
Gs
() .
ud
()
ds
()
es
()
ds
us
()
ds D s bk
() [ ( ) ]
()
ys
() ,
Gs
Dsb
[( ) ] ()
Ds bkAs
[( ) ] ()
61
0
d
00
()
Dsb
sbkAs
bk
00
00
00
0
d
(3.33)
Из (3.24) найдем выражение для величины скоростной ошибки в
системе на рис.3.2 в режиме линейной заводки по задающему сигналу
()rt , где () 1()rt t t , соответственно
eetsGsrsTa
lim () lim ()() .
(3.34)
rer
ts
0
() 1/rs s . Получаем
2
2
Tda
d
1
bk
00
10
Из (3.25) найдем выражение для величины скоростной ошибки в системе на рис. 3.2 в режиме линейной заводки по возмущающему сиг-
налу ()dt , где () 1()dt t t
eetsGsds sGsds
lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) .
(3.35)
dedyd
ts s
, соответственно
00
() 1/ds s . Получаем
2
2
Td
1
k
0
Рассмотрим задающий сигнал ()rt в виде единичного ступенчатого
воздействия, где () 1()rt t
, соответственно () 1/rs s. Получаем, что в
системе на рис. 3.2 управляющий сигнал не имеет разрыва первого рода при 0,t так как из (3.24) следует, что
(0)lim()lim ()()0
ut ut sG srs
0
ts
ur
.
Замечание 3.5. Реакция выхода y на изменение величины задаю-
щего воздействия r в данной системе определяется свойствами подсистемы медленных движений, что следует из выражения для ()
Gs
yr
в (3.32).
Замечание 3.6. Из выражения (3.34) следует, что для уменьшения
скоростной ошибки в системе на рис. 3.2 по задающему сигналу ()rt
необходимо уменьшать T в (3.4). Тогда требуется одновременно
уменьшать для обеспечения заданной степени разделения темпов
быстрых и медленных процессов, а это приводит к увеличению коэф-
фициентов усиления регулятора при его практической
реализации в
форме (3.7) или (3.8). По этой причине в следующем разделе рассматривается структура регулятора, которая позволяет обеспечить существенно меньшую ошибку слежения при тех же количественных величинах параметров регулятора.
62
3.4. СИНТЕЗ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Рассмотрим алгоритм управления, заданный в виде следующего
дифференциального уравнения второго порядка:
2(2) (1) 2 1(1) (2)
udukTeaTee
10 1
где – малый положительный параметр, ery
d
. Заметим, если
, (3.36)
приравнять правую часть (3.36) нулю, то получим эталонное уравнение для желаемого поведения ошибки регулирования
2
d
Te aTe e
1
0
.
Алгоритм управления вида (3.36) есть частный случай для выраже-
Выполняя преобразование Лапласа для (3.36) при нулевых началь-
ных условиях, получим
212
d
ks aTsT
01
us es
() ()
22
sds
1
. (3.37)
Выражение (3.37) можно представить как идеальный ПИД-регулятор с
дополнительным фильтром первого порядка:
k
us aT s es
() ()
0
22
sd Ts
1
1
1
d
1
, (3.38)
а также можно представить в виде ПИД-регулятора с реальным дифференцирующим фильтром:
us k es
() ()
ID
kks
p
ss
1
, (3.39)
где
d
adT
11
22
dT
1
,
kdT
p
k
1
I
k
,
2
1
D
222
dT ad T
111
32
dT
1
d
,
.
d
1
(3.40)
63
С целью анализа свойств обсуждаемой следящей системы, которая
задана уравнениями (3.1) и (3.36), рассмотрим уравнения замкнутой
системы
yayaybud
2(2) (1) 2 1(1) (2)
udukTeaTee
100
10 1
(),
d
Обозначим:
,,,yyy yuuu u
1212
123
,,rrr rr r
.
Тогда систему (3.41) можно представить в виде
dy
1
,
y
2
dt
dy
Заменяя
2
ay ay b u d
dt
du
dt
du dy
dt dt
y
2
01 12 0 1
1
,
u
2
22
du k T r y a T r y r
12 0 1 1 1 2 2 3
в четвертом уравнении системы (3.42) правой частью вто-
(),
21
[] [ ] .
d
рого уравнения данной системы, получаем
,
(3.41)
.
(3.42)
dy
1
,
y
2
dt
dy
2
ay ay b u d
dt
du
dt
du
dt
01 12 0 1
1
,
u
2
2
kbu du r r r y y d
001 12 1 1 2 3 1 2
(),
(3.43)
( , , , , , ),
64
где
( , , , , , )
rrr yy d
11 2 3 1 2
21
kT ry aT r y r ay ay bd
[] [ ] .
01122301120
d
Полученные уравнения (3.43) относятся к классу сингулярновозмущенных систем дифференциальных уравнений, где при уменьшении параметра
в решениях данной системы формируются быст-
рые и медленные процессы. Привлекая метод разделения движений,
выделим уравнения подсистем быстрых и медленных движений
с целью их последующего анализа.
Введем в рассмотрение быстрое время
ной шкалой времени t следующим соотношением:
t , которое связано с исход-
0
tt
. Тогда
0
уравнения (3.43) можно записать для быстрого масштаба времени в
следующем виде:
dy
1
dt
0
dy
2
dt
du
dt
du
dt
0
1
0
2
0
,
y
2
[ ( )],
ay ay b u d
01 12 0 1
,
u
2
kbu du r r r y y d
001 12 1 1 2 3 1 2
( , , , , , ).
(3.44)
Полагаем, что 0 , тогда из системы уравнений (3.44) следует
dy
1
0,
dt
0
dy
2
0,
dt
0
du
1
u
,
dt
du
dt
2
0
2
kbu du r r r y y d
001 12 1 1 2 3 1 2
0
( , , , , , ).
65
(3.45)
Возвращаясь в (3.45) к исходной шкале времени t путем замены
/tt
0
, получаем уравнение подсистемы быстрых движений
du
1
,
du
dt
dt
u
2
2
kbu du r r r y y d
001 12 1 1 2 3 1 2
( , , , , , ),
(3.46)
где
( , , , , , )rrry y d рассматривается как функция с постоянны-
11 2 3 1 2
ми величинами аргументов (замороженные переменные) на интервале
времени переходных процессов в ПБД (3.46).
Характеристический полином ПБД (3.46) совпадает с выражением (3.15) и является устойчивым при 0
процессы в ПБД устойчивы и 0
, то для равновесного (квазирав-
,
0d и
1
00
0kb . Если
новесного) режима ПБД получим
s
0,
u
2
0 ( , , , , , ).
ss
kbu du r r r y y d
001 12 1 1 2 3 1 2
Следовательно,
1
s
ub rrryyd
.
10112312
( , , , , , )
Таким образом, из системы (3.43) при равновесном режиме ПБД
(3.46) получаем вырожденную систему уравнений вида
dy
1
,
y
2
dt
dy
2
ay ay b u d
dt
0,
0 ( , , , , , ).
01 12 0 1
s
u
2
ss
kbu du r r r y y d
001 12 1 1 2 3 1 2
s
,
(3.47)
66
Исключая
s
s
D
( , , , , , )rrry y d
11 2 3 1 2
u
1
Так как
11 2 2 3 2
u
и
из (3.47), а также учитывая вид функции
2
, получаем уравнения ПМД:
dy
1
,
y
2
dt
dy
dt
,,er yer yer y
21
2
[] [ ].
Try aTry r
11 1 2 2 3
(3.48)
d
, то из системы (3.48) следует
уравнение ПМД в виде
(2) 1 (1) 2
d
eaTeTe
1
0
, (3.49)
которое совпадает с эталонным уравнением для желаемого поведения
ошибки регулирования. Характеристический полином для (3.49) имеет
тот же вид, что и характеристический полином (3.20).
3.5. СВОЙСТВА ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Учитывая обозначения (3.23), представим уравнения следящей си-
стемы (3.41) в изображениях Лапласа в следующем виде:
() ()[() ()]ys G s us ds, 0( )() ()()
ОУ
Dsus kAses . (3.50)
d
Соответствующая структурная схема показана на рис. 3.3.
d
()
As
s
()
k
0
ОУ
()Gs
Рис. 3.3. Структурная схема системы (3.50)
67
Из структурной схемы на рис. 3.3 получим передаточные функции,
D
D
D
отражающие влияние задающего воздействия r :
d
()
yr
Gs
er
Gs
ur
()
rs
es D sAs
() ( ) ()
() ,
rs
()
us
()
() .
rs
()
()
ys
() ,
Gs
Askb
sAs A skb
()() ()
00
d
sAs A skb
()() ()
d
AsAsk
sAs A skb
()() ()
d
() ()
d
0
00
(3.51)
00
00
В силу свойства (3.31) для малых из передаточных функ-
ций (3.51) получим соотношения
d
()
Gs
Gs
Gs
yr
() ,
er
() .
ur
() [ ( ) ]
rs D s kb
() ( ) ()
es D sAs
()
rs
()
us
() [ ( ) ]
rs D s kb
()
ys
() ,
Askb kb
[( ) ] ()
Ds kbAs
00 00
d
00
[( ) ] ()
Ds kbAs
d
() () ()
AsAsk Ask
[( ) ] ()
Ds kbAs
d
00
00
d
00
00
(3.52)
00
Замечание 3.7. Реакция выхода y на изменение величины задаю-
щего воздействия r в следящей системе определяется свойствами
подсистемы быстрых движений, что следует из выражения для переда-
точной функции ()
Замечание 3.8. Передаточные функции (), (), ()
Gs в (3.52).
yr
GsGsGs
yd ed ud
имеют вид (3.25), т. е. свойства систем на рис 3.2 и 3.3 по отношению к
влиянию возмущающего воздействия d являются одинаковыми.
Из выражения (3.51) найдем величину скоростной ошибки для си-
стемы на рис. 3.3 в режиме линейной заводки по задающему сигналу ()rt , где () 1()rt t t , соответственно
() 1/rs s . Получаем
2
2
Tda
lim () lim ()() .
(3.53)
eetsGsrs
rer
ts
0
68
10
kb
00
Величина скоростной ошибки для системы на рис. 3.3 в режиме
линейной заводки по возмущающему сигналу ()dt совпадает с (3.35).
Рассмотрим задающий сигнал ()rt в виде единичного ступенчатого
воздействия, где () 1()rt t
, соответственно () 1/rs s. Тогда получаем,
что в системе на рис. 3.3 управляющий сигнал имеет разрыв первого
рода при
, так как из (3.51) следует
0t
(0)lim()lim ()()
ut ut sG srs
0
ts
ur
k
0
.
2
Замечание 3.9. В рассматриваемой следящей системе управления
рекомендуется задать
1/kb
00
,
1
d
2d
и
2
a
, а величину параметра
1
выбирать в соответствии с требованием на ошибку слежения (ско-
ростную ошибку). Затем осуществляется выбор постоянной времени
T в соответствии с требованием на степень разделения темпов быст-
рых и медленных движений, например, полагаем T
, где 10 .
Замечание 3.10. Представление ПИД-регулятора в форме (3.37)
позволяет явно раскрыть взаимосвязь параметров регулятора с показателями качества быстрых и медленных процессов в замкнутой системе.
Запись ПИД-регулятора в форме (3.39) приводит к утрате ясности в
этих взаимосвязях в силу сложности соотношений (3.40).
3.6. АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ЗАПАЗДЫВАНИЯ
В КАНАЛЕ УПРАВЛЕНИЯ
Введем в модель объекта управления (3.1) запаздывание в канале
управления, получим
() () () [ ( ) ()]yt ayt a yt b ut dt
100
. (3.54)
Используя методику [66, 68, 69], рассмотрим свойства системы с объектом управления вида (3.54) и алгоритмом управления (3.4):
() () () [ ( ) ()],
yt ayt a yt b ut dt
100
2(2) (1) 2 1(1) (2)
() () [ () ()] () () .
utdutkTrtyt aTytyt
10 1
69
d
(3.55)
Записывая систему (3.55) в форме Коши, можно получить уравне-
s
p
ния ПБД и ПМД полностью аналогично, как это было показано для
системы уравнений (2.51). Опуская промежуточные выкладки, запишем уравнение ПБД
2(2) (1)
() () ( ) ()utdutkbut k t, (3.56)
10000
21(1)
где
00110
() [ () ()] () () ()
tTrt yt ayt aaT ytbdt
d
. Подоб-
но выражению (2.56) характеристический полином для ПБД (3.56)
имеет вид
As sdskbe
ÏÁÄ
22
()
. (3.57)
100
Из операторной формы записи (3.56) получим
k
() () ()
ut be ut t
0
22
pdp
1
p
00
. (3.58)
Аналогично (2.59) имеем передаточную функцию разомкнутой ПБД:
раз
()
Gp e
ПБД
Рассматривая годограф Найквиста для (3.59), найдем частоту среза
kb
jj d
00
()
cc1
e
j
c
и запас устойчивости по фазе
kb
00
22
pdp
1
, т. е.
1
в данной ПБД:
0
kb d
00 c c 1
. (3.59)
:
c
22 2
, (3.60)
Если задать значение параметра
устойчивости по фазе
0,5 arctg( / )d
. (3.61)
0cc1
d и желаемую величину запаса
1
, где 00/2
0
, то совместное решение
уравнений (3.60) и (3.61) позволит вычислить минимальное допустимое
значение параметра
, которое обусловлено наличием запаздывания .
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]