Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Многоканальные системы управления. Синтез линейных систем с разнотемповыми процессами. Учебное пособие
.pdf
Возвращаясь в (2.12) к исходной шкале времени t путем замены
s
s
/tt
0
, получаем уравнение подсистемы быстрых движений
du
yr и d рассматриваются как постоянные величины (заморожен-
где ,
kbu k T r y ay bd
dt
00 0 0 0
1
[]
, (2.13)
ные переменные) на интервале времени переходных процессов в
ПБД (2.13).
Характеристический полином ПБД (2.13) имеет вид
Так как 0
, то устойчивость ПБД имеет место при
процессы в ПБД устойчивы и 0
новесного) режима ПБД получим
s
ubTryaybd
()Asskb
ПБД 00
. (2.14)
00
, то для равновесного (квазирав-
uu
, где
11
000
()
. (2.15)
0kb
. Если
Равновесному режиму ПБД (2.13) соответствует следующая вырожденная система уравнений:
dy
ay b u d
dt
0[].
00
kbu k T r y ay bd
00 0 0 0
s
(),
s
1
(2.16)
Исключив
u из (2.16), получим уравнение подсистемы медленных
движений (ПМД)
dy
1
[]
Try
, (2.17)
dt
которое совпадает с эталонным уравнением, где характеристический
полином ПМД (2.17) имеет вид
1
()AssT
ПМД
. (2.18)
31
После затухания быстрых процессов в системе (2.10) ее поведение
описывается уравнением ПМД (2.17), решения которого удовлетворяют свойству (2.2), тем самым обеспечивается стабилизация выхода
объекта управления вида (2.1) при отсутствии полной информации о
параметрах модели объекта управления и внешних возмущениях.
Замечание 2.1. Если принять коэффициент усиления
личине
выбор параметра
1/b , то полином (2.14) примет вид
0
осуществляется исходя из требования на степень
ПБД
() 1Ass
k равным ве-
0
. При этом
разделения темпов движений между процессами в ПБД и ПМД.
Например, полагаем /T
, где – степень разделения темпов
движений, 10 .
Требование на разделение темпов быстрых процессов по отноше-
нию к темпу собственных процессов в объекте управления вида (2.1)
1
можно учесть дополнительным условием
a
.
0
На практике, в зависимости от параметров модели объекта управления, а также величины и темпа возмущающих воздействий целесообразно увеличивать степень разделения темпов движений, например,
полагая 20 , 30 . Выбор параметра T осуществляется исходя из
требования на желаемое время переходных процессов по выходной
переменной ()yt .
Замечание 2.2. Отметим, что выбор
1kb удобен для упрощения процедуры расчета параметров регуля-
00
k в соответствии с условием
0
тора, но не является строго обязательным. Более того, такой выбор
может быть невозможен при отсутствии точных данных о величине
коэффициента
b . Важно обеспечить условие
0
диапазоне изменений параметра
b
0
, где
0/T
во всем
ПБД
ПБД 00
/( )kb и
0 bbb.
0min 0 0max
Замечание 2.3. В данной методике анализа используется свойство
сингулярно-возмущенных систем дифференциальных уравнений, состоящее в том, что из устойчивости быстрых процессов и устойчивости медленных процессов, при достаточно большой степени разделения темпов этих процессов, следует устойчивость процессов в
исходной замкнутой системе [26–28, 90, 91, 116].
32
Замечание 2.4. Управляющее воздействие suu, заданное функци-
J
F
s
s
s
s
ей (2.15), соответствует точному решению обратной задачи динамики
[29], которое можно получить также из условия равенства правой ча-
сти выражений (2.1) и (2.17) для производной /dy dt при наличии
полной информации о параметрах модели объекта управления и внеш-
них возмущениях, т. е. путем решения уравнения
1
[] ( )Try aybud
Замечание 2.5. Пусть
жение правую часть (2.1), получим
() 0,5 (),
Задавая функционал
ueu
управления (2.5) в виде
.
00
1(1)
eTryy
F
[]
() [ ] ( )
eu T ry aybud
F
2
можно представить алгоритм
F
()/ukJu u
0
, т. е.
. Подставляя в это выра-
1
uk e ue
00
[/]
0
F
. Та-
ким образом, алгоритм управления (2.5) следует из структуры алгоритма оптимизации первого порядка (1.22) в методе градиентного
спуска [73, 74, 111, 112].
2.3. СВОЙСТВА ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
СИСТЕМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ
С целью более детального анализа свойств обсуждаемой замкнутой
системы рассмотрим передаточные функции, которые следуют из
структурной схемы на рис. 2.1 [82].
Обозначим
1/cT . Получаем следующие выражения:
.
yr
Gs
er
rs
()
es
()
() ,
rs
()
ys
()
Gs
Gs
() ,
yd
ur
ds
()
us
()
() .
rs
()
2
2
2
2
()
ys
() ,
Gs
kbc
00
kb a s ckb
()
00 0 00
2
skbas
()
00 0
kb a s ckb
()
00 0 00
bs
0
kb a s ckb
()
00 0 00
ck s a
()
00
kb a s ckb
()
00 0 00
33
(2.19)
С целью упрощения дальнейшего анализа полагаем
s
s
s
s
s
s
1kb
, (2.20)
00
тогда из (2.19) следует
Gs
() ,
yr
Gs
() ,
er
Gs
Gs
() ,
yd
() ,
ur
c
2
(1 )
2
2
2
ck s a
2
asc
0
as
(1 )
0
(1 )
asc
0
bs
0
(1 )
asc
0
()
00
(1 )
asc
0
(2.21)
где справедливо равенство
() ()
Gs Gs
ed yd
. (2.22)
Характеристический полином данной системы представим в виде
2
(1 ) ( )( )
asc s s s s , (2.23)
012
где
(1 ) (1 ) 4
aac
s
1
00
2
2
, (2.24)
(1 ) (1 ) 4
aac
s
2
00
2
34
2
. (2.25)
Если 0 , то из (2.24) и (2.25) следует
s
s
s
4
c
11
11
lim lim .
(2.27)
2
00
sa
10
a
(1 )
ca a
42(1 )
1
0
2
ac
(1 ) 4
00
2
0
22
(1 )
2
2
a
0
, (2.26)
1
aca
(4 2 )
00
2
В соответствии с (2.26) и (2.27) для малых справедливо
c
2
(1 ) ( 1)( )
. (2.28)
asc s sc
0
Учитывая свойство (2.28) при малых , получаем для передаточных
функций (2.21) следующие предельные свойства:
() ,
Gs
yr
() ,
Gs
er
Gs
Gs
() ,
yd
() .
ur
cc
(1)()()
sc sc
s
(1)()
ssc
(2.29)
bs
0
ssc
(1)()
ck s a
()
00
ssc
(1)()
Вычислим величину скоростной ошибки в системе на рис. 2.1 для
режима линейной заводки по задающему сигналу ()rt , где
() 1()rt t t , тогда
() 1/rs s . Из (2.19) следует
eetsGsrsT
lim () lim ()() 1 .
rer
ts
2
a
0
0
kb
(2.30)
00
35
Вычислим величину скоростной ошибки в системе на рис. 2.1 для ре-
жима линейной заводки по возмущающему сигналу ()dt , где
() 1()dt t t , тогда
() 1/ds s . Из (2.19) и (2.22) получим
2
eetsGsds sGsdsT
(2.31)
lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) .
dedyd
ts s
00
1
k
0
Рассмотрим задающий сигнал ()rt в виде единичного ступенчатого
воздействия, где () 1()rt t
, соответственно () 1/rs s. Получаем, что в
системе на рис. 2.1 управляющий сигнал не имеет разрыва первого рода при
0t , так как из (2.19) следует
(0)lim()lim ()()
ut ut sG srs
0
ts
lim 0.
2
s
skbasckb
ur
()
ck s a
00
()
00 0 00
(2.32)
Замечание 2.6. Реакция выхода y на изменение величины задающе-
го воздействия r в данной системе определяется свойствами подси-
стемы медленных движений, что следует из выражения для передаточной функции ()
Gs в (2.29).
yr
Замечание 2.7. Из выражения (2.30) следует, что для уменьшения
скоростной ошибки по задающему сигналу ()rt в системе на рис. 2.1
необходимо уменьшать постоянную времени T для эталонного уравнения вида (2.17). Тогда для обеспечения заданной степени разделения темпов быстрых и медленных процессов в системе требуется одновременно уменьшать и постоянную времени
. В результате, в
соответствии с (2.7) происходит существенное увеличение коэффициентов усиления регулятора, что усложняет его практическую реализацию. По этой причине в следующем разделе рассматривается
структура регулятора, которая позволяет обеспечить существенно
меньшую ошибку слежения при тех же количественных величинах
параметров регулятора.
36
2.4. СИНТЕЗ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
s
I
s
p
Рассмотрим модель объекта (2.1) с регулятором вида
(1) 1 (1)
0
,ukTee
(2.33)
где ery, – малый положительный параметр. Заметим, если
приравнять правую часть (2.33) нулю, то получим эталонное уравне-
ние для желаемого поведения ошибки регулирования
.
0Te e
Выполняя преобразование Лапласа для (2.33) при нулевых начальных условиях, получим
kk
1
() ()
us es
00
Ts
, (2.34)
где выражение (2.34) соответствует структуре ПИ-регулятора. Передаточную функцию регулятора (2.34) можно записать в виде
Gs
c
Ts s s
kkk k
1
000 0
() ,
Tsc
(2.35)
1
где 1/cT . Передаточную функцию (2.35) также можно представить
в виде
k
p
Gs k
()
ci
i
, (2.36)
где
k и
I
k связаны соотношениями (2.7).
i
i
Структурная схема системы (2.1) с регулятором вида (2.34) показа-
на на рис. 2.2.
С целью анализа процессов в следящей системе управления в соот-
ветствии с (2.1) и (2.33) рассмотрим уравнения замкнутой системы
(1)
yaybud
ukTee
00
(1) 1 (1)
0
37
(),
(2.37)
.
k
1
0
Ts
k
0
Рис. 2.2. Схема системы (2.1) с регулятором вида (2.34)
ОУ
()Gs
Так как ery и ery
Замена y
во втором уравнении системы (2.38) на правую часть перво-
, то из (2.37) получим
(1)
yaybud
00
(1) 1 (1) (1)
ukTryry
() .
0
(),
(2.38)
го уравнения данной системы приводит к системе уравнений вида
(1)
yaybud
(1) 1 (1)
ukbukTryraybd
00
00 0 0 0
(),
() ,
(2.39)
где предполагается, что скорость изменения задающего воздействия ()rt ограничена некоторой величиной, т. е.
(1)
constr .
Структура системы уравнений (2.39) аналогична структуре системы
уравнений (2.10) и относится к классу сингулярно-возмущенных систем дифференциальных уравнений [13, с. 266], где при уменьшении
параметра в решениях данной системы формируются быстрые и
медленные процессы. Анализ свойств таких систем также может быть
выполнен на основе метода разделения движений [18, 26–28, 57], применяя который можно
выделить уравнения подсистем быстрых и медленных движений полностью аналогичным образом, как это было показано в предыдущем подразделе.
38
Из системы уравнений (2.39) следует, что если 0
s
s
, то быстрые и
медленные процессы возникают в системе (2.39). Соответствующее
уравнение подсистемы быстрых движений (ПБД) имеет вид
(1) 1 (1)
где
, , , ydrr являются замороженными переменными на интервале
(1)
00 0 0 0
()ukbukTryraybd
, (2.40)
времени переходных процессов в ПБД (2.40).
Так как > 0, то устойчивость ПБД имеет место при
процессы в ПБД устойчивы и 0
новесного) режима ПБД получим
11 (1)
s
ubTryr aybd
000
, то для равновесного (квазирав-
uu, где
()
. (2.41)
00
0kb . Если
Равновесному режиму ПБД (2.40) соответствует система уравнений
(1)
yaybud
0().
Исключив
u вида (2.41) из (2.42), получим уравнение подсистемы мед-
ленных движений
00
kbu k T r y r ay bd
00 0 0 0
(1) 1 (1)
, которое представим в форме
s
(),
s
1(1)
()yTryr
(1) 1
(2.42)
0eTe
. (2.43)
Замечание 2.8. Проведенный анализ разнотемповых процессов для
системы (2.9) и системы (2.37) показал, что характеристические полиномы подсистем быстрых движений системы стабилизации и следящей
системы совпадают, а также совпадают характеристические полиномы
соответствующих подсистем медленных движений.
Замечание 2.9. Проведенный анализ на основе метода разделения
движений не позволяет явно показать различия в свойствах систем
стабилизации и систем слежения, в частности не дает полного представления о соотношениях вход-выход в замкнутой системе. Данные
различия более ясно раскрываются в следующем разделе путем анализа свойств передаточных функций в системе слежения.
39
2.5. СВОЙСТВА ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
s
s
s
s
s
s
s
s
СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Дополнительный анализ системы (2.37) выполним на основе схемы
на рис. 2.2. В соответствии с этим рисунком на основе правил преобразования структурных схем получим:
()
kb s c
Gs
Gs
() ,
yr
er
() ,
2
() ,
Gs
Gs
yd
ur
() .
2
00
2
()
kb a s ckb
00 0 00
()
ss a
0
()
kb a s ckb
00 0 00
bs
2
()
kscsa
00
()
kb a s ckb
0
kb a s ckb
00 0 00
()( )
00 0 00
(2.44)
Тогда из (2.44) при условии (2.20) будем иметь:
()
Gs
() ,
yr
() ,
Gs
er
() ,
Gs
Gs
yd
() .
ur
Учитывая свойства (2.28) при 0
sc
2
(1 )
2
2
()( )
kscsa
00
2
asc
0
()
ss a
0
(1 )
asc
0
bs
0
(1 )
asc
0
(1 )
asc
0
(2.45)
, из (2.45), получаем:
Gs
() ,
yr
ssc s
(1)()(1)
() 1
sc
ss a
()
Gs
() ,
er
ssc
(1)()
0
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]