Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Многоканальные системы управления. Синтез линейных систем с разнотемповыми процессами. Учебное пособие
.pdf
f
f
()yt
y1(t)
1
()rt
r1(t)
1
1.5
1
0.5
0
0 2 4 6 8 10 12
1
, сt
t, c.
()yt
y2(t)
2
()rt
r2(t)
2
0
1
-1
2
-2
0 2 4 6 8 10 12
, сt
t, c.
Рис. 5.7. Результаты моделирования следящей системы (5.13),
(5.26) при кусочно-постоянном виде воздействий
, ,
ff
и возмущений
20
10
0
1
0
-10
5
2
0
-20
0 2 4 6 8 10 12
10
5
0
5
-5
1
0
-10
0 2 4 6 8 10 12
1
2
3
u1(t)
1
u2(t)
f1(t )
()ft
f2(t )
()ft
()ft
f3(t )
2
()ut
()ut
, сt
t, c.
, сt
t, c.
123
, rr
12
Рис. 5.8. Результаты моделирования следящей системы (5.13),
(5.26) при кусочно-постоянном виде воздействий
, ,
и возмущений
ff
123
, rr
12
121
2
0
2
-2
0 2 4 6 8 10 12
()yt
y1(t)
1
()rt
r1(t)
1
, сt
t, c.
1
0
1
-1
0 2 4 6 8 10 12
y2(t)
2
()rt
r2(t)
2
()yt
t, c.
, сt
Рис. 5.9. Результаты моделирования следящей системы (5.13),
(5.26) при гармоническом задающем входном воздействии
()ut
u1(t)
10
0
1
0
-10
0 2 4 6 8 10 12
10
0
1
0
-10
0 2 4 6 8 10 12
1
u2(t)
2
f1(t)
1
f2(t)
2
f3(t)
()ut
()ft
()ft
()ft
3
, rr
12
t, c.
, сt
, сt
t, c.
Рис. 5.10. Результаты моделирования следящей системы
(5.13), (5.26) при гармоническом задающем входном воздей-
ствии
, rr
12
122
6. МНОГОКАНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
С ПИД-РЕГУЛЯТОРОМ
Результаты предыдущего раздела обобщаются на случай объектов
с математической моделью в виде системы линейных дифференциальных уравнений с векторным входом и векторным выходом, где вели-
равна двум. В данном случае обсуждаемая методика синтеза на основе
формирования разнотемповых процессов приводит к расчету стабилизирующих и следящих ПИД-регуляторов.
6.1. СИНТЕЗ СИСТЕМ СТАБИЛИЗАЦИИ
6.1.1. СТРУКТУРА МНОГОКАНАЛЬНОГО РЕГУЛЯТОРА
Обсуждаемая в данном разделе постановка задачи управления для
многоканальной системы управления сформулирована в разделе 5.1.
В отличие от главы 5 здесь рассматривается случай, когда представленный подход к синтезу системы управления приводит к расчету
многоканальной системы с регулятором, который состоит из согласу-
ющей матрицы
Из уравнений (5.1) следует
K и p одноканальных ПИД-регуляторов.
0
yCAxCBuCf w
y CA x CABu CBu CAf Cf w
2
Предположение 6.1. Полагаем, что
т. е. CB O , и одновременно справедливо свойство det 0CAB
,
(6.1)
.
является нулевой матрицей,
CB
, т. е.
индекс обратимости для каждой компоненты вектора выхода равен
двум [97, 101, 102].
123
Сформируем эталонное уравнение для желаемого поведения векто-
p
p
p
p
D
p
ра выхода в виде
12 2d
yATyTyTr
, (6.2)
где
diag{ , , }
TTT ,
1
ddd
diag , ,
Aaa , 0
.
1
1, , ip
T , 0
i
d
a
i
Характеристический полином эталонного (желаемого) уравнения (6.2)
имеет вид
p
()
As saTsT
.
ЭУ
i
1
d
212
ii i
Для решения задачи стабилизации выхода системы (5.1) рассмотрим в данном случае структуру алгоритма управления в виде следующей системы дифференциальных уравнений:
2(2) (1) 2 1(1) (2)
uDuTryATyy
uKu
,
0
[] ,
d
(6.3)
где
uu u
, ,
1
T
, 1diag{ , , }
p
,
diag{ , , }
dd
,
1
0
, 0
i
d 1, , ip
i
Из диагонального вида матриц
.
d
, , ,
DA T следует, что многока-
нальный регулятор (6.3) состоит их согласующей матрицы
одноканальных регуляторов вида
(2) (1) (1) (2)
где 1, , ip
221
uduTryaTyy
ii iii i i i ii i i
[] ,
. Выполняя преобразование Лапласа данного уравнения
d
при нулевых начальных условиях, получим
d
() [ () ()] () () .
us rs ys ys sys
iiiii
111 1
sd s T
ii ii i
2
T
ii
124
a
i
K и
0
Таким образом, каждый одноканальный регулятор можно представить
B
как последовательное соединение звеньев, состоящих из идеального
ПИД-регулятора и фильтра первого порядка. Практическая реализация
одноканальных регуляторов может быть выполнена в виде (3.7) или
(3.8). Общая структура системы управления соответствует схеме на
рис. 5.1.
6.1.2. АНАЛИЗ СВОЙСТВА ВНУТРЕННЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ
С целью упрощения и наглядности методики анализа свойств системы (5.1) с регулятором вида (6.3) введем новые переменные
y , 2y , z , где 1yy, 2yy и
1
zR
.
2np
Обозначим:
QC, 2QCA.
1
Тогда в условиях предположения 6.1 из уравнений (5.1) и (6.1) получим систему уравнений
,
(6.4)
,
,
3
Q
1
QQ
.
2
Q
3
где матрица
ywQx
11
yCfwQx
22
zQx
Q выбирается в соответствии с условием
3
det 0Q
, где
Представим модель объекта управления (5.1) в системе координат
y , 2y , z , используя преобразование (6.4). Получим
1
где
CAB и 1det 0B
1
(1)
yy
1
(1)
yAyAyAzBuf
2
(1)
zAyAyAzBuf
,
2
11 1 12 2 13 1
21 1 22 2 23 2
,
(6.5)
y
,
z
.
125
Условие обратимости обсуждаемой системы (5.1) дано в формули-
ровке предположения 6.1. С целью упрощения процедуры выделения
уравнений внутренней системы полагаем
yy f f
, тогда
120yz
из системы (6.5) получим уравнение внутренней системы
(1) 1
zABBAz
23 2 1 13
,
которое является устойчивым, если все собственные числа матрицы
1
ABBA
23 2 1 13
имеют строго отрицательную вещественную часть.
В дальнейшем будем полагать, что данное условие выполняется для
системы (5.1).
6.1.3. АНАЛИЗ СВОЙСТВ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ
Введем новые переменные 1uu
,
uu, тогда
(1)
2
(1)
uu.
2(2)
2
В результате представим уравнения регулятора (6.3) в виде
uKu
(1)
uu
1
(1) (1)
uDuTryATyy
22
,
01
,
2
21
212
d
(6.6)
.
Уравнения модели объекта управления вида (6.5) с регулятором
(6.6) принимают вид
(1)
yy
1
(1)
yAyAyAzBKuf
2
(1)
zAyAyAzBKuf
(1)
uu
1
(1) (1)
uDuTryATyy
22
,
2
11 1 12 2 13 1 0 1
21 1 22 2 23 2 0 1
,
2
21
212
d
,
y
(6.7)
,
z
.
126
(1)
D
Заменяя
y
в последнем уравнении на правую часть второго
2
уравнения системы (6.7), получаем
(1)
yy
1
(1)
yAyAyAzBKuf
2
(1)
zAyAyAzBKuf
(1)
uu
1
(1)
uBKuDu ryyzf
2
,
2
11 1 12 2 13 1 0 1
21 1 22 2 23 2 0 1
,
2
, , , , ,
101 2 5 1 2
,
y
,
z
y
(6.8)
где
22 1
, , , , .
ry y zf T r T A y AT A y Az f
512 111 12213
Полагаем, что
нальной матрицы
yy
i
играют роль малых параметров в системе (6.8).
0
для всех 1, , ip
d
, тогда элементы диаго-
Соответственно уравнения замкнутой системы (6.8) относятся к классу
сингулярно-возмущенных систем дифференциальных уравнений.
Применяя метод разделения движений, получим из системы (6.8)
уравнения ПБД:
(1)
uu
1
(1)
uBKuDu ryyzf
2
,
2
, , , , ,
101 2 5 1 2
(6.9)
y
, , , ,
где
ми аргументами
ry y zf рассматривается как функция с замороженны-
512
y
, , , ,
ry y zf на интервале времени переходных
12
y
процессов в системе (6.9).
Устойчивость процессов в ПБД (6.9) обеспечивается выбором параметров матриц
и 0K . В частности, если принять
KB
1
, то ха-
01
рактеристический полином ПБД (6.9) примет вид
p
() 1
As sds
ПБД
22
.
iii
1
i
127
В условиях предположения устойчивости ПБД (6.9), где
s
B
B
s
B
для всех 1, , ip
, квазиравновесному режиму ПБД (6.9) соответ-
i
ствует управляющее воздействие вида
lim ( )
uu
11
0
1
22 1
KTrTAyATAyAzf
10 11 1 12 2 13
d
(6.10)
,
y
где из уравнений (6.8) следует вырожденная система уравнений вида
(1)
,
2
11 1 12 2 13 1 0 1
21 1 22 2 23 2 0 1
s
0,
u
2
ss
Ku Du r y y z f
0 , , , , .
101 2 5 1 2
s
,
y
s
,
z
y
(6.11)
Исключая
yy
1
(1)
yAyAyAzBKuf
2
(1)
zAyAyAzBKuf
u
из (6.11), получаем уравнения подсистемы медленных
движений (ПМД):
0
(1)
yy
1
(1)
yTryATy
2
(1) 1
zABBAzryyzff
,
2
21
23 2 1 13 6 1 2
d
12
,
, , , , , ,
(6.12)
yz
где
, , , , ,
ry y zf f Ay A y f
612 211222
12 2 1
BTrT Ay AT Ay f
21 11 1 12 2
yz z
d
y
.
Первые два уравнения в системе (6.12) соответствуют эталонному
уравнению (6.2), в силу свойств которого обеспечивается требова-
128
ние (5.2) для процессов в ПМД. Характеристический полином для
s
(6.12) есть произведение двух полиномов
() () ()AsAsAs,
ПМД ЭУ внутр
1
где
() det
As sI ABBA
внутр 2232113
np
.
Таким образом, в ПМД (6.12) процессы по выходной переменной
y соответствуют устойчивому эталонному уравнению (6.2), в силу
свойств которого обеспечивается стабилизация выхода y и автономность каналов управления.
Замечание 6.1. Третье уравнение в системе (6.12) описывает про-
цессы во внутренней подсистеме для переменной
z . Для устойчивости
процессов во внутренней подсистеме необходимо и достаточно, чтобы
1
все собственные числа матрицы
ABBA
23 2 1 13
имели строго отрица-
тельную вещественную часть.
Замечание 6.2. Устойчивость процессов во внутренней подсистеме
является достаточным условием ограниченности управляющего воздействия
u в выражении (6.10), которое соответствует квазиравно-
1
весному режиму ПБД (6.9).
Замечание 6.3. Расчет параметров многоканального регулятора
(6.3) на основе формирования в замкнутой системе разнотемповых
процессов включает следующие этапы:
1) проверку свойства обратимости системы (5.1) (предположе-
ние 6.1);
2) проверку свойства внутренней устойчивости системы (5.1) (за-
мечание 6.1);
3) выбор матрицы
K , например,
0
4) выбор коэффициентов
d исходя из требования на степень демп-
i
KB
фирования переходных процессов в ПБД, выбор коэффициентов
1
;
01
d
a
ис-
i
ходя из требования на степень демпфирования переходных по выходным переменным
5) выбор постоянных
y , например, полагаем 2 1, ,
i
T исходя из требования на желаемое время
i
переходных процессов по выходным переменным
d
da i p ;
ii
y ;
i
129
6) выбор постоянных
p
ния движений между процессами в ПБД и ПМД, например,
исходя из требования на степень разделе-
i
T
ii
/
,
где 10 .
6.2. СИНТЕЗ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
6.2.1. СТРУКТУРА МНОГОКАНАЛЬНОГО РЕГУЛЯТОРА
В обсуждаемой методике синтеза в условиях предположения 6.1
можно рассмотреть два способа, позволяющих уменьшить скоростную
ошибку по задающему воздействию ()rt в многоканальной системе
управления.
Первый способ состоит в использовании эталонного уравнения,
процессы в котором удовлетворяют условию астатизма второго порядка [74, с. 51],
12 12
dd
yATyTyATrTr
.
(6.13)
Соответственно уравнения модифицированного алгоритма управления
принимают вид [74, с. 54]
uKu
,
0
2(2) (1) 2 1 (1) (1) (2)
uDuTryATry y
[] [ ] .
d
(6.14)
Из диагонального вида матриц , , ,
ный регулятор в данном случае состоит их согласующей матрицы
одноканальных ПИД-регуляторов, которые реализуемы без при-
и
d
DA T следует, что многоканаль-
K
0
менения операции идеального дифференцирования и имеют следующий вид:
(2) (1) (1) (1) (2)
221
uduTryaTry y
ii iii i i i i i i i i
[] ,
1, , .
ip
d
(6.15)
Замечание 6.4. Аналогично уравнению (3.4) алгоритм управления
(6.15) при его практической реализации можно представить в виде си-
стемы двух дифференциальных уравнений на основе процедуры перехода к наблюдаемой канонической форме [1, 39, 84].
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]