Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Многоканальные системы управления. Синтез линейных систем с разнотемповыми процессами. Учебное пособие
.pdf
Принимая во внимание (7.21), (7.23) и (7.24), исключаем вектор su
s
в системе (7.25), в результате получаем уравнения ПМД:
(1)
yy i pj
,,1
ij ij i
(1)
yTryaTy aTy
,
i
i
(1)
zABBAz
, 1, , , 1, , 1,
ii
[] ,
iii iii i ii
()
22 2
ABB AYBB Ff f
12 1 2 *
1
dd
,1 ,1 , 2 , 1 ,
*1*
*1* *1
() () .
1
ii
y
(7.26)
z
Характеристический полином ПМД (7.26) имеет вид
() () ()AsAsAs,
ПМД ЭУ внутр
где
*1*
() det ( )
As sIABBA
внутр 22 2
nl
,
As A s
ЭУ ,ЭУ
p
() ()
i
1
i
.
Замечание 7.3. Для устойчивости внутренней подсистемы необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа матрицы
*1*
22 2
()ABB A
имели строго отрицательную вещественную часть,
что справедливо в силу предположения 7.2.
Замечание 7.4. Из выражения (7.24) следует, что устойчивость процессов во внутренней подсистеме является достаточным условием
ограниченности управляющего воздействия ,
u соответствующего
квазиравновесному режиму ПБД.
Замечание 7.5. Расчет параметров многоканального регулятора (7.15) на основе формирования в замкнутой системе разнотемповых
процессов при решении задачи стабилизации выхода системы (5.1)
включает следующие этапы:
1) проверку свойства обратимости системы (5.1) (предположе-
ние 7.1);
2) проверку свойства внутренней устойчивости системы (5.1) (за-
мечание 7.2);
3) выбор матрицы
4) выбор коэффициентов
K , например, вида
0
d исходя из требования на демпфиро-
,ij
вание переходных процессов в ПБД, выбор коэффициентов
*1
()KB
;
0
a исходя
,dij
151
из требования на демпфирование переходных процессов по выходным
переменным
5) выбор постоянных
переходных процессов по выходным переменным
6) выбор постоянных
ния движений между процессами в ПБД и ПМД, например, /
y ;
i
T исходя из требования на желаемое время
i
y ;
i
исходя из требования на степень разделе-
i
T,
ii
где 10 .
Из уравнений ПМД (7.26) следует, что поведение каждой i -й компоненты вектора выхода соответствует эталонному уравнению (7.14),
соответственно обеспечивается свойство (5.2) для процессов в ПМД.
Таким образом, после затухания быстрых процессов в замкнутой
системе доминируют медленные процессы и при этом формируются
желаемые показатели качества переходных процессов по каждой компоненте
y
. Одновременно обеспечивается автономность каналов
i
управления в силу независимости эталонных уравнений каналов
управления.
Замечание 7.6. После затухания быстрых процессов в системе
(7.18) поведение выхода
y в i-м канале управления описывается урав-
i
нением (7.14), из свойств которого следует, что скоростная ошибка по
задающему воздействию
r пропорциональна величине параметра iT .
i
7.3. СИНТЕЗ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
7.3.1. АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ
При синтезе высокоточных следящих систем управления для многомерных объектов управления можно рассмотреть два способа
уменьшения величины скоростной ошибки по задающему воздействию ()rt . Первый способ состоит в формировании эталонного урав-
нения для желаемого поведения i-й компоненты вектора выхода с учетом требования на астатизм заданного порядка:
() ( 1) 2 1
ddd
ii iii
yaTy aTyaTyTy
iiii iiiiiiii
ddd
aT r aT r aT r T r
,,2,1
ii i ii i ii i i i
1
,1 ,2 ,1
i
() 2 1
ii i i i i
i
152
(2) (1)
(2) (1)
,
где
. Соответственно уравнения модифицированного алгоритма
ii
управления принимают следующий вид:
uKu i p
где
,1, , ,
0
qq q q
() 1( 1)
ii i i
ud u du
ii iq i i iii
ddd
ii i i i i
aT r aT r aT r T r
,,2,1
ii i ii i ii i i i
i
() ( 1) 2 1
ii ii
yaTy aTyaTyT
iiii iiiiiii
q
. Обобщенная структура системы управления (7.9), (7.27)
ii
,1 ,1
i
() 2 1
i
1
ddd
,1 ,2 ,1
(1)
(2) (1)
(2) (1)
(7.27)
i
,
y
i
соответствует схеме на рис. 5.1.
Если представить систему (5.1) с помощью преобразования координат (7.6)–(7.8) в виде (7.9), то анализ свойств замкнутой системы (7.9), (7.27) выполняется полностью аналогично предыдущему случаю, как это было показано в разделе 7.2. Выражения для
характеристических полиномов ПБД и ПМД при этом совпадают с соответствующими полиномами
для ПБД и ПМД системы (7.20).
Второй способ уменьшения величины скоростной ошибки по задающему воздействию ()rt состоит в формировании алгоритма управле-
K
ния в виде согласующей матрицы
и p одноканальных регуляторов
0
(компенсаторов) следующего вида:
uKu i p
, 1, , ,
0
qq q q
() 1( 1)
ii i i
ud u du
ii iq i i iii
() ( 1) 2 1
eaTe aTeaTeTe
iiii iiiiiiii
ddd
ii iii
,1 ,2 ,1
,1 ,1
i
1
i
(1)
(2) (1)
(7.28)
.
В данном случае одноканальный регулятор в изображениях Лапласа при нулевых начальных условиях можно представить в виде
d
()
As
() ()
us es
ii
i
()
Ds
ii
, (7.29)
где
qq q q
()
Ds s d s d s
,
ii i iq i ii
ii i i
,1 ,1
i
153
11
dd dd
As s a Ts aT s aT sT
iii iiiii
()
ii iii
.
,1 ,2 ,1
i
12 1
12
Если задать
d и
,ij
a в виде коэффициентов бинома Ньютона, из
,dij
(7.29) получим
1
()
sT
() ()
us es
ii
(1)1
s
i
i
i
q
i
. (7.30)
Далее более подробно будет рассмотрена методика анализа свойств
следящей многоканальной системы для модели объекта управления
вида (7.9) с алгоритмом управления (7.28). Обобщенная структура системы управления (7.9), (7.28) соответствует схеме на рис. 5.2.
7.3.2. АНАЛИЗ СВОЙСТВ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ
Обозначим
eeryry
eery ry
(7.31)
ee r y ry
,1 ,1 ,1
iiiiii
(1) (1) (1)
,2 ,2 ,2
iii iii
(1) (1) (1)
iii
,,,
ii i i ii
iii
,
,
.
Аналогично выражению (7.16) и принимая во внимание (7.31), представим уравнения регулятора (7.28) в виде
uKu
,
0
(1)
uu i pv q
iiv iv i
,,1
(1)
udu du
iii iqiq
iq
,
i
, 1, , , 1, , 1,
,1 , 2 , 1 ,
ii
Te aT e a Te e
ii ii i i ii
,1 ,1 , 2 , 1 ,
ii
1
dd
1
ii
154
(7.32)
(1)
.
i
,
i
Пусть система (5.1) преобразованием координат (7.6)–(7.8) пред-
ставлена в виде (7.9). Получаем уравнения замкнутой системы (7.9),
(7.32), т. е.
(1)
yy i pj
ij ij i
,,1
(1)
yaYazbKuf
,
i
i
(1)
zAYAzBKuf
(1)
uu v q
iiv iv i
,,1
(1)
udu du
iii iqiq
iq
,
i
, 1, , , 1, , 1,
***
12 0
iii i
1220
, 1, , 1,
,1 , 2 , 1 ,
ii
Te aT e a
,1 ,1 , 2 , 1
ii ii i i
y
,
z
,
ii
1
dd
1
Te e
ii
i
,
i
(1)
,
i
,
i
где
T
uuu u
, , ,
1,1 2,1 ,1
.
p
Учитывая обозначения (7.31), представим данную систему в виде
(1)
yy i pj
ij ij i
,,1
(1)
yaYazbKuf
,
i
i
(1)
zAYAzBKuf
(1)
uu v q
,,1
iiv iv i
(1)
udu du
iii iqiq
,
iq
i
i
Try aTr
ii i i ii
, 1, , , 1, , 1,
***
12 0
iii i
1220
, 1, , 1,
,1 , 2 , 1 ,
[] [
,1 ,1 , 1 ,
y
,
z
,
ii
d
1
i
ii i
(1)
].
yry
ii
,,1
i
,
i
(7.33)
С целью упрощения анализа свойств этой системы полагаем, что
матрица
K выбрана в соответствии с условием (7.17), т. е.
0
*1
()KB
.
0
155
Тогда система дифференциальных уравнений (7.33), которая описыва-
ет поведение замкнутой системы управления, принимает следующий
вид:
(1)
yy i pj
ij ij i
,,1
(1)
yaYazuf
i
,
i
(1)
zAYAzBBuf
(1)
uu v q
iiv iv i
,,1
(1)
udu du
iii iqiq
iq
,
i
i
Try aTr
ii i i ii
В результате замены
вой частью уравнения
, 1, , , 1, , 1,
**
iiii
12,1
122
,1,,1,
,1 , 2 , 1 ,
[] [
,1 ,1 , 1 ,
y
,
*1
() ,
z
y в последнем уравнении системы (7.34) пра-
i
ii
d
1
ii
(1)
,
i
(1)
yaYazuf
i
**
получим уравнения
12,1
iiii
,
i
(7.34)
(1)
].
yry
ii
,,1
ii
y
i
,
i
замкнутой системы в виде следующей сингулярно-возмущенной системы дифференциальных уравнений:
(1)
yy i pj
ij ij i
,,1
(1)
yaYazuf
,
i
i
(1)
zAYAzBBuf
(1)
uu v q
iiv iv i
,,1
(1)
uudu du
i i i i iq iq i
iq
,
i
, 1, , , 1, , 1,
**
12,1
iiii
122
, 1, , 1,
,1 ,1 , 2 , 1 ,
y
,
*1
() ,
z
(7.35)
ii
(),
где
() [ ] [ ]
iiii iii i
i
Try aTr y
,1 ,1 , 1 , ,
raYazf
,1 1 2
iiii
i
d
**
156
1
iii
y
.
0 1, ,
Полагая, что
i
ip
, используем метод разделения
движений для анализа свойств системы (7.35). Из системы (7.35) получим уравнения для ПБД:
где
(1)
uu i pv q
iiv iv i
,,1
(1)
uudu du
i i i i iq iq i
iq
,
i
()
рассматриваются как функции с замороженными аргументами
i
, 1, , , 1, , 1,
,1 ,1 , 2 , 1 ,
ii
(7.36)
(),
на интервале времени переходных процессов в (7.36).
Отметим, что характеристический полином ПБД (7.36) совпадает с
характеристическим полиномом ПБД (7.22).
В условиях предположения устойчивости ПБД (7.36), где 0
i
для всех 1, , ip , квазиравновесному режиму ПБД (7.36) соответ-
ствует управляющее воздействие вида
uu u i p
,2 ,3 ,
ii iq
lim ( ) ( ).
0
i
uu
,1 ,1
ii i i
s
0 1, , ,
i
(7.37)
Аналогично выражению (7.24) из системы уравнений (7.37) получим
s
uFAYAzf , (7.38)
**
*1 2
y
где
sss s
uuu u
i
FT r y a T r y r
ii i i i ii i i
[] [ ]
1, ,ip
, , ,
1,1 2,1 ,1
,1 ,1 , 1 , , , 1
,
T
p
d
1
iiii
FFF F
, , ,
*12
,
T
p
.
Для квазиравновесного режима ПБД (7.36) из уравнений (7.35) получаем уравнения ПМД:
(1)
yy i pj
ij ij i
,,1
(1)
где
yTry aTry r
i
,
i
(1)
zABBAz
() ( ) ( )
ABB AYBB Ff f
12 1 2 *
, 1, , , 1, , 1,
i
[] [ ],
ii i i ii i i
,1 ,1 , 1 , , , 1
() (),
22 2
*1* *1
d
*1*
1
iiii
y
(7.39)
z
.
157
Учитывая обозначения (7.31), представим уравнения ПМД в виде
B
() ( 1)
d
ii
eaTe
iiii
dd
aT e aT e T e i p
ii i ii ii i i
,2 ,1
(1)
zABBAz
22 2
1
,1
i
21
(2) (1)
iii
*1*
() ().
0, 1, , ,
(7.40)
Отметим, что характеристический полином для ПМД (7.40) совпадает с характеристическим полином для ПМД (7.26).
Замечание 7.7. Из системы (7.40) следует, что поведение ошибки
e
i
в i-м канале управления описывается эталонным уравнением
() ( 1) 2 1
ddd
ii iii
eaTe aTeaTeTe
,
iiii iiiiiiiii
1
,1 ,2 ,1
i
где свойства данного уравнения проявляются в реакции ошибки
(2) (1)
0
e
на
i
изменение внешних возмущений или начальных условий объекта
управления (5.1). В то же время вид реакции ошибки
задающего воздействия
r определяется свойствами ПБД (7.36). При
i
e на изменение
i
этом скоростная ошибка в i-м канале управления по задающему воздействию
пропорциональна величине параметра
i
.
i
r
Замечание 7.8. Необходимо отметить робастность свойств синтезированной системы управления по отношению к вариациям параметров
объекта управления. Фактически для решения задачи синтеза требуется знать индексы обратимости объекта управления, иметь оценки для
параметров матрицы
*
(матрица высокочастотных коэффициентов
усиления объекта) и должно сохраняться свойство внутренней устойчивости объекта управления при вариациях его параметров.
Замечание 7.9. Анализ внутренней устойчивости выполняется на
основе преобразования модели объекта к нормальной канонической
форме (7.9) и последующего анализа устойчивости внутренней подсистемы (7.13). Отметим, что свойство внутренней устойчивости в данном случае совпадает со
свойством устойчивости нулевой динамики
[88, 89]. Обсуждаемая в работах [88, 89] каноническая форма может
быть получена как частный случай канонической формы (7.9) при
158
дополнительном условии, что
B
p
Q в преобразовании (7.8) должна формироваться с учетом дополни-
1
тельного требования
QBO
1p
есть нулевая матрица, т. е. матрица
2
.
Замечание 7.10. В данном разделе была представлена унифицированная методика синтеза регуляторов на основе формирования разнотемповых процессов в замкнутой системе для многомерных линейных
систем, которые удовлетворяют рассмотренным выше условиям обратимости и свойству внутренней устойчивости. В частности, приведены
рекомендации для выбора структур алгоритмов управления при решении задачи стабилизации выхода
и задачи синтеза высокоточных следящих систем управления. Повышение точности регулирования, степени автономности каналов управления и степени подавления влияния
внешних возмущений обеспечивается за счет увеличения степени разделения темпов формируемых быстрых и медленных процессов путем
уменьшения параметров
.
i
Замечание 7.11. В рассмотренных выше численных примерах динамический порядок регуляторов и порядок относительной старшей
производной совпадают, т. е.
q . В общем случае
ii
q , где ди-
ii
намический порядок регуляторов выбирается с учетом требования на
степень подавления высокочастотных помех измерения [74, с. 79].
7.4. АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ЗАПАЗДЫВАНИЯ
В КАНАЛЕ УПРАВЛЕНИЯ
Рассмотрим уравнения для модели объекта управления с запазды-
ванием в канале управления:
(1)
( ) ( ), 1, , , 1, , 1,
yt y t i pj
ij ij i
,,1
(1)
() () () ( ) (),
()[( ), , ( )]
ut u t u t , 0 1, ...,
где
ytaYtaztbut ft
i
,
i
(1)
() () () ( ) (),
zt AYtAztBut ft
11
***
iii i
12
122
y
pp
T
i
z
ip .
159
(7.41)
Уравнения модели объекта управления (7.41) с регулятором (7.16)
принимают следующий вид:
(1)
() (), 1, , , 1, , 1,
yt y t i pj
ij ij i
,,1
(1)
() () () ( ) (),
ytaYtaztbKut ft
,
i
i
(1)
() () () ( ) (),
zt AYtAztBKut ft
(1)
( ) ( ), 1, , , 1, , 1,
utu t i pv q
iiv iv i
,,1
(1)
()
ut d
ii
iq
,
i
ii
T rtyt aT yt a Ty ty t
ii i iii i ii
uuu u
где
***
12 0
iii i
1220
() ()
ut d u t
,1 , 2 , 1 ,
iiqiq
[ () ()] () () (),
1,1 2,1 ,1
,1 ,1 , 2 , 1 ,
, , ,
. Полагаем, что
y
z
dd
p
1
T
ii
1
ii
*1
()KB
0
, тогда систе-
ма (7.42) принимает вид
(1)
() (), 1, , , 1, , 1,
yt y t i pj
ij ij i
,,1
(1)
() () () ( ) (),
ytaYtaztut ft
,
i
i
(1)
() () () ( ) ( ) (),
zt AYtAztBB ut ft
(1)
( ) ( ), 1, , , 1, , 1,
utu t i pv q
iiv iv i
,,1
**
12,1
iiiii
122
y
*1
z
(1)
,
i
(7.42)
i
(7.43)
(1)
()
ut
i
iq
,
i
ii
[ () ()] () () ().
T rtyt aT yt a Ty ty t
ii i iii i ii
() ()
du t d u t
,1 , 2 , 1 ,
i i iq iq
,1 ,1 , 2 , 1 ,
dd
ii
1
160
1
ii
(1)
,
i
i
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]