Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Инновационный подход в управлении проблемы, решения и перспективы. Монография
.pdf
ность и наблюдаемость) служат основой исследования самоорганизации и коэволюции сложных систем.
Сильными сторонами синергетики являются ее междисциплинарность, предполагающая совместное исследование
некоторого явления с точки зрения различных научных дисциплин и трансдисциплинарность, заключающаяся в использовании идей и методов одной научной дисциплины в других,
весьма далеких от нее дисциплинах. Сегодня синергетика
предоставляет свои методы и подходы для развития и становления новых научных направлений в самых различных областях знания.
4.2. Математический аппарат синергетики
Понятно, что уравнения, используемые для описания вопросов, связанных с проблематикой самоорганизации, должны
содержать в качестве основного параметра время. Причина
этого в том, что необходимо исследовать преобразование системы со временем, иначе говоря, уравнения, используемые
для описания вопросов, связанных с проблематикой самоорганизации, должны быть «эволюционными». Описание изменений в системе во времени требует, чтобы эти уравнения включали производные по времени от переменных величин, поэтому они должны быть дифференциальными. Во многих случаях
характер изменения исследуемых величин зависит от текущего
состояния системы. Уравнения такого типа нередко используются в естественных науках, например в химии, если скорость
изменения вещества q пропорциональна концентрации q, или
в изменении популяций, где q представляет собой количество
особей. Главная особенность синергетических уравнений в
том, что уравнения синергетики нелинейны.
В качестве популярного примера используемых в синергетике моделей могут быть приведены уравнения ЛоткиВольтерра, описывающие эволюцию биологической системы
«жертвы-хищники»:
181
1 1 1 2
2 1 2 2
;
,
q aq q q
q q q q
1
q
2
q
12
;
a
qq
где
– количество жертв;
– количество хищников.
Из этих уравнений очевидно, что взаимодействие частей
системы описывается нелинейной зависимостью. Решение
данных уравнений стационарно
,
оно может изменить устойчивый характер, и тогда эта система
перейдет на циклическое поведение.
В ранее описанной системе автоматически поддерживается в неизменности соотношение численности популяций.
Модель Лотки-Вольтерра имеет большую область приложений, похожими уравнениями описываются колебания спроса и
предложения в паутинной модели и другие экономические
циклы.
Вторая по важности особенность уравнений синергетики
состоит в том, что параметры, входящие в них, могут быть
преобразованы при изменении внешних факторов, ими возможно управлять, меняя внешние к представленной системе
факторы. В эконометрике эти параметры называются управля-
ющими параметрами. Очевидно, что этими величинами
управляющих параметров предстоит определять режимы поведения популяции: рост, состояние, распад.
Существенной особенностью синергетических систем
представляется их случайность. Изменение со временем этих
систем нередко зависит от причин, которые нельзя предсказать
точно. В уравнениях синергетики это учитывается как действие «флуктуирующих сил». Наличие «флуктуирующих сил»
обосновывается при помощи статистической механики, где
образование флуктуаций объясняется переходом от микроскопического описания к представлению, которое используют
макроскопические переменные.
182
С другой стороны, причиной появления непредсказуемости в уравнениях синергетики является «хаотическая динамика». Несмотря на то, что описывающие эволюцию системы во
времени уравнения не содержат случайных членов, тем не менее дальнейшее поведение системы часто нельзя однозначно
предсказать. Связан этот эффект с тем, что на поведение системы очень влияют начальные условия. Впервые с таким поведением детерминированных систем столкнулся американский метеоролог Э.Н. Лоренц. Предложенная им для описания
тепловой конвекции система уравнений, получившая название
«система Лоренца», имеет решение, характер поведения которого непредсказуем на большом временном интервале. Оказалось, что при определенных значениях управляющих параметров решение дает неожиданные результаты. В последующем
системы такого типа стали называть системами, имеющими
«странный аттрактор», и сегодня количество таких систем
весьма велико.
Численный анализ поведения решений таких систем показал, что с течением времени характер их поведения не становится ни стационарным, ни периодическим. На первом этапе происходят колебания, причем амплитуда колебаний увеличивается, затем происходит переход в область отрицательных значений, в которой также происходят колебания и при
этом совершается очередной переход теперь в пространство
положительных значений. Необходимо отметить, что число
колебаний между переходами из отрицательной области в положительную и наоборот может быть разным. Все приведенное выше говорит о том, что такая система ведет себя случайным образом. Объяснение этому имеет связь с неустойчивостью решения системы Лоренца: две траектории, близкие в
начальный момент времени, с течением времени могут разойтись далеко друг от друга.
Из анализа поведения системы Лоренца был сделан вывод о невозможности предсказания погоды (система уравнений Лоренца может быть рассмотрена в качестве модели физики атмосферы) на длительном временном интервале. Имен-
183
но зависимость от начальных условий является существенным
свойством хаотической динамики.
К особенности синергетических систем следует отнести
то, что они состоят из большого количества подсистем. Это
значит, что уравнения, представляющие эволюцию подобных
систем, имеют много переменных. Такие переменные, которые
описывают систему при указанном значении времени, обычно
называют переменными состояния. Учет пространственного
изменения переменных состояния должен быть осуществлен
добавлением в уравнения производных по пространственным
координатам. Таким образом, уравнения синергетики представляют собой нелинейные, стохастические дифференциаль-
ные уравнения в частных производных.
Совокупность точек, отвечающих переменным состояния, образует фазовое пространство, а каждому моменту времени можно поставить в соответствие точку фазового пространства, удовлетворяющую уравнениям движения. Изменению времени будет соответствовать некоторая кривая в фазовом пространстве, называемая фазовой траекторией.
Нелинейность уравнений приводит к тому, что существуют значения управляющих параметров, при которых происходит потеря устойчивости и возникает несколько разных
решений уравнения. Перемена количества и устойчивости решений уравнения имеет название ветвление или бифуркация
решений. Стандартной задачей является задача об устойчивости упругого стержня. Ее исследовали Эйлер, Бернулли, Лагранж. Впервые понятие «бифуркация» применил К. Якоби
(1834 г.). Но далее применением теории бифуркаций занимался выдающийся французский математик Анри Пуанкаре во
второй половине девятнадцатого века. Точки фазового пространства, в которых возможна бифуркация, получили имя
особые точки. Особые точки связаны с равновесием системы
или не зависящими от времени решениями.
В том случае, когда все решения, близкие к особой точке
в нулевой момент времени, стремятся к ней, эта точка является
устойчивой. Пуанкаре был проведен анализ особых точек
184
дифференциальных уравнений динамических систем двух переменных и при этом была сформулирована теория поставленных уравнений. При этом доказано, что, кроме особых точек
устойчивости и предельных циклов, прочих притягивающих
множеств в системах динамики этого вида не бывает.
Одним из главных понятий в теории нелинейных уравнений является понятие аттрактора (английское слова
attract – притягивать). Аттрактор – это область, к которой стремятся решения при больших значениях параметра
времени.
Естественно, поставить вопрос, как изменится поведение
решений при рассмотрении динамических систем в пространстве трех переменных. Что собою представляют в фазовом
пространстве аттракторы, несовпадающие с стационарными
точками, замкнутыми кривыми или ограниченными двумерными поверхностями? Как показывает теория, размерность
множества, которое представляет собой аттрактор, меньше
размерности фазового пространства, так как эти состояния являются постоянными при движении. Тогда стоит определить,
могут ли быть объекты размерностью в пространстве промежуточном между точкой и линией, линией и поверхностью?
Выяснено, что подобные объекты существуют. Французским
математиком Б. Мандельбротом сформулировано для них
название фракталы. Для разъяснения сущности понятия
фрактал необходимо понять, что такое фрактальная размерность.
Пусть на плоскости имеется ломаная линия, при этом
она имеет сложную форму. Для примера можно рассматривать
береговую линию или очертание облака. Необходимо измерить длину этой линии. Используем для этого отрезки линии
длины . Если ломаная линия обладает фрактальной природой
(представляет фрактальную линию), ее длина L при уменьшении не приближается к конечному пределу, а стремится к
бесконечности по закону:
L = A
1-d
,
185
где А произвольная постоянная; постоянная d (1 d 2) но-
сит название фрактальный размер или размерность
Хаусдорфа-Безиковича.
Нецелое значение размерности Хаусдорфа-Безиковича для таких линий дало основание назвать их фракталами (от латинского «фрактус» – дробный). Позднее оказалось, что у фрактальных структур есть существенный признак – самоподобие,
это означает, что каждая часть ее подобна целому, а целое является подобным любой малой собственной части.
Теория фракталов на сегодняшний день имеет большое
применение во многих областях науки. Это связано с тем, что
многие физические процессы, протекающих на фракталах как
на носителях, имеют некоторые существенные особенности.
Фракталы своеобразно рассеивают электромагнитное излучение, своеобразно производят колебания и звук, по-другому
при этом проводится электричество, и при этом нестандартно
осуществляется диффузия вещества. Поэтому сегодня появилась еще одна область естествознания – физика фракталов.
Именно фрактальный характер аттрактора трехмерной
динамической системы и был обнаружен в системе Лоренца,
что и нашло отражение в его наименовании странный ат-
трактор. По-видимому, странные аттракторы представляют
из себя модель появления хаотического поведения.
На сегодняшний день разработаны такие способы перехода системы в режим хаотического поведения.
Один из них – это способ перемежаемости П. Манневиля и И. Помо. Постоянный режим поведения системы перемежается с промежутками хаоса. Обосновывается такой режим
поведения таким образом: фазовая поверхность, по которой
изменяется система, обладает особенностью типа складок и
сборок. Складки представляют собой две плоскости, склеенные вместе. Фазовые траектории, стремящиеся выйти на
устойчивую траекторию, в связи с попаданием в складку
предпочитают стремиться к новой траектории устойчивости,
но снова попадают в складку и т. д.
186
Второй механизм – это модель Фейгенбаума удвоения
периода. Представленная система неустойчива, поэтому в
процессе эволюции в системе возникают другие частоты.
И при этом частоты кратны основной частоте, полученной системой в процессе первой неустойчивости. В пределе эта последовательность сходится к некоторому критическому значению параметра, при котором возникает странный аттрактор.
Третий механизм – это известная модель Рюэля-Такенса.
В результате первой бифуркации в системе из особой точки
проявляется предельный цикл – это так называемая бифуркация Хопфа. В итоге следующей бифуркации Хопфа в системе
образуется инвариантный тор (решение представляет собой
спираль, которая наматывается на бублик). Итогом последней
бифуркации является странный аттрактор.
4.3. Место синергетической экономики
в дисциплинарном поле экономической науки
Синергетическая экономика исследует временные и пространственные процессы экономической эволюции и входит
как составная часть в теорию экономической динамики. Проблематика экономической динамики включает значительный
набор экономических теорий, в том числе такие известные и
успешно развивающиеся, как теория деловых циклов и экономического роста. В арсенале методов традиционной теории
экономической динамики большое число аналитических подходов, среди которых можно выделить принцип соответствия
и экономико-математическое моделирование [74].
Перед синергетической экономикой стоит задача расширить поле традиционной теории экономической динамики
таким образом, чтобы результаты последней вытекали из этой
новой теории подобно тому, как классическая механика представляет собой предельный частный случай общей теории относительности. Более того, методами синергетики может быть
объяснен ряд экономических явлений, которые традиционная
теория экономической динамики игнорирует.
187
Закономерности, основанные на представлениях линейной логики и опирающиеся на чувственное, интуитивное восприятие мира, перестают реально отражать особенности процессов, происходящих в системе. Прежде всего, это связано с
нелинейностью поведения сложных систем и именно нелинейная динамика стала математическим аппаратом синергетики. Малые изменения характеристик таких систем могут кардинально изменить свойства и поведение динамической системы. В результате таких изменений в системе возможно появление принципиально новых структур и, следовательно, изменяется ее функционирование, система способна выбрать
иной путь развития. Многократно описанный в литературе
«эффект бабочки» как раз и есть проявление этой особенности
сложных систем [75].
Исследованию возникновения в сложных системах новых структур были посвящены работы нобелевского лауреата
Ильи Пригожина, который заслуженно считается одним из отцов-основателей синергетики. Он назвал эти, возникающие в
результате самоорганизации, структуры (пространственные,
временные или пространственно-временные) диссипативными
структурами. В своих работах Пригожин показал, что в сложных системах, состоящих из большого числа взаимодействующих элементов, могут происходить эволюционные изменения, приводящие к дальнейшему усложнению внутреннего
строения системы и изменению пути ее развития [76, 77].
Синергетическая экономика в отличие от традиционной
занимается вопросами неустойчивости экономических систем
и выводит на первый план их нелинейность. При синергетическом подходе учитывается, что для многих экономических систем, в силу их нелинейности и обмена с окружающей средой,
одним из способов их существования является осцилляционное поведение. Деловые циклы − проявление нелинейного
взаимодействия между различными экономическими и политическими факторами.
188
, ;
,;
S
dY
F Y R
dt
dR
L Y R L
dt
4.4. О возможности существования
хаотических режимов
в обобщенной модели делового цикла,
учитывающей влияние экономической среды
Как было отмечено выше, исследование временных эво-
люций в экономике сводится к исследованию динамических
моделей. Вопросам экономической динамики посвящено значительное количество работ. Это прежде всего работы в области экономического роста [78–80] и деловых циклов [81, 82].
Классические теории экономического роста основаны на
предположении, что исследуемая система заведомо устойчива
[80–82]. В них исследуются процессы аккумуляции капитала,
переплетающиеся с увеличением производства и потребления.
Синергетический подход к исследованию экономической
динамики должен дать объяснение, как взаимоотношения производственной функции, занятости и капитала влияют на развитие экономики и каким путем можно добиться упорядоченного состояния этой системы, соответствующего высокоупорядоченной экономике. Типы экономик, рассматриваемых в
современной теории, являются существенно более развитыми
и индустриализированными. Поэтому анализ соотношения
«потребление – инвестиции» должен учитывать все факторы,
обусловливающие сдвиги в производстве. Последнее приводит
к более сложным закономерностям функционирования и, в
частности, к возможностям катастрофических изменений и
хаотического поведения. Оценим влияние экономической среды на изменение структуры обобщенной модели делового
цикла.
Воспользуемся упрощенной моделью делового цикла,
описав ее следующей динамической системой:
(4.1)
189
, , ,F Y R I Y R S Y R
,I Y R
R
0, 0
Y
II
,S Y R
R
0, S 0
Y
S
,L Y R
R
0, 0
Y
LL
S
L
,
00
,YR
0 Y Y
, 0, 0
R
R R Y
Y
L
F L F L F
F
00
,YR
0
11
,,
dY
hY c R Y R
dt
,YR
,YR
.
Здесь все параметры и переменные положительны и означают:
Y – доход;
R – процентная ставка;
– функция спроса на инвестиции
;
–функция сбережений
– суммарный спрос на деньги
;
;
–предложение денег (константа);
–параметры установления.
Логика построения этой системы связана с тем, что превышение спроса на инвестиции над сбережениями ведет к возрастанию дохода (первое уравнение системы), и что если
спрос на деньги больше, чем предложение, то ставка процента
прибыли увеличивается (второе уравнение системы).
В работе [83] показано, что система (4.1) имеет точку
равновесия
, если в этой точке выполняются условия:
. (4.2)
В.Б. Занг [84] показал, что если (4.2) выполняется, то в
системе (4.1) есть предельные циклы с центром в точке
(бифуркация Хопфа). Критическое значение соответ-
ствующего бифуркационного параметра равно
.
Таким образом, первое уравнение системы (4.1), описывающей упрощенную модель делового цикла Кейнса, может
быть представлено дифференциальным уравнением
где
– нелинейная функция, описывающая свойства
Будем считать, что
ности, т.е. в системе существуют потенциальные барьеры. Од-
(4.3)
экономической среды.
имеет участки многознач-
190
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]