Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Устойчивые и хаотические движения в динамических системах. В приложении к небесной механике
.pdf
БИБЛИОТЕКА ЖУРНАЛА
РЕГУЛЯРНАЯ И ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА»
«
Редколлегия серии:
А. В. Борисов, В. В. Козлов, И. С. Мамаев
Готовится к печат и :
Ю. Мозер, Э. Цендер.
Заметки по динамическим системам
Книга известных ученых Юргена Мозера и Эдуарда Цендера представляет собой введение в теорию динамических систем, в частности, в особый класс гамильтоновых систем. Излагая теоретические основы, авторы стремились использовать
простейшие математические методы, а также множество примеров и иллюстраций
из физики и небесной механики. Именно задача N тел является основной в теории динамических систем, и в прошлом послужила толчком ко многим открытиям
в области математики. Данная книга незаменима для математиков, физиков и астрономов, интересующихся динамикой систем нескольких и многих тел, а также
фундаментальными понятиями и методами анализа в данной области.
УСТОЙЧИВЫЕ И ХАОТИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Юрген Мозер
УСТОЙЧИВЫЕ И ХАОТИЧЕСКИЕ
ДВИЖЕНИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ
СИСТЕМАХ
В ПРИЛОЖЕНИИ К НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ
Перевод с английского
Т. Г. Возм ищевой
Под научной редакцией
П. Е. Голубцова
Москва Ижевск
2010
УДК 530.1
ББК 22.31
М 805
Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского
фонда фундаментальных исследований по проекту № 08-01-07133
Мозер Ю.
Устойчивые и хаотические движения в динамических системах: в приложении к небесной механике. — М.–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая
динамика», Институт компьютерных исследований, 2010. — 184 с.
В течение столетий астрономы интересовались движениями планет и методами вычисления их орбит. Начиная с Ньютона, математики были увлечены родственной задачей N тел. Они пытались найти решения уравнений движения N ма-
териальных точек, взаимодействующих посредством силы, подчиняющейся закону
обратных квадратов, и определить, существуют ли квазипериодические орбиты. Попытки ответить на эти вопросы привели к созданию методов нелинейной динамики
и теории хаоса.
В своей книге, являющейся классической работой по современной прикладной математике, Юрген Мозер дает краткое описание двух столпов данной теории — устойчивого и хаотического поведения. Он рассматривает случаи, когда движение N тел является устойчивым, охватывая такие темы, как гамильтоновы системы, теорема о закручивании (Мозера) и некоторые аспекты теории Колмогорова–
Арнольда–Мозера. Далее он исследует хаотические орбиты, рассматривая в качестве примера ограниченную задачу трех тел, и говорит о существовании и значимости гомоклинических точек. Данная книга незаменима для математиков, физиков
и астрономов, интересующихся динамикой систем нескольких и большого количества тел, а также фундаментальными идеями и методами анализа в данной области.
По прошествии 30 лет лекции Мозера все еще остаются одним из лучших способов
проникнуть в захватывающие миры порядка и хаоса в динамике.
ISBN 978-5-93972-865-2
c
Перевод на русский язык:
Институт компьютерных исследований, 2010
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
Оглавление
Предисловие .............................. ix
Г
ЛАВА I. Введение .......................... 1
1. Задачаустойчивости ....................... 1
2. Историческиекомментарии.................... 5
3. Другиезадачи ........................... 7
4. Неустойчивоеистатистическоеповедение........... 11
5. План ................................ 15
Г
ЛАВА II. Задачи устойчивости ................... 17
1. Модельнаязадачанакомплекснойплоскости.......... 17
2. Нормальные формы для гамильтоновых и обратимых систем 25
3. Инвариантныемногообразия................... 31
4. Теоремаозакручивании ..................... 42
Г
ЛАВА III. Статистическое поведение ................ 51
1. СдвигБернулли.Примеры .................... 51
2. Сдвигкактопологическоеотображение............. 55
3. Сдвигкакподсистема....................... 57
4. Альтернативные условия для C
5. Ограниченнаязадачатрехтел .................. 70
6. Гомоклинические точки . . . ................... 83
1
-отображений......... 63
Г
ЛАВА IV. Заключительные замечания ............... 91
Г
ЛАВА V. Доказательство существования решения при наличии
малых знаменателей ........................ 94
1. Переформулировкатеоремы2.9 ................. 94
2. Построениекорняфункции....................100
3. Доказательствотеоремы5.1 ...................107
4. Обобщения.............................116
A.ПриложениекглавеV........................125
viii ОГЛАВЛЕНИЕ
Скоростьсходимостидляметода§2b) .............125
УсовершенствованныйметодХэлда...............128
Г
ЛАВА VI. Доказательства и детали для главы III ........ 129
1. Краткоесодержание........................129
2. Поведениевблизибесконечности ................130
3. Доказательстволемм1и2главыIII...............136
4. Доказательстволеммы3главыIII................138
5. Доказательстволеммы4главыIII................141
6. Доказательстволеммы5главыIII................145
7. Доказательство теоремы 3.7 о гомоклинических точках ....154
8. Несуществованиеинтегралов ..................160
Литература ............................... 163
Предисловие
Всю свою научную жизнь Юрген Мозер проявлял интерес к проблемам
небесной механики и теории динамических систем. В Геттингене он проводил исследования для получения докторской степени под руководством
Франца Реллиха, и, когда в 1950 г. вернулся Карл Зигель, именно Реллих
предложил Мозеру написать комментарии к лекциям Зигеля по небесной
механике. Это привело к появлению классических «Лекций по небесной
механике», которые вышли в Германии в 1956 г., в английском переводе
в 1971 г. и были переизданы в 1995 г. [A]. Данная книга — второй, менее известный классический труд Мозера и его первая крупная педагогическая работа, написанная без соавторов. Ее первоисточником послужила
серия из пяти лекций Германа Вейля, прочитанных Мозером в Институте
перспективных исследований в Принстоне, Нью-Джерси, в феврале 1972 г.
(фактически, первая лекция из этой серии). Что именно послужило толчком
для переиздания [A]? Возможно, это было обусловлено сравнительно малым первоначальным тиражом. Вполне естественно, что книга переиздается в серии Princeton’s Landmarks in Mathematics. Это издание представляет
собой важный шаг в развитии качественной теории динамических систем.
В книге Мозера представлены две линии исследований — устойчивость
и случайность, или хаос. Основными результатами, описанными в книге, являются теорема Колмогорова–Арнольда–Мозера (КАМ), которая доказывает, что многие регулярные квазипериодические решения сохраняются
в почти интегрируемых гамильтоновых системах, и гомоклиническая теорема Смейла–Биркгофа, которая устанавливает эквивалентность между множеством орбит и сдвигом Бернулли. Следующий короткий исторический
очерк предназначен для того, чтобы подготовить читателя и помочь ему
лучше оценить достижения Мозера.
Современная геометрическая теория динамических систем берет свое
начало в 1880–1910 гг. в трудах Пуанкаре по обыкновенным дифференциальным уравнениям и небесной механике и, частично, в его эссе по гамильтоновой механике и задаче трех тел [B], где он исследовал гомоклинические и гетероклинические орбиты (решения с двойственной асимптотикой)
и, тем самым, начал принимать во внимание явление детерминированно-
xПРЕДИСЛОВИЕ
го хаоса. В [C, D] авторы рассказывают замечательную историю о присуждении Пуанкаре премии за эту работу. Дело в том, что в оригинальной рукописи Пуанкаре, представленной в комитет по присуждению наград, содержалась ошибка, и Пуанкаре исправил ее в последующей статье
уже после получения награды, которая была вручена в день празднования
60-й годовщины со дня рождения короля Швеции и Норвегии Оскара I.
В [B] и в ряде более ранних статей в Comptes Rendus и J. de Math. pures
et. appl. Пуанкаре разработал основные инструменты, такие как отображение возвращения (отображение Пуанкаре), теория индексов, линеаризация
и инвариантные многообразия. Он опубликовал большинство результатов
в трех томах своего труда «Новые методы небесной механики» [E] и в менее известной книге (до сих пор не переводившейся) «Лекции по небесной
механике» [F].
Развитие этих идей было достаточно медленным до тех пор, пока
Дж. Д. Биркгоф (например, [G]) в Соединенных Штатах, А. А. Андронов
и Л. С. Понтрягин в Советском Союзе (например, [H]) не добились больших достижений, которые далее развивали Д. В. Аносов и С. Смейл (см. [I]).
Именно Смейл в 1959–60 гг. существенно дополнил анализ орбит, проходящих вблизи гомоклинических точек, который начал Пуанкаре в [B] и в который ощутимый вклад внес Биркгоф. Используя символическую динамику, Смейл получил полное описание прототипично хаотического множества
(хотя и седлового типа, и, следовательно, не аттрактора), которое было обнаружено вблизи трансверсальных гомоклинических точек в дифференцируемых отображениях. По иронии судьбы, статья Смейла, описывающая
эти исследования, не была опубликована до 1965 г. [J], да и ее публикация
прошла незаметно для многих исследователей динамических систем. Наряду с основными идеями, представленными в работе [I], трактовка, которую
читатель найдет в главе III настоящей книги, была первым полным и доступным для понимания описанием, включающим явно вычисляемые условия, дающие возможность проверить наличие гиперболической структуры.
Кроме того, в книге представлен полностью проработанный пример. Вместе с методом В. К. Мельникова [K] локализации гомоклинических точек
в обыкновенных дифференциальных уравнениях с периодическим возмущением, полученные результаты представляют собой мощный математический аппарат для обнаружения и анализа хаотических движений в отдельных нелинейных системах. В книге Мозера метод применяется к одному из
вариантов задачи трех тел, который отличается от того, который рассматривал Пуанкаре, и пересматриваются результаты Ситникова и Алексеева
(детали представлены в главе VI). Это «хаотическая» тема, которую затрагивает данная книга.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]