Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Устойчивые и хаотические движения в динамических системах. В приложении к небесной механике
.pdf
ГЛАВА II
Задачи устойчивости
1. Модельная задача на комплексной плоскости
а) Задача устойчивости
Проиллюстрируем проблему малых знаменателей с помощью модельной задачи на основе теории функций нескольких комплексных переменных. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
dz
= f(z)=Az + ..., (1.1)
dt
где z =(z
компоненты которого голоморфны в окрестности z =0.Болеетого,мыпо-
лагаем, что f(0) = 0,такчтоz =0— положение равновесия, устойчивость
которого мы будем исследовать; A обозначает матрицу первых производных f вточкеz =0.
Мы используем стандартные определения устойчивости: говорят, что
положение равновесия z =0устойчиво при t>0 (устойчивость в будущем), если для любой окрестности U точки 0 существует окрестность V ,
0 ∈ V ⊂ U , такая, что из z(0) ∈ V следует z(t) ∈ U при t>0.Ана-
логично мы определяем устойчивость при t<0 (в прошлом) и на всем
интервале времени t(−∞ <t<+∞). В некотором смысле, устойчивость
требует, чтобы решения непрерывно зависели от начальных данных, и, будучи тривиальными для компактных интервалов на полуоси t>0 или на
всей оси.
Следствием хорошо известных результатов А. М. Ляпунова [45] является необходимое условие устойчивости в будущем положения равновесия z =0в (1.1), которое заключается в том, что собственные значения
α
1,α2
, ...,zn) — комплексный n-вектор и f(z) —такжеn-вектор,
1
, ...,αnматрицы A удовлетворяют неравенству
Re α
0,k=1, 2, ...,n. (1.2)
k
18 ГЛАВА II
С другой стороны, условие Re αk< 0 для k =1, 2, ...,n является доста-
точным для устойчивости в будущем.
Вышеприведенные результаты связаны с неравенствами для так называемых функций Ляпунова, которые убывают с ростом t. С другой стороны,
задачи устойчивости в небесной механике, в которых нет трения, соответствуют здесь поиску устойчивости для всех вещественных t. Это абсолютно
другая задача, она связана с теоремами существования для некоторых функциональных уравнений, а не с неравенствами, как в случае с устойчивостью
в будущем. Это иллюстрируется следующим замечательным утверждением.
Теорема 2.1 (Каратеодори–Картан, 1932). Необходимым и достаточным условиями устойчивости решения z =0уравнения (1.1) для всех
вещественных t являются условия: i) A приводится к диагональному виду
с чисто мнимыми собственными значениями и ii) существует голоморфное
отображение
z = u(ζ)=ζ + ..., (1.3)
где ζ — комплексный n-вектор, переводящий (1.1) в линейную систему
˙
ζ = Aζ. (1.4)
Ясно, что условие i) означает в точности устойчивость линейной системы (1.4) при всех вещественных t, и также очевидно, что любая система, которая может быть преобразована в (1.4), имеет устойчивое положение равновесия, так как понятие устойчивости инвариантно относительно
преобразования координат. Таким образом, достаточность вышеупомянутых условий очевидна, но достойно замечания то, что эти условия являются
также необходимыми. Этот факт тесно связан со свойствами компактности
ограниченных семейств голоморфных функций. Мы не приводим здесь доказательства теоремы (которое может быть получено на основе результатов
работы [46]), отметим только, что обратное к (1.3) отображение
ζ = v(z)=z + ...
может быть получено по формуле
T
1
v
(z) = lim
T →∞
−At
e
T
0
ψ(t, z) dt, (1.5)
где ψ(t, z) — решение (1.1) с начальным значением ψ(0,z)=z.Вслу-
чае сходимости интеграла, учитывая, что ψ(t + s, z)=ψ(t, ψ(s, z)),можно
1. МОДЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ 19
получить
v(ψ(s, z)) = e
As
v(z),
и далее, дифференцируя по s вточкеs =0, мы имеем
n
где f
k=1
— компоненты вектора f .Таккакv = z + ... локально обратимо,
k
∂v
f
= Av, (1.6)
k
∂z
k
эта формула выражает тот факт, что ζ = v(z) преобразует (1.1) в (1.4).
Таким образом, основная проблема доказательства теоремы 2.1 состоит
в том, чтобы доказать сходимость (1.5). В работе [46] функция v(z) строится другим путем. Показано, что e
−At
ψ(t, z) вточкеz, фиксированной
в достаточно малой окрестности начала координат, может рассматриваться как непрерывная функция на компактной абелевой группе, порожденной
At
(−∞ <t<+∞), и функция v получается усреднением e
e
−At
ψ(t, z)
по абелевой группе по мере Хаара. Однако легко показать, что для любой
непрерывной функции φ = φ(g) на этой группе среднее по мере Хаара
определяется пределом
T
lim
T →∞
1
T
−At
φ(e
) dt,
0
что приводит к формуле (1.5).
b) Следствие теоремы 2.1
Вместо того, чтобы приступать к доказательству теоремы, мы остановимся сначала на обсуждении ее следствий: во-первых, теорема иллюстрирует то, что устойчивость нулевого решения при всех вещественных t,
по крайней мере, в данной задаче, эквивалентна существованию решения
v(z)=z + ... системы дифференциальных уравнений в частных производных (1.6). Во-вторых, в случае устойчивости для всех вещественных
t в (1.1) можно выразить общее решение (1.1) вблизи начала координат
ввиде
z = u(e
At
c),
где c — постоянный вектор, величина |c| достаточно мала. Записывая u(ζ )
как степенной ряд и отмечая, что собственные значения α
,...,αnмат-
1,α2
рицы A чисто мнимые, мы приходим к тому, что решения могут быть записаны в виде
z =
j
aje
(j,α)t
,
20 ГЛАВА II
где aj— комплексные числа, j =(j1,...,jn) пробегают по всем векторам
с неотрицательными целыми компонентами j
и (j, α)=
k
n
jkαk.Таккак
k=1
u(z) является суммой сходящегося степенного ряда, то
|a
где q лежит в 0 <q<1 и |j| = j
|j|
| q
j
,
+ j2+ ...+ jn 1. Следователь-
1
но, в случае устойчивости все решения (1.1) вблизи начала координат —
квазипериодические функции с не больше чем n линейно независимыми
частотами. Фактически, поток в целом определяется линеаризованной системой ˙z = Az и даже аналитически ей эквивалентен при условии, что мы
имеем устойчивость при всех вещественных t.
с) Малые знаменатели
Хотя в теореме 2.1 и сформулированы необходимое и достаточное
условия устойчивости, она довольно неудобна для решения вопроса, устойчива ли данная система. Она только показывает, что этот вопрос так же сложен, как и вопрос о существовании преобразования (1.3), линеаризующего (1.1). Для того чтобы найти условие существования функции u, запишем
ее в виде
u = ζ +
ujζj,ζj=
|j|2
n
k=1
j
k
ζ
k
(1.7)
и сравним коэффициенты в определяющем соотношении
(u
,Aζ)=f(u(ζ )).
ζ
Можно полагать, что A — диагональная матрица с диагональными элементами α
в терминах u
,...,αn. Тогда мы получим выражение
1,α2
((α, j)I −A)u
,где|l| < |j|, откуда мы можем определить ujрекурсивно
l
j
(|j| 2),
и однозначным образом, если матрицы (α, j)I − A несингулярны, то есть
если
(α, j) = α
k
(1.8)
для всех k =1,2,...,n и для векторов с целыми компонентами j =
=(j
,...,jn), jν 0, |j| 2. Таким образом, при условии (1.8) разло-
1,j2
жение u ввиде(1.7) определяется однозначным образом и остается лишь
исследовать сходимость этих рядов, чтобы гарантировать устойчивость.
Сначала мы покажем, что нарушение условия (1.8) приводит, как правило, к неустойчивости.
1. МОДЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ 21
ПРИМЕР.Пустьn =2и p, q — два целых числа, не равных нулю
одновременно, удовлетворяющие условиям p −1,q 0,ипусть
α
p + α2q =0,
1
что означает, что (1.8) нарушается при j
система
=(α1+ z
˙z
1
˙z
= α2z
2
имеет решения, удовлетворяющие условию z
= p +1,j2= q. В этом случае
1
p
q
z
)z1,
1
2
2
p
q
z
=(c −pt)−1, что предпо-
1
2
лагает неустойчивый характер нулевого решения. Нетрудно обобщить этот
пример на случай размерности n.
Мы можем полагать, что все α
жим α
жество ω ∈ R
= iωk,ω =(ω1,ω2,...,ωn) ∈ Rn.ПустьΩ обозначает мно-
k
n
, для которых имеет место (1.8), и пусть˜Ω=Rn− Ω
— его дополнение. Далее пусть Q
таких ω, для которых ω
n
= {ω ∈ R
−Q
+−Q−
при n =2˜Ω(R
,ω1< 0,...,ωn< 0}. Важно заметить, что˜Ω плотно в Rn−
,тогдакакQ
n
− Q+− Q−) состоит из всех лучей, проходящих через
> 0(k =1, 2,...,n), и аналогично Q−=
k
Ω и Q
+
−
,...,αn— чисто мнимые, поло-
1,α2
обозначает положительный квадрант
+
Ω — открытые множества. Например,
начало координат, с отрицательными рациональным тангенсами углов наклона: ω
=1/q, ω
Остается обсудить сходимость ряда u для α
ходимо снова сделать различие между ω ∈ ΩQ
∈ Ω(R
ния (α, j) − α
ся предельной точкой. Эти числа, которые входят в знаменатель u
= −p/q, в то время как˜ΩQ+состоит из лучей ω2/ω1=
2/ω1
= q,q =1, 2,..., которые дискретны (см. рис. 2).
2/ω1
n
− Q+− Q−). В первом случае для фиксированного α выраже-
отделены от нуля, тогда как во втором случае нуль являет-
k
= iωk,ω ∈ Ω.Необ-
k
,ω ∈ ΩQ−и ω ∈
+
j
сложным образом, — так называемые малые знаменатели для данной задачи.
Так как в квадрантах Q
+,Q−
эти выражения действительно отделены от
нуля, не составляет труда убедиться в том, что ряды (1.7) для u сходятся
в окрестности начала координат. Это подразумевает, что для ω ∈ ΩQ
или ω ∈ ΩQ−мы имеем устойчивость.
Вслучаеω ∈ Ω(R
Множество ω, для которого системы неустойчивы, плотно в R
как мы уже отмечали. С другой стороны, множество Ω
n
−Q+−Q−), однако, ситуация более деликатная.
n
−Q+−Q−,
элементов ω,для
s
которых решение z =0является устойчивым для любой системы (1.1)
с собственными значениями α
= iωk, также плотно в Rn.Этотфактявля-
k
ется следствием следующей теоремы.
+
22 ГЛАВА II
Рис. 2
Теорема 2.2 (Зигель [47]). Если α1,α2,...,αnудовлетворяют для
некоторых положительных констант c, τ бесконечному набору неравенств
|(j, α) − α
| c|j|
k
−τ
(1.9)
при всех векторах j с целочисленными компонентами j
0, |j| 2,то
k
ряд u(ζ)=ζ+..., преобразующий (1.1) в линейную систему (1.4),сходится
в некоторой окрестности начала координат.
Если мы снова возьмем α
щих (1.9),плотновR
n
; действительно, хорошо известно, что дополнение
этого множества имеет меру Лебега нуль в R
= iωk,томножествоω, удовлетворяю-
k
n
,такчтоRn−Ωsтакже имеет
меру нуль.
d) Выводы и интерпретация
Вышеперечисленные результаты, касающиеся голоморфных систем
(1.1), имеют следующие неожиданные и беспокоящие следствия:
i) Нулевое решения устойчиво (при всех вещественных t)тогдаитоль-
ко тогда, когда система может быть преобразована в устойчивую линейную
систему. Следовательно, естественно выразить условия устойчивости в терминах собственных значений α
ii) Множество Ω
элементов ω ∈ Rn, для которых все системы (1.1)
s
с собственными значениями α
почти все элементы ω ∈ R
iii) Дополнение˜Ω
= Rn− Ωsплотно в Rn− Q+− Q−.
s
= iωkматрицы A.
k
= iωkустойчивы, плотно в Rn.Болеетого,
k
n
принадлежат множеству Ωs.
1. МОДЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ 23
Таким образом, если ω ∈ Q
Q
+
, то малые возмущения системы
−
могут привести к неустойчивости. На самом деле, легко построить такие
функции f
рассматриваемая как зависящая от чисто мнимых параметров α
(z),f2(z), голоморфные вблизи z =(z1,z2)=0, что система
1
˙z
= α1(z1+ f1(z)),
1
˙z
= α2(z2+ f2(z)),
2
1,α2
неустойчива при всех отрицательных рациональных значениях отношения
α
. С другой стороны, для почти всех значений отношения α2/α1мы
2/α1
имеем устойчивость.
Такая ситуация, очевидно, неприемлема для физических приложений,
так как значения всех параметров известны только с определенной степенью точности. Аналитическая причина плотности неустойчивой системы
лежит в присутствии малых знаменателей, которые аналогично возникают
и в физических системах, и в результате мы приходим к парадоксальной
ситуации, описанной во введении. Мы увидим, однако, что в этих системах
с физическим приложением нелинейности могут привносить существенно
стабилизирующий эффект, который не обнаруживается в нашей модельной
задаче. Другими словами, хотя рассматриваемая задача ясно иллюстрирует
затруднения, возникающие в связи с малыми знаменателями, и их влияние
на устойчивость системы, следует рассматривать эту систему как нереалистичную и даже вводящую в заблуждение: как правило, задачи приложений — это системы, существующие в действительности и не являющиеся
сложными в смысле их анализа, а для реальных систем, как мы увидим
позднее, нелинейности играют существенную роль. Исторически модельная задача, которую мы здесь рассматриваем, была первой, для которой
трудности малых знаменателей были преодолены (см. [47], [48]).
e) Некоторые связанные результаты
Теорема 2.1 связывает вопрос об устойчивости с задачей линеаризации
системы вблизи положения равновесия при помощи преобразования координат. Последняя задача, представляющая интерес сама по себе, являлась
темой диссертации А. Пуанкаре [49] в отношении вещественно аналитических систем дифференциальных уравнений, среди которых встречается
дифференциальное уравнение в частных производных (1.6),итакжебольшое значение имели условия типа (1.8). В реальном случае можно попытаться избежать этих неприятных условий (1.8) при помощи замены условия аналитичности преобразований координат менее жесткими предположениями гладкости. Результаты в этом направлении получены С. Стернбергом [50] и П. Хартманом (см. [51]). Чтобы привести один из результатов,
,
24 ГЛАВА II
рассмотрим систему
˙x = f (x)=Ax + g(x), (1.10)
где x ∈ R
n
и g(x) — n-вектор, компоненты которого вещественны и непрерывно дифференцируемы вблизи x =0и g(0) = 0,∂g/∂x=0при x =0.
Далее пусть α
,...,αn— собственные значения матрицы A.
1,α2
Теорема 2.3 (П. Хартман). Если в (1.10)
Re α
=0 (k =1, 2,...,n), (1.11)
k
то существует гомеоморфизм x = u(ξ) окрестности ξ =0, отображаю-
щий решения (1.10) в решения линейной системы
˙
ξ = Aξ.
Доказательство можно найти в [52].
Таким образом, условия (1.8) заменяются условиями (1.11),исключающими, к сожалению, случай чисто мнимых собственных значений, который здесь представляют для нас интерес. Следует отметить в этой связи,
что гомеоморфизм x = u(ξ) не обязан быть дифференцируемым, даже если функция g(x) из C
∞
или вещественно аналитическая. Чтобы получить
большую гладкость u(ξ), нужно наложить по крайней мере некоторые из
условий (1.8) (см. [51]).
Приведенная теорема Хартмана применима, в частности, к случаю
< 0 устойчивости в будущем. Можно надеяться, по крайней мере
Re α
k
в этом случае, получить обратное к x = u(ξ) по формуле
−At
lim
e
t→∞
ψ(t, x),
аналогичной формуле (1.5),гдеψ(t, x) представляет собой решение нашей
системы с ψ(0,x)=x. Однако простые примеры показывают, что этот
предел не обязан существовать (см. [53], [54]).
Для того чтобы интерпретировать величины (j, α) − α
,входящие
k
в (1.8), Стернберг [55] рассмотрел алгебру Ли векторных полей
n
F =
k=1
где f
с f
— формальные степенные ряды без постоянных членов. Элементы
k
(z)=βkzkобразуют коммутативную подалгебру и, если мы определим
k
n
L =
k=1
fk(z)
αkz
∂
,
∂z
k
∂
,
k
∂z
k
2. НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ДЛЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХ И ОБРАТИМЫХ СИСТЕМ 25
то оператор
F → [L, F ]=ad
имеет в точности собственные значения (j, α) − α
F
L
n
j
,аzj=
k
k=1
k
z
явля-
k
ются соответствующими собственными функциями. Таким образом, условие (1.8) при |j| 1 гарантирует, что данная коммутативная алгебра максимальна, и L играет роль регулярного элемента в рассматриваемой алгебре
Ли. Все эти понятия были введены для конечномерных алгебр Ли, тогда
как в бесконечномерном случае, рассматриваемом здесь, они имеют только
формальное значение.
2. Нормальные формы для гамильтоновых и обратимых
систем
a) Теорема Биркгофа
После рассмотрения весьма искусственной модельной задачи мы вернемся к более реалистичным уравнениям. Уравнения механики могут быть
получены из вариационных принципов, которые приводят, в соответствии
с традиционным подходом, к гамильтоновым системам дифференциальных
уравнений
= H
˙x
k
, ˙yk= −H
y
k
,k=1, 2,...,n, (2.1)
x
k
где H — вещественная функция 2n вещественных переменных x =
=(x
,...,xn), y =(y1,...,yn). Хорошо известно, что вид этих уравнений
1
сохраняется под действием группы канонических преобразований координат, то есть при преобразованиях координат вида
x = u(ξ,η),y= v(ξ,η), (2.2)
где u, v — векторные функции переменных ξ =(ξ
,...,ξn),η =(η1,...,ηn),
1
для которых справедливо тождество
n
dyk∧dxk=
k=1
n
dηk∧ dξk. (2.3)
k=1
Таким образом, дифференциальная форма, которая инвариантна относительно таких преобразований координат, будет играть важную роль в дальнейшем.
26 ГЛАВА II
Для простоты представления мы рассмотрим описанную выше систему вблизи положения равновесия, которое мы примем за начало системы
координат. Следовательно, мы можем полагать, что H обращается в нуль
с его первыми производными в начале координат. Нас интересует каноническое преобразование координат (2.2), которое приводит к упрощенной
системе, к так называемой нормальной форме. Она уже не будет линейной, и в этом заключается основное отличие от предыдущего параграфа.
Во всем остальном задача полностью аналогична задаче параграфа 1, кроме того, что группа голоморфных преобразований заменяется на группу
канонических преобразований.
Рассмотрим линейную часть системы (2.1),котораяопределяетсявто-
рыми производными гамильтониана H . Матрица этой линейной системы
имеет следующее свойство: если α — собственное значение, то и ¯α, −α, −¯α
являются собственными значениями. Первое следует из вещественности
переменных, второе — из гамильтоновой природы системы. Согласно теореме Ляпунова, на которую мы ссылались в параграфе 1, устойчивость в будущем может иметь место только в том случае, если все собственные значения лежат в области Re α 0, а следовательно они должны быть чисто
мнимыми. Это отражает тот факт, что (2.1) описывает недиссипативные
движения.
Таким образом, мы будем полагать, что все собственные значения
— чисто мнимые и различные, и обозначим их как α
,...,αn. Легко показать, что существует такое вещественное канониче-
−α
2
,...,αn, −α1,
1,α2
ское преобразование, что квадратичные члены в разложении в ряд Тейлора
гамильтониана H принимают вид
n
iα
k
2
2
+ y
), ¯αk= −αk. (2.4)
k
k
k=1
(x
2
Таким образом, если бы гамильтониан H был точно этой квадратичной
функцией, движение описывалось бы n несвязанными гармоническими ос-
цилляторами. Проблема теперь состоит в исследовании влияния нелинейностей.
Чтобы избежать каких-либо вопросов о сходимости, мы сначала рассмотрим H, и преобразования (2.2) как формальные степенные ряды. Композиция таких преобразований, являющихся формальными степенными рядами, вполне определена, если они не имеют постоянных членов. Если мы
дополнительно потребуем, чтобы якобиан не обращался в нуль в начале
координат, то они будут образовывать группу. Объединяя 2n компоненты
переменных x, y водинвекторz =(x, y) и, аналогично, ζ =(ξ, η), запи-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]