Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Устойчивые и хаотические движения в динамических системах. В приложении к небесной механике
.pdf
6. ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ ТОЧКИ 87
справа и слева. Гетероклинические орбиты получаются с помощью последовательностей, которые имеют два различных повторяющихся блока для
правого и левого концов. Это показывает, что существование одной-единственной гомоклинической точки приводит к существованию бесконечного
числа и гомоклинических, и гетероклинических точек.
c) В результате мы приходим к вопросу о существовании гомоклинических точек, который уже рассматривался Пуанкаре [90, № 399]. Во-первых,
заметим, что не возникает затруднений при поиске таких точек для диффеоморфизма φ на торе §1c). Действительно, в этом случае x = y =0
представляет собой гиперболическую неподвижную точку, и прямые вдоль
собственных векторов определяют W
+
и W−. И хотя эти линии W+, W
−
не пересекаются на плоскости, они все же пересекаются трансверсально,
когда рассматриваются на торе. Таким образом, мы получаем пример гомоклинической точки. В самом деле, используя тот факт, что каждая точка
с рациональными координатами является гиперболической периодической
точкой, можно построить плотное множество гомоклинических точек на
торе.
Однако вышеприведенный пример очень специфический и не совсем
нам подходит, так как все периодические точки неустойчивы. Могут ли
гомоклинические точки существовать также вблизи эллиптических неподвижных точек? Ответ на этот вопрос положительный: действительно, могут, и это является типичным явлением, как утверждает следующая теорема Цендера. Эта теорема формулируется для вещественно аналитических
отображений, отображений из C
∞
или C( 1). Чтобы сформулировать теорему, рассмотрим сохраняющее площадь вещественно аналитическое отображение φ вблизи эллиптической неподвижной точки x = y =0.
Обозначая точку образа x, y через x
x
1
y
1
где якобиан имеет собственные значения на окружности |λ| =1и λ
, y1, запишем
1
= ax + by + ...,
= cx + dy + ...,
2
=1.
Используя подход Лежандра, рассмотрим в качестве независимых переменных x, y
, записывая
1
x
= d−1(x + by1)+...,
1
−1
y = d
(−cx + y1)+...
при условии, что d =0. Легко проверить, что свойство сохранения площади
φ равносильно требованию, что правые части в данной формуле — произ-
водные одной-единственной функции, назовем ее w(x, y
), так называемой
1
88 ГЛАВА III
производящей функции, то есть
= w
x
1
y = w
(x, y1),
y
1
(x, y1),
x
w =(2d)
−1
(−cx2+2xy1+ by
2
)+....
1
Преимущество этого представления состоит в том, что коэффициенты w могут выбираться свободно, и свойство сохранения площади обеспечивается. Рассмотрим множество W производящих функций
w =
k+2
ckxky
с |ck| 1.
1
Введем топологию на W , используя в качестве окрестностей элемента
∗
w
=
k+2
∗
c
xky
k
1
множество w ∈ W , для которых |ck− c
∗
| <εk,гдеεk— произвольная
k
положительная последовательность чисел. Окрестности в W определяют
окрестности φ в пространстве сохраняющих площадь отображений.
Теорема 3.9 (Цендер [91]). Если φ — сохраняющее площадь веще-
ственно аналитическое отображение с эллиптической неподвижной точкой в (0, 0), то любая окрестность φ содержит сохраняющее площадь
отображение ψ со свойствами: i) (0,0) — эллиптическая неподвижная
точка с собственным значением, не равным корню из единицы, ii) каждая
окрестность точки (0, 0) содержит гомоклиническую точку.
В самом деле, Цендер доказывает, что диффеоморфизмы с эллиптической неподвижной точкой с данными свойствами образуют остаточное
множество в смысле категории Бэра, то есть они типичны. Этот случай иллюстрирует рис. 18. Здесь F представляет собой эллиптическую неподвижную точку, а простые замкнутые кривые — кривые, описанные в главе II.
Среди кривых можно найти периодические точки, подобные p, q на рис. 18,
неподвижные точки φ
−
и W
пересекаются трансверсально в гомоклинической точке r. Соглас-
p
3
.Здесьp — гиперболическая точка, для которой W
+
p
но теореме, можно вложить сдвиг последовательностей σ вблизи r,иэта
сложная ситуация имеет место в каждой окрестности F. С другой стороны,
эллиптические периодические точки, такие как q, также типичным образом
окружены инвариантными кривыми и также имеют вблизи гомоклинические точки, другими словами, картина точки F повторяется вблизи каждой
6. ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ ТОЧКИ 89
Рис. 18
такой эллиптической периодической точки, приводя к иерархии инвариантных кривых, периодических и гомоклинических точек.
d) Несуществование интегралов
С исторической точки зрения вопрос о существовании интегралов для
задачи трех тел и, в общем, для гамильтоновых систем вызывает чрезвычайный интерес. Мы укажем только на результат Бруна, который утверждает, что любой интеграл в задаче трех тел, алгебраически зависящий от переменных фазового пространства, с необходимостью является функцией 10
известных интегралов. Эта замечательная теорема, однако, не имеет большого значения для динамического описания потока, так как могут существовать C
1
-интегралы или даже вещественно аналитические интегралы,
которые не являются алгебраическими. В дальнейшем мы покажем, что результаты § 5 подразумевают несуществование вещественно аналитического
интеграла для ограниченной задачи трех тел и, в общем, несуществование
такого интеграла вблизи гомоклинической орбиты.
Для диффеоморфизма φ на плоской области D мы назовем вещественнозначную функцию f на D интегралом φ,еслиf не постоянна и f (φ(p)) =
= f(p). Мы будем рассматривать только вещественно аналитические функции f.
Теорема 3.10. Любой диффеоморфизм φ, удовлетворяющий условиям
i), iii) § 3, § 4 и (4.14), не имеет вещественно аналитических интегралов
на Q.
90 ГЛАВА III
Из этой теоремы, которая будет доказана в главе VI, § 8, следует, что
трансверсальное отображение˜φ диффеоморфизма φ, обладающего гомоклинической точкой, не имеет вещественно аналитического интеграла. Но
если бы функция f была интегралом для φ,мыбызаключилиизf (φ
k
(p)) =
= f(p) при k =1, 2,..., что она также является интегралом для˜φ,что
показывает, что у φ нет таких интегралов.
Аналогично из § 5 следует, что ограниченная задача трех тел не обладает вещественно аналитическим интегралом, это замечание указано Алексеевым в [34], III, следствие 14.
ГЛАВА IV
Заключительные замечания
a) Итак, мы видим, что статистическое поведение, а также устойчивое поведение, описываемое квазипериодическим движением, могут существовать одновременно даже для аналитических систем дифференциальных уравнений. Конечно, этот вывод является только первым шагом к прояснению ситуации. Следует отметить, что все инвариантные множества,
построенные в главе III, имеют меру нуль относительно естественной меры фазового пространства и, следовательно, мы можем ими пренебречь.
С другой стороны, есть основания верить в существование инвариантных
множеств — скажем, вблизи общей эллиптической неподвижной точки сохраняющего площадь отображения на плоскости — положительной меры,
на которых отображения являются эргодическими. Насколько мне известно, не существует примеров множеств такого типа. В конечном счете, хотелось бы иметь некоторую оценку для соотношения между областью, в которой орбиты демонстрируют устойчивое поведение, и областью, в которой
превалирует статистическое поведение. По-видимому, эти вопросы очень
сложны, и поэтому даже упрощенные модельные задачи, для которых эти
вопросы могли бы быть решены, представляют интерес.
В этой связи хотелось бы упомянуть некоторые интересные результаты, полученные Аносовым и Катком [69]. Они построили примеры сохраняющих меру C
гообразиях. Было бы интересно знать, должна ли топологическая природа
многообразия как-то влиять на возможность построения эргодического потока на этом многообразии. В двумерном случае ответ, действительно, положительный, поскольку двумерная сфера, проективная плоскость и бутылка Клейна не допускают эргодических потоков. Это утверждение — следствие теоремы Пуанкаре–Бендиксона. Однако, благодаря своим исследованиям, Аносов и Каток смогли построить гладкие эргодические потоки на
любом гладком компактном многообразии без границы, при условии, что
размерность 3. Хотя эргодичность таких потоков нарушается при возмущении, они дают нам новые модели эргодических дифференциальных
∞
-диффеоморфизмов и потоков на гладких компактных мно-
92 ГЛАВА IV
уравнений. Например, на основе этих методов Катоку удалось построить
гладкий гамильтониан вида
n
H =
1
2
k=1
(x
2
+ y
k
2
)+h(x, y),
k
где h и производные высших порядков малы, так что поток на энергетической поверхности H = c при некотором малом положительном c является
эргодическим. Как кажется, это противоречит результату главы II о существовании инвариантных торов. Однако в данном случае условие невырожденности гессиана не выполнено, и приведенный пример показывает, что
это условие действительно необходимо для соответствующих результатов.
b) Все вышеперечисленные результаты относятся к системам с конечным числом степеней свободы. Возникает вопрос, возможно ли обобщение
на бесконечное число степеней свободы или на уравнения в частных производных. Например, можно задаться вопросом об устойчивости тривиального решения нелинейного гиперболического дифференциального уравнения
u
− uxx= α(u
tt
3
)
x
x
при 0 x 1 с граничными условиями u =0при x =0, 1. Если аппрокси-
мировать данное дифференциальное уравнение с помощью дискретизации
интервала 0 x 1, то мы получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида
= q
¨q
k
где k =1, 2,...,N− 1,сусловиемq
k+1
− 2qk+ q
k−1
+ α{(q
− qk)3− (qk− q
k+1
= qN=0. Это гамильтонова система
0
k−1
)3},
с гамильтонианом
N
H =
1
2
k=1
{p
2
k
+(q
k+1
− qk)2+
α
(q
− qk)4}.
k+1
2
Системы такого вида мы обсуждали в главе II. Эту задачу исследовал Т.Нишида [92] и показал, что, по крайней мере, если N есть степень 2 или
простое число, собственные значения являются рационально независимыми чисто мнимыми числами, при этом нормальная форма Биркгофа до порядка 4 невырожденна, так что при малом положительном c большинство
решений в H c являются квазипериодическими. Таким образом, реше-
ния ведут себя подобно несвязанным осцилляторам. Этот вопрос численно
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 93
исследовали Ферми, Паста и Улам в 1955 г., ожидалось, что с течением
времени различные частоты будут возбуждаться вследствие нелинейности.
Численные результаты показали, что это, на самом деле, не верно, и теорема 2.8 главы II может рассматриваться как доказательство этого факта. Однако условие малости c может стать существенно запрещающим условием
при большом N , и результат, в действительности, окажется незначительным без практических оценок.
Можно было бы ожидать, что решения приведенных уравнений в частных производных ведут себя аналогично, так как они аппроксимируются
последней системой. Однако можно показать (Лакс [93]), что решения могут быть продолжены, вообще говоря, только на конечное время. Таким
образом, пределы N →∞и t →∞менять нельзя и не следует предполагать, что результат для конечного числа степеней свободы имеет смысл для
уравнения в частных производных.
В этой связи стоит упомянуть еще одно уравнение в частных производных, так называемое уравнение Кортвега–де Фриза
u
+ uux+ u
t
xxx
=0,
которое исследовалось, в основном, численно. Отметим, что волновые решения взаимодействуют очень регулярным образом без каких-либо рассеивающих эффектов. Не так давно Гарднер [94], Захаров и Фаддеев [95]
показали, что, по крайней мере, с формальной точки зрения это уравнение может рассматриваться как интегрируемая гамильтонова система с бесконечным числом степеней свободы. Это приводит к вопросу, можно ли
некоторые результаты для конечного числа степеней свободы перенести на
случай рассматриваемой задачи. Этот вопрос, по-видимому, скорее умозрителен; маловероятно, что вышеприведенные результаты имеют какое-либо
значение для систем с бесконечным числом степеней свободы, следует ожидать новых явлений, которые могут потребовать развития новых методов.
ГЛАВА V
Доказательство существования решения
при наличии малых знаменателей
1. Переформулировка теоремы 2.9
а) План главы
В этой главе мы обсудим доказательство сходимости, демонстрируя,
как можно бороться с трудностями малых знаменателей, и приведем полное доказательство теоремы 2.9. Основная идея заключается в том, чтобы
разработать итерационный метод, который приводит к такой быстрой сходимости ряда, что совокупное влияние малых знаменателей остается под
контролем. Примером такого быстро сходящегося итерационного процесса
является метод Ньютона, который, однако, нельзя непосредственно применить к нашей задаче. В параграфе 2 мы проиллюстрируем новый метод,
будет приведено полное доказательство теоремы 2.9. Параграф 4 содержит указания на некоторые обобщения полученных результатов, и, наконец,
в приложении мы представим дальнейшие детали и улучшения, касающиеся метода параграфа 2 для поиска корня.
Метод, который нам предстоит обсудить, применяется и к другим задачам, поэтому нам хотелось бы сформулировать конечную теорему существования в достаточно общем виде. Такую формулировку можно найти в работе Л. Ниренберга [96], в которой доказано обобщение теоремы
Коши–Ковалевской существования решения дифференциальных уравнений
в частных производных. Другая область приложений этого метода — исследование устойчивости и сопряженности дифференцируемых отображений.
Эта область исследований рассматривается в статье Сержерэрта [97]. Однако, абстрактные теоремы существования, сформулированные и доказанные
в этих работах, не применимы к нашей задаче, и поэтому мы будем обсуждать только нужный нам метод.
1. ПЕРЕФОРМУЛИРОВКА ТЕОРЕМЫ 2.9 95
b) Обратимые системы, свойства преобразования
Пусть x =(x
,...,xn), y =(y1,...,yn) обозначают два n-вектора.
1
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
˙x = f (x, y),
˙y = g(x, y),
(1.1)
определенную в области, которая сохраняется при отражении
ρ:(x, y) → (−x, y). (1.2)
Рассмотрим системы, которые являются обратимыми относительно данного
отражения ρ и замены t →−t, то есть удовлетворяют соотношениям
f(−x, y)=f (x, y),g(−x,y)=−g(x, y). (1.3)
При преобразованиях координат общего вида
где ξ =(ξ
x = u(ξ,η),
y = v(ξ, η),
,...,ξn), η =(η1,...,ηn) — новые переменные, простой
1
(1.4)
вид (1.3) обратимости нарушается. Но если мы потребуем, чтобы (1.4) коммутировало с ρ, то есть чтобы выполнялись тождества
u(−ξ, η)=−u(ξ, η),v(−ξ,η)=v(ξ, η), (1.5)
то условия (1.3) будут иметь тот же самый вид в новых координатах.
Чтобы прийти к переформулировке теоремы 2.9, предположим, что f,
g в (1.1) — вещественно аналитические функции переменных x, y спериодом 2π по x
области T
тор. Так как f, g — вещественно аналитические функции, они определены
на комплексной области X × Y ,гдеX — комплексная окрестность T
инвариантная относительно x
,...,xn. Вектор-функции f, g определены в вещественной
1,x2
n
×D,гдеD — открытая область в Rn,аTnобозначает n-мерный
→ xk+2π (k =1, 2,...,n) и отражения
k
n
x →−x,аY — комплексная окрестность D.
Для того чтобы дополнительные свойства (1.1) сохранялись при пре-
образованиях координат, потребуем, чтобы функции
,
имели период 2π по ξ
всем переменным.
u(ξ, η) − ξ, v(ξ,η)(1.6)
,...,ξnи были вещественно аналитическими по
1
96 ГЛАВА V
Это приводит нас к введению локальной группы G преобразований координат (1.4), задаваемых вещественно аналитическими функциями u, v,
для которых (1.6) периодические по ξ
,...,ξnи имеет место (1.5);бо-
1
лее того, необходимо потребовать, чтобы преобразования были близки
к тождественному. Тогда композиция двух таких преобразований определена в некоторой подобласти и имеет здесь такие же свойства. У такого
преобразования также существует обратное в некоторой подобласти и оно
имеет те же свойства.
Введенная локальная группа G будетигратьважнуюрольвпоследующем доказательстве. В случае гамильтоновых систем G заменяется локальной группой канонических преобразований, близких к тождественному. Мы представим доказательство теоремы 2.9, а не теоремы 2.8, потому
что в какой-то мере легче работать с преобразованиями в G, чем с кано-
ническими преобразованиями; но это только техническое отличие, оно не
является принципиальным.
c) Утверждение теоремы 5.1
Теорема 2.9 была сформулирована в терминах малого параметра μ,однако в дальнейшем мы будем рассматривать теорему, задавая окрестности
в классе дифференциальных уравнений, для которых утверждение верно.
Далее, при μ =0невозмущенная система принимает вид
˙x = F (y),
˙y =0,
(1.7)
где
=0. (1.8)
det F
y
В следующей теореме мы возьмем
F (y)=ω + y, (1.9)
где ω =(ω
,...,ωn) удовлетворяют условию вида
1,ω2
|(j, ω)| γ|j|
−τ
(1.10)
для всех целочисленных векторов j =0. Функция F безусловно удовле-
творяет (1.8), и далее мы увидим, что общий случай может быть сведен
к данному (1.9), в котором y =0, x = ωt + x(0) является семейством
квазипериодических решений.
Теорема 5.1. Пусть 0 <α<1,
0 <β<min
α
4n +4τ +1
, 1 − α
(1.11)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]