Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Устойчивые и хаотические движения в динамических системах. В приложении к небесной механике
.pdf
1. ПЕРЕФОРМУЛИРОВКА ТЕОРЕМЫ 2.9 97
и γ, τ определены в соответствии с (1.10). Тогда существует δ0=
= δ
(α, β, γ, τ, n), такое, что любая система (1.1),удовлетворяющая
0
неравенству
|f − ω −y| + |g| <δ
для некоторого δ, 0 <δ<δ
1+α
при |Im xk| <δβ, |yk| <δ
, так же, как и (1.3), может быть переведена
0
*
(1.12)
с помощью преобразования координат вида (1.4) из G всистему
˙
ξ = φ(ξ,η),
˙η = ψ(ξ,η),
где
φ = ω + η + O(η
2
); ψ = O(η2). (1.13)
Более того, u, v в (1.4) линейны по η и удовлетворяют условиям
|u −ξ| + |v| <δ при |Im ξ
k
| <
1
β
δ
, |ηk| <
2
δ
. (1.14)
2
Следствием (1.13) является то, что
ξ = ωt + ξ(0),η=0
— частное семейство решений, которое с помощью преобразования (1.4)
приводит к искомому семейству квазипериодических решений (1.1)
x = u(ωt + ξ(0), 0),y= v(ωt + ξ(0), 0).
В сущности, (1.13) содержит больше информации о производных φ, ψ при
η =0, что следует из доказательства.
Мы отложим доказательство этой упрощенной версии нашей теоремы
до § 3 и покажем сейчас, что из теоремы 5.1 следует утверждение теоремы 2.9. Для этого мы начнем с невозмущенной системы ˙x = F (y), ˙y =0,
удовлетворяющей (1.7). Она определена в области X × Y ,гдеY —комплексная окрестность открытой области D в R
под действием F(y) также является открытым. Так как множество ω ∈ R
n
. Следовательно, образ D
n
удовлетворяющих (1.9) при некотором γ>0 и любом фиксированном значении τ>0,плотновR
*
Все оценки относятся к комплексным окрестностям.
n
, мы можем найти γ и0y ⊂ D,такие,чтоω = F(0y)
,
98 ГЛАВА V
удовлетворяет (1.10). В последующем такой выбор ω будет фиксирован раз
и навсегда.
Так как F
(0y)=Q — невырожденная матрица, то мы можем ввести z
y
при помощи соотношения
0
y =
y + Q−1z. (1.15)
В результате получим невозмущенную систему дифференциальных уравнений
0
˙x = F (
y + Q−1z)=ω + z + G(z),
˙z =0,
где G(z) обращается в нуль квадратично при z =0. Таким образом, огра-
ничивая z областью
|z| <δ
при достаточно малом значении δ>0, мы можем добиться того, чтобы все
y в (1.15) при |z| <δпринадлежали Y ,атакже
1
2
|G| < const · δ
1+α
δ
<
2
при |z| <δ,
так как α<1. Наконец, выбирая параметр μ в теореме 2.9 достаточно
малым, мы можем получить, что система в этой теореме удовлетворяет
условию малости (1.12),еслисноваy записать вместо z.
В доказательстве теоремы 5.1 будет показано, что u, v зависят аналитически от любых параметров, от которых f , g зависят аналитически. Таким
образом, функции u(ξ,0), v(ξ,0) и квазипериодические решения, определя-
емые ими и˙ξ = ω, также зависят аналитически от параметра μ,чтовлечет
утверждение теоремы 2.9.
d) Линеаризованные дифференциальные уравнения
Чтобы интерпретировать дополнительную информацию, содержащуюся в (1.13), введем понятие линеаризованных дифференциальных уравнений на инвариантном многообразии. Для простоты предположим, что тор
y =0— инвариантное многообразие (1.1),тоестьчто
g(x, 0) = 0.
Поставим в соответствие этому многообразию линейную систему дифференциальных уравнений
·
(δx)
= fxδx + fyδy,
·
(δy)
= gxδx + gyδy,
1. ПЕРЕФОРМУЛИРОВКА ТЕОРЕМЫ 2.9 99
в которой аргументы коэффициентов задаются любым решением (x(t), 0)
системы (1.1) на y =0. Таким образом, мы можем сказать, что линеаризо-
ванное дифференциальное уравнение для˙ξ = φ, ˙η = ψ на инвариантном
многообразии η =0задается следующим образом:
·
(δξ)
= δη,
·
=0.
(δη)
Фактически, ключевым моментом в методе приближения будет являться
именно то, что линеаризованные уравнения преобразованных уравнений
могут осмотрительно контролироваться.
Выпишем уравнения преобразования для (1.4),чтобыперевести(1.1)
в новую систему. Если u
, uηобозначают матрицы первых производных u,
ξ
то эти уравнения принимают вид
u
φ + uηψ = f(u, v),
ξ
φ + vηψ = g(u, v).
v
ξ
(1.16)
Так как по предположению f − ω −y, g малы, то мы имеем
f = ω + y +ˆf, g =ˆg,
гдеˆf, ˆg обозначают малые функции. Чтобы вывести уравнение для u(ξ, η),
v(ξ, η), вспомним, что эти функции предполагаются линейными по η,ипо-
ложим
u = ξ +
v = η +
0u,0
v — n-векторы, зависящие периодически только от ξ,тогдакак1u,1v —
где
0
u +1uη,
0
v +1vη,
(1.17)
матрицы размера n × n. Подставляя (1.17) в (1.16) и принимая η =0,мы
получим с учетом (1.13)
0
u −0v =ˆf(ξ +0u,0v),
∂
0
v =ˆg(ξ +0u,0v)
∂
(1.18)
и для членов, линейных по η,находим
⎧
1
⎨
∂
u −1v = −0uξ+ˆf
⎩
1
∂
u = −0vξ+ˆg
1
u +ˆfy(I +1v),
x
1
u +ˆgy(I +1v),
x
(1.19)
100 ГЛАВА V
где
Аргументы производных функцийˆf, ˆg в (1.19) —это,очевидно,x = ξ +
0
y =
v.
∂ =
n
k=1
∂
ω
. (1.20)
k
∂ξ
k
0
u,
Далее для доказательства теоремы 5.1 требуется получить решение
этих нелинейных уравнений в частных производных в условиях периодичности и симметрии.
2. Построение корня функции
a) Основные трудности, возникающие при решении (1.18), (1.19)
Запишем нелинейные уравнения (1.18), (1.19) всимволическомвиде
F (w)=0, (2.1)
где
и
F (w)=Lw +ˆF (w)
близко к Lw,гдеL — линейный оператор, в частности, L0=0.Стан-
дартный подход к решению таких уравнений состоит в том, чтобы записать (2.1) ввиде
w = −L
w =
u
v
−1
ˆ
F (w)(2.2)
и применить принцип сжимающих отображений или итерационный метод.
В данном случае это не удастся сделать, так как L
−1
— неограниченный
оператор. Не выписывая L в явном виде, отметим, что обратное к L отображение дает решение уравнения
∂v(ξ)=g(ξ), (2.3)
где g(−ξ)=−g(ξ) и v(−ξ)=v(ξ) — функции на торе, ∂ определено формулой (1.20).Разлагаяg в ряд Фурье
i(j,ξ)
g(ξ)=
gje
j
,
2. ПОСТРОЕНИЕ КОРНЯ ФУНКЦИИ 101
мы учитываем нечетность g−j= −gjи, в частности, g0=0. Таким образом, мы получаем решение
g
j
v =
j=0
i(j, ω)
i(j,ξ)
e
=Λg, (2.4)
где Λg определяется этой суммой. При подходящих условиях мы можем
проверить сходимость данного ряда. В частности, для сходимости требуется условие вида (1.10), и теперь ясно, что ω
,...,ωnдолжны оставаться
1,ω2
рационально независимыми.
Таким образом, если мы хотим решать (2.2) с помощью итерационно-
го процесса, то нужно учитывать, что эффект неограниченности L
−1
суммируется, и в результате сходимость процесса находится под сомнением.
Чтобы преодолеть эту трудность, поставим цель разработать такой метод,
в котором ошибка ε
величины ε
n−1
после n шагов пропорциональна степени ε
n
. Влияние неограниченности L−1тогда может контролиро-
κ
n−1
(κ>1)
ваться, как мы увидим позднее.
Лучшем известным методом, имеющим квадратичную сходимость
(κ =2), является метод Ньютона, который можно представить в виде
w
= wn− F
n+1
где F
(wn) — производная Фреше F в w = wn. Этот подход, однако, так-
же неудачен, так как отображение F
существует ли обратное к F
−1
(wn)F (wn); w0=0,
(wn) отображение.
(wn) только близко к L инеясно,
Таким образом, мы приходим к необходимости поиска итерационного метода, который, подобно методу Ньютона, сходится с показателем κ,
большим 1, и для которого требуется только обратное к L отображение.
Априори не очевидно, возможно ли это вообще. Чтобы наглядно осветить
следующую идею, мы рассмотрим простую задачу нахождения корня функции.
b) Итерационная схема
Мы рассмотрим дважды непрерывно дифференцируемую вещественную функцию f (x) на интервале |x −x
Если далее
−1
r
|f(x0)| + r sup
достаточно мало, то f(x) будет иметь нуль на интервале |x − x
| <r. Мы полагаем, что f(x0) =0.
0
|f| <δ|f(x0)| (2.5)
|x|<r
| <r,
0
который мы будем строить с помощью быстро сходящейся итерационной
102 ГЛАВА V
схемы (в которой κ =
как в точке x = x
Мы можем взять x
3
), не используя обратное к fотображение, кроме
2
.
0
=0ипредположить,что
0
f(x)=x +ˆf(x)(2.6)
близко к x вблизи x =0. Условие малости (2.5) эквивалентно малости
ˆf
=sup
r
{r−1|ˆf(x)| + r|ˆf(x)|}, (2.7)
|x|<r
где норма слева определяется этим соотношением.
При последующем построении мы будем стремиться аппроксимировать не только корень, но и обратную функцию, для этого будем использовать последовательное преобразование координат. Если x = v(ξ) —приближение обратной функции f, то функция
φ(ξ)=f (v(ξ)) (2.8)
должна отличаться от ξ меньше, чем f(x) отличается от x. Записывая
v = ξ +ˆv, φ = ξ +ˆφ,
мы получаем
ˆ
φ =ˆf(v)+ˆv;
при этом наша цель — сделать так, чтобы функцияˆφ обращалась в нуль,
для этого требуется решить уравнениеˆf(v)+ˆv =0. Вместо этого заменим
ˆ
f(v) наˆf(ξ) и, более того, аппроксимируемˆf(ξ) линейной частью
ˆ
f
(ξ)=ˆf(0) +ˆf(0)ξ. (2.9)
1
Таким образом, мы задаем
ˆv(ξ)=−ˆf
(ξ)(2.10)
1
и получаем
ˆ
φ(ξ)=ˆf(ξ +ˆv) −ˆf
(ξ). (2.11)
1
В результате мы получим подходящее приближение, если норма ˆf
в (2.7) достаточно мала, что и составляет утверждение следующей леммы.
r
2. ПОСТРОЕНИЕ КОРНЯ ФУНКЦИИ 103
Лемма 5.1. Если ε = ˆfr<
то
ˆφ
c
ρ
2
При оптимальном выборе ρ = r
1
и ρ выбрано так, что
4
ρ
ε<
< 1 − 2ε,
r
ρ
ε
r
√
ˆφ
r
2
+ ε
, где c =12.
ρ
ε мы имеем оценку
3
2
cε
ρ
в много меньшем интервале |ξ| <ρ.
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. По определению (2.7) нормы
Д
ε
,
|ˆf| εr, |ˆf
|
r
ˆ
frмы имеем
тогда, используя разложение в ряд Тейлора, мы заключаем, что
|ˆf −ˆf
1
|
1
2
sup |ˆf
|r2
1
εr
2
и, следовательно, согласно (2.10)
3
εr < 2εr при |x| <r. (2.12)
|ˆv| = |ˆf
1
|
2
Таким образом, по предположению о ρ мы имеем при |ξ| <ρ
|ξ +ˆv(ξ)| <ρ+2εr < r,
поэтому x = ξ +ˆv(ξ) лежит в интервале |x| <r.
Чтобы оценить производные функции ˆv, мы воспользуемся тем, что
для любой функции g ∈ C
мы имеем
производная не превышает gr; фактически,
|g
| 2grпри |x| <r (2.13)
как простое следствие разложения в ряд Тейлора: если x = y лежат
в (−r, +r), то мы имеем
g
(x)=
g(y) − g(x)
y − x
1
−
g
(y − x),
2
104 ГЛАВА V
где gберется в некоторой промежуточной точке. Взяв y = x ± r,мы
получаем (2.13).Применяя(2.13) к g =ˆf и используя (2.10), мы имеем
|ˆv
| 2ε. (2.14)
Чтобы оценить ˆφ
, воспользуемся формулой (2.11),идля|ξ| <ρ
ρ
получим
|ˆφ(ξ)| |ˆf(ξ +ˆv) −ˆf
1
|ˆf|(ξ +ˆv)2+ |ˆf(0)ˆv|
sup
2
|x|<r
1
ε
(ρ +
r
2
(ξ +ˆv)| + |ˆf1(ξ +ˆv) −ˆf1(ξ)|
1
3
εr)
2
2
+2ε
3
εr.
2
Используя предположение εr < ρ,получим
2
ρ
|ˆφ|
7
ε
r
2
+3ε
2
r.
Чтобы оценить вторую производную φ, воспользуемся неравенством (2.14)
1
идля|ξ| <ρи ε<
получим
4
|ˆφ
| = |ˆf(v)|(1 + ˆv)2
ε
(1 + 2ε)
r
ε
5
2
.
r
2
Объединяя последние неравенства, найдем
|ˆφ
6ε
ρ
ρ
r
+ ε
r
2
,
ρ
что и доказывает лемму.
Повторяя эту процедуру, мы получаем искомый итерационный метод.
С этой целью мы берем заданную функцию f
ближение обратной v
= v = ξ +ˆv и далее определяем f1= f0(v0).Это
0
приводит к последовательности преобразований v
= f и построенное при-
0
,..., удовлетворяю-
0,v1
щих соотношению
= fk(vk).
f
k+1
Из
u
= v0◦ v1◦ ...◦ v
k
k−1
2. ПОСТРОЕНИЕ КОРНЯ ФУНКЦИИ 105
мы получаем
f(u
(ξ)) = fk(ξ).
k
Чтобы сделать приведенные оценки применимыми, определим
3
ε
= ε, εk= cε
0
2
при k =1, 2,...,
k−1
k−1
3
), если 0 <ε<c−2.
2
, rk, ε
, мы получаем
k−1
(0) и f
k
(0) −1
k
так что ε
Определим теперь последовательность r
быстро сходится к нулю (с показателем κ =
k
следующим образом:
k
1
= r, rk= r
r
0
k−1
ε
2
k−1
k =1, 2,....
Таким образом, заменяя r, ρ, ε в лемме 5.1 на r
соотношение
f
k
(x) −x
r
k
cε
3
2
k−1
= εk→ 0,
из которого, согласно (2.13), следует, что оба значения f
стремятся к нулю, чего нельзя сказать о второй производной, так как в нашей норме она умножается на величину r
Доказательство сходимости для u
, которая стремится к нулю.
k
сейчас не вызывает затруднений.
k
Мы используем оценки (2.12), (2.14)
−1
|ˆvk|, |ˆv
r
k
при ˆvk= vk− ξ.Таккакˆv
При k →∞это произведение сходится, так как
ся при ε<c
−2
. Таким образом, |uk| B для всех k 0,иизu
| < 2εkпри |ξ| <r
k
— постоянные, то же самое справедливо для
k
k−1
u
=
k
ν=0
(1 + ˆv
).
ν
k
∞
(1+ 2εk)=B сходит-
k=0
k+1
= uk◦v
мы приходим к следующему
k
|u
− uk| = |uk◦ vk− uk| B|ˆvk| < 2Bεkr
k+1
в |ξ| <rk. Таким образом, uk(0), u
(ξ), являясь линейными функциями, сходятся к линейной функции
но, u
k
(0) сходятся при k →∞и, следователь-
k
k
u(ξ) при всех значениях ξ.
106 ГЛАВА V
Так как
f(u(0)) = lim
(u(0))u(0) = lim
f
f(uk(0)) = lim
k→∞
f(uk(0))u
k→∞
fk(0) = 0,
k→∞
(0) = lim
k
k→∞
f
(0) = 1,
k
то мы имеем, что f (u(ξ)) имеет нуль при ξ =0и ее производная в этой
точке равна 1. Другими словами, u(0) = α — искомый корень функции
f(x),иu
(0) = f
−1
(α).
c) Явные рекурсивные формулы
Конечно, описанное решение нецелесообразно для нахождения корня,
поскольку эта операция включает в себя бесконечно много замен координат. Однако не сложно сделать эту схему явной и получить таким образом
вполне хороший метод. Для этого следует вспомнить, что u
(ξ),построен-
k
ные выше, являются линейными функциями, и мы положим
u
(ξ)=xk+ akξ.
k
Тогда (2.10), (2.11) приводят к рекурсивным формулам
x
= xk− akf(xk)
k+1
= ak+ ak(1 −f(xk)ak)
a
k+1
=0, a0=1. Как можно видеть, производные f(xk) действительно
где x
0
не входят в знаменатель. Фактически, a
ние для f
−1
(xk), причем достаточно хорошее, чтобы дать быструю схо-
k =0, 1,..., (2.15)
представляет собой приближе-
k
димость. На самом деле, показатель сходимости этого метода может быть
улучшен до значения
√
1
(1 +
κ =
2
5) = 1.64 ...,
которое является тем же самым, что и скорость метода «ложного положения» [98]. Это будет показано в приложении, где также описан способ
улучшения метода (2.15), разработанный О. Х. Хэлдом, с помощью заме-
(xk) во втором уравнении на f(x
ны f
). Это, фактически, приводит
k+1
к показателю сходимости κ =2, что вполне приемлемо для численных
вычислений.
В случае, если f (x)=x − Ax — линейная функция, корень триви-
альный, то есть равен нулю, тем не менее формулы (2.15) могут быть использованы для определения обратного к f
аппроксимируют a
.Таккакxk=0, вторая строка в (2.15)
k
a
= ak(2 −(I − A)ak),a0=1
k+1
=1−A отображения, которое
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]