Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Устойчивые и хаотические движения в динамических системах. В приложении к небесной механике
.pdf
4. ТЕОРЕМА О ЗАКРУЧИВАНИИ 47
мам параграфа 2. Однако эти результаты формальны и приводят, в общем,
к расходящимся рядам. Здесь мы напомним результат об устойчивости для
таких неподвижных точек, который не удавалось получить на основе теории степенных рядов.
Неподвижная точка может быть устойчивой только в эллиптическом
случае, когда собственные значения λ,¯λ лежат на единичной окружности,
если мы исключаем параболический случай. После линейного преобразования можно положить, что неподвижная точка находится в начале координат
и отображение имеет вид
z → z
= f(z, ¯z)=λz + g(z, ¯z), (4.7)
1
где z = x + iy, ¯z = x − iy — комплексные переменные и g обращается
в нуль с ее первыми производными в z =0. Нормальная форма Биркгофа
для данного случая может быть описана следующей теоремой.
Теорема 2.12. Если (4.7) — сохраняющее площадь отображение из
l
(l 4) и для некоторого целого q из интервала
C
4 q l +1
мы имеем
k
λ
=1 при k =1, 2,...,q,
то существует вещественно аналитическое каноническое преобразование
(x, y) → (ξ, η), отображающее (4.6) в
ζ → ζ
1
= λζe
ia(ζ¯ζ)
+ h(ζ,¯ζ), (4.8)
где ζ = ξ + iη,
q
a(ζ¯ζ)=α
|ζ|2+ ...+ αs|ζ|2s,s=
1
— вещественный полином по |ζ|
2
,иh обращается в нуль вместе с его
− 1(4.9)
2
производными вплоть до порядка q − 1 при ζ =¯ζ =0.
Формула (4.8) показывает, что вблизи эллиптической неподвижной
точки наше отображение может быть приближено следующим выражением
= λζe
ia(ζ¯ζ)
,
ζ
1
которое, фактически, является закручивающим отображением с a(ζ¯ζ) в роли α(r) в (4.4). Следовательно, если a(ζ¯ζ) не равно тождественно нулю,
то мы имеем α
(r) =0, в этом случае применима теорема 2.11, которая
приводит к следующему результату.
48 ГЛАВА II
Теорема 2.13. Если для сохраняющего площадь отображения вида (4.8) полином a(|ζ|
2
) в (4.9) не обращается в нуль тождественно, то
ζ =0— устойчивая неподвижная точка.
Доказательство получено с помощью применения теоремы 2.11 к кольцу ε<|ζ| < 2ε,гдеε — малое положительное число. В результате мы получим инвариантную кривую, окружающую начало координат, ее внутренняя
часть — инвариантное множество, содержащее начало координат. Этот способ нахождения открытого инвариантного множества в любой окрестности
ζ =0гарантирует устойчивость.
Значение полученного результата состоит в том, что критерий устойчивости выражается в терминах конечного числа неравенств. В частности,
нужно исключить только конечное число корней из единицы, чтобы обеспечить устойчивость. Типичный случай имеет место, когда в теореме 2.12
берется q =4,s=1и α
=0,тогдаλ не должно принимать шести значе-
1
ний корней из единицы порядка 1, 2, 3, 4.
Если приведенные условия нарушаются, то можно построить контрпримеры. Особенно интересен недавний результат, полученный Аносовым
и Катком [69]. Они построили примеры сохраняющих площадь отображений класса C
l
,гдеl произвольно, переводящих диск |z| < 1 всебяиимеющих в точке z =0эллиптическую неподвижную точку, но которые являются эргодическими в |z| < 1. Таким образом, эти отображения не имеют
никакого открытого инвариантного множества за исключением |z| < 1,и,
следовательно, z =0, откуда естественно следует, что не является устой-
чивой неподвижной точкой. В их примерах, однако, полином (4.9) тожде-
ственно обращается в нуль, что показывает необходимость соответствующего условия. В то же время ясно, что малое возмущение будет разрушать
эргодичность такого отображения, в этом смысле примеры являются особыми.
d) Приложения к плоской ограниченной задаче трех тел
Теорема 2.12 имеет много приложений, в частности, для исследования
устойчивости периодических решений гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Это ясно, если вспомнить (см. пункт а)), что гамильтонову
потоку вблизи периодической орбиты можно поставить в соответствие сохраняющее площадь отображение. Проверка конечного числа условий для
этого отображения будет гарантировать устойчивость периодических орбит.
Таким способом можно вполне решить вопрос об устойчивости так
называемых периодических орбит первого рода ограниченной задачи трех
тел. Вопрос формулируется так: рассмотрим две материальные точки P
1,P2
с массами m1,m2 0, движущиеся по окружностям вокруг их общего цен-
4. ТЕОРЕМА О ЗАКРУЧИВАНИИ 49
тра масс. В плоскости движения этих так называемых планет рассмотрим
третью материальную точку P
с массой m3=0, которая, следовательно,
3
не влияет на планеты, и задача состоит в том, чтобы исследовать движение точки P
отношения масс μ =
с нулевой массой. Обычно исследуется только случай малого
3
m
2
m1+ m
.
2
Очевидно, что для μ =0задача сводится к задаче двух тел, так как
вторая материальная точка выпадает из рассмотрения, и мы исследуем круговые орбиты точки P
мейство, которое может быть параметризовано частотой ν
вокруг P1. Они образуют однопараметрическое се-
3
вращения P
3
вокруг P1.
Если ввести координатную систему, вращающуюся с частотой ν
, в которой P1,P2находятся в состоянии покоя, то круговая орбита
ки P
2
точки P
будет иметь частоту ν3− ν2ипериод(ν3− ν2)−12π.Периоди-
3
2
точ-
ческие решения первого рода являются решениями ограниченной задачи
трех тел при малых, но положительных значениях μ, которые при μ → 0
стремятся к описанным выше круговым орбитам. Хорошо известно [8], что
такие орбиты существуют при достаточно малых μ,еслиν
ν
2
2
= m
ν3− ν
= ±ν2и
3
при всех целых m.
Чтобы решить вопрос об устойчивости орбит, построим сохраняющее
площадь отображение φ = φ(μ) для данного потока и проверим соблюдение
условий теоремы 2.12. Так как все рассматриваемые величины λ, α
,...,α
1
непрерывно зависят от μ, достаточно проверить эти условия для случая
μ =0, когда все величины можно вычислить. Оказывается, что при μ =
=0условия теоремы 2.12 имеют место для q =4,l = ∞ при соблюдении
условия
ν
2
ν3− ν
m
=
2
при n =1, 2, 3, 4(4.10)
n
при всех целых m. При этом условии периодические орбиты первого рода
устойчивы, если μ достаточно мало.
В действительности, приведенные условия являются лишь достаточными, и оказывается, что приведенное условие при n =4может быть
отброшено. Однако для
ν
2
ν3− ν
1
=
3
2
можно проверить, что имеет место неустойчивость при малых μ>0.
3
s
50 ГЛАВА II
Полученные условия устойчивости (4.10) для n =1, 2, 3 отражают аст-
рономическое явление — так называемые люки астероидов Кирквуда, которое наиболее отчетливо проявляется тогда, когда данные условия устойчивости нарушаются (см. [8], [70]).
Теорема 2.11 может также использоваться для того, чтобы установить
конечное множество неравенств, обеспечивающих устойчивость положения
равновесия для гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. В теореме 2.8 мы указали такие условия для систем с произвольным числом
степеней свободы, которые, однако, приводят только к более слабому типу
устойчивости. Но для двух степеней свободы можно сформулировать условия для полной устойчивости в смысле Ляпунова без особых орбит. Такие
условия могут применяться, чтобы обеспечить устойчивость треугольного
решения Лагранжа ограниченной задачи трех тел, в котором три материальные точки двигаются, образуя вращающийся равносторонний треугольник. Для случая более чем двух степеней свободы до сих пор нет ответа
на вопрос, можно ли найти конечное множество неравенств относительно конечного числа коэффициентов ряда Тейлора гамильтониана, которые
обеспечивали бы устойчивость положения равновесия, исключая случай,
когда ±H имеет локальный минимум. Если это невозможно, то следует
рассматривать теорему 2.8 как приемлемую замену.
Отметим, что теорема 2.11 позволяет нам показать, что для всех решений в примере Улама, упомянутого в главе I, скорость остается ограниченной в течение всего времени. Аналогично, для геометрической задачи, основанной на построении последовательных касательных к выпуклой
кривой, можно показать, что все орбиты ограничены, если кривая имеет по
крайней мере шесть непрерывных производных.
Существует много других приложений сформулированных теорем или
их обобщений к различным задачам механики и других областей физики [71–76]. Результаты этой главы обеспечивают существование квазипериодических решений с рационально независимыми частотами, причем их
существование может быть установлено несмотря на наличие малых знаменателей. Чтобы привести основную идею того, как преодолеть затруднения,
связанные с возникновением малых знаменателей, мы докажем теорему 2.9
вглавеV.
ГЛАВА III
Статистическое поведение
1. Сдвиг Бернулли. Примеры
a) В отличие от предыдущей главы, здесь мы будем исследовать орбиты, которые совершенно непредсказуемы в своем поведении в течение длительных промежутков времени. Мы начнем с хорошо известных и простых
примеров из эргодической теории или теории вероятностей, с так называемых сдвигов Бернулли, которые определяются на пространстве с мерой, далее обсудим соответствующее топологическое преобразование, сдвиг бесконечных в обе стороны последовательностей и в конечном счете вложим
его в задачу трех тел. Этот пример не является единичным случаем, данное
явление имеет место в целом для гамильтоновых систем дифференциальных уравнений, как мы увидим в конце этой главы. Однако обсуждение
с геометрической точки зрения особенно прозрачно и представляет интерес для задачи трех тел, которую мы рассмотрим в качестве иллюстрации.
Все подробности и вычисления представлены в главе VI.
Идея охарактеризовать орбиты последовательностью символов или целых чисел имеет длинную историю. Реализация этой идеи была уже представлена в работах Адамара [77], Биркгофа [4, 89], а также Морса и Хедлунда [78], они исследовали геодезические на некоторых поверхностях отрицательной кривизны. В совершенно другом контексте этот подход рассматривается в работе Картрайта и Литтлвуда, а также в работе Левинсона [79] о некоторых периодически возмущаемых уравнениях Ван дер Поля,
которые имеют место в электрических контурах. Они обнаружили ситуации, в которых можно установить на бесконечном количестве этапов, через
какие из двух «ворот» должно пройти решение, таким образом фактически
описывая эти решения бесконечной последовательностью нулей и единиц.
Не так давно эти явления были представлены в наглядном геометрическом
виде Смейлом [80]. Систематическое исследование таких явлений проводилось Алексеевым [34, 35], он нашел красивые приложения этих идей
к ограниченной задаче трех тел, дополнив тем самым предыдущую работу
52 ГЛАВА III
Ситникова [33], в которой исследовалась эта модель. В это же время Конли
[82–84] получил аналогичные результаты, описывающие, например, движения в ограниченной задаче трех тел, представляющие собой бесконечное
осциллирование между двумя планетами.
Далее мы проиллюстрируем идеи, применяя их к примеру Ситникова.
Вычисления и детали в цитируемой статье Алексеева чрезвычайно сложны для того, чтобы их приводить, и мы надеемся, что иллюстрации, представленные здесь, значительно упростят понимание результатов исследований. Основные идеи данного метода получили свое развитие на объединенном семинаре Конли и автора в университете Нью-Йорка в 1969–1970 гг.,
и наше изложение в значительной степени близко толкованию темы Конли.
В частности, удачная методика, предложенная Макгихи, будет иметь решающее значение для упрощения геометрических построений и вычислений.
b) Пусть A обозначает конечное или счетное множество, которое мы
будем называть алфавитом. Бесконечная в обе стороны последовательность
элементов s
s =(...,s
∈ A образует элементы пространства S. Мы введем тополо-
k
−2,s−1,s0
; s1,s2,...)
гию на S, взяв в качестве базиса окрестностей
множества
∗
s
=(...,s
U
= {s ∈ S|sk= s
j
∗
−1
,s
∗
0
∗
∗
; s
,s
,...)
1
2
∗
(|k| <j)},
k
где j =1, 2,.... Это превращает S в топологическое пространство. Гомео-
морфизм сдвига σ определяется на S так:
(σ(s))
= s
k−1
.
k
Это отображение будет играть основную роль в дальнейшем.
Этот же тип отображений часто рассматривается с точки зрения теории
меры. С этой целью мы преобразуем S в пространство с мерой: приписывая
каждому элементу a ∈ A положительное число p
что
вкачествеегомерытак,
a
pa=1,
a∈A
мы определим произведение мер стандартным образом, определяя меру
множеств
E
(a1,...,ar)={s ∈ S ; s
k1...k
r
= a1,...,s
k
1
k
r
= ar}
1. СДВИГ БЕРНУЛЛИ.ПРИМЕРЫ 53
как p
p
...p
a
a
1
2
и продолжим ее на борелеву алгебру Σ, порожденную эти-
a
r
ми множествами. Тогда набор {S, Σ,m},гдемераm определяется описан-
ным образом, образует пространство с мерой, при этом сдвиг, который мы
обозначим σ
ваемый сдвиг Бернулли. Хорошо известно, что σ
, очевидно, сохраняет меру. Отображение σm— это так назы-
m
является эргодическим —
m
то есть каждое борелевское множество, которое инвариантно относительно
отображения σ
В частном случае, когда A = {0, 1} и p
, имеет меру 0 или 1, — и даже является перемешивающим.
m
= p1=
0
1
,мыдадимдляσ
2
более геометрическую интерпретацию. Каждому s ∈ S поставим в соответствие два двоичных числа
m
x =
−∞
k=0
sk2
k−1
,y=
∞
k=1
sk2
−k
и получим отображение τ, переводящее S вквадрат
Q :0 x 1, 0 y 1.
Более того, τ переводит меру m в меру Лебега на Q,такчтоφ = τστ
−1
сохраняющее меру преобразование на Q. Это отображение легко определить как (x, y) → (x
),где
1,y1
x
=2x − [2x],y1=
1
1
(y +[2x]),
2
где [x] обозначает наибольшее целое x. Иногда это отображение называют «преобразованием пекаря», потому что оно имеет сходство с раска-
тыванием теста: две полоски V
1
отображаются посредством φ в U
= {0 x
= {0 y
1
1
} и V2= {
2
1
} и U2= {
2
1
x 1}
2
1
y 1}
2
соответственно. Таким образом, прямоугольники растягиваются в 2 раза
в горизонтальном направлении и сжимаются в
правлении (рис. 3). Прямоугольники V
жества (x, y) с s
в которых s
=0, 1 соответственно. Они отображаются в множества,
0
=0, 1 соответственно.
1
, V2могут быть описаны как мно-
1
1
раза в вертикальном на-
2
Так как преобразование пекаря φ изоморфно σ относительно τ,оно
также является эргодическим и даже перемешивающим.
Аналогично тому, как вышеприведенный пример основан на делении
квадрата Q на два прямоугольника V
, V2, можно, очевидно, построить по-
1
—
54 ГЛАВА III
Рис. 3
хожие примеры, разрезая область на конечное число, скажем N ,вертикальных прямоугольников, и связать отображение со сдвигом Бернулли с N
элементами.
Более интересное отображение внутренности Q задается формулами
1
1
−
=
x
1
x
x
,y
1
=y +
−1
1
x
,
которое сохраняет меру
dxdy
1
log 2
(1 + xy)
.
2
Данное отображение связано со сдвигом бесконечных в обе стороны последовательностей положительных целых чисел, то есть N = ∞. Действительно, если представить x, y в терминах непрерывных дробей, то есть
ввиде
x =
s0+
s−1+
1
1
s−2+ ...
; y =
1
s1+
1
1
s2+ ...
,
где s
— положительные целые числа, то точка образа x1, y1задается сме-
k
щенной последовательностью σ(s),где(σ(s))
= s
k
.Насамомделеэто
k−1
не сдвиг Бернулли, потому что преобразованная мера не является произведением мер. Тем не менее, справедливо утверждение, что это отображение
также является эргодическим и перемешивающим. И даже возможно вы-
2
числить энтропию этого отображения, она равна
π
6log2
[29].
Этот пример играет роль в исследовании геодезического потока на модулярной области, проведенном в интересной статье Артина [85] 1924 г.
c) Представленные примеры задаются разрывными отображениями,
и мы приведем в качестве третьего примера непрерывное отображение φ
2. СДВИГ КАК ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 55
тора на себя. Опишем тор, отождествляя точки x, y на плоскости, координаты которых отличаются на целые числа. Если A — матрица с целыми
коэффициентами, то отображение z → Az переводит эквивалентные точки
в эквивалентные, то есть отображение φ корректно определено на торе. При
det A = ±1 то же самое справедливо для обратного отображения, причем φ
сохраняет меру Лебега. Если собственные значения A не лежат на единичной окружности, то это отображение перемешивающее. Действительно,
И. Кацнельсон недавно показал, что это отображение φ даже изоморфно
сдвигу Бернулли.
Для эргодического отображения, непрерывного относительно топологии, в которой открытые множества имеют положительную меру, для почти
всех p орбиты {φ
множество периодических точек, то есть точек p, для которых φ
k
(p)} (k =0, ±1, ±2,...) плотны. Для сдвигов Бернулли
m
(p)=
= p при некотором m 1, также плотно. Последнее свойство легко про-
верить в случае с нашим примером. Множество точек с рациональными
координатами с фиксированным знаменателем, скажем q, в приведенном
выше примере отображается в себя. Так как на торе имеется только q
2
таких точек, то они должны быть периодическими. Таким образом, все точки
с рациональными координатами — периодические точки, и они, очевидно,
плотны. Аналогично, для сдвига Бернулли периодические точки соответствуют периодическим последовательностям; они, очевидно, плотны в S,
так как произвольную последовательность можно заменить повторяющимся достаточно большим блоком последовательности.
2. Сдвиг как топологическое отображение
a) Обычно сдвиг рассматривается с точки зрения теории меры, как
в вышеприведенных примерах. В последующем мы будем рассматривать
сдвиг только как топологическое отображение, так как до настоящего времени имеется лишь несколько примеров дифференциальных уравнений,
в которых можно связать орбиты со сдвигом на пространстве с мерой.
С другой стороны, сдвиг как топологическое отображение встречается достаточно часто для нелинейных дифференциальных уравнений, как мы увидим позднее.
b) Во-первых, следуя Смейлу [80, 81], мы свяжем сдвиг, рассматриваемый сейчас как топологическое отображение, с геометрическим отображением на квадрате Q аналогично тому, как мы делали в предыдущих примерах. Чтобы сделать это неформально, предположим, что мы имеем топологическое отображение φ замкнутого квадрата Q в плоскость, так что φ(Q)
56 ГЛАВА III
пересекает Q по двум компонентам, обозначаемым U1и U2(см. рис. 4),
с указанным соответствием границ. Прообразы U
символами V
= φ−1(Ua), a =1, 2. Они соответствуют вертикальным по-
a
, U2будем обозначать
1
лоскам, связывающим верхний и нижний края Q,причем
∪ V2= Q ∩ φ−1(Q).
V
1
Рис. 4
Очевидно, что итерации φkотображения φ не определены на всем Q,
и мы сначала построим инвариантное множество
+∞
на котором все итерации φ
I =
k
действительно определены. Конечно, остается
φ−k(Q), (2.1)
k=−∞
показать, что I не является пустым множеством. Откладывая подробные
доказательства этого и последующих утверждений до следующего параграфа, мы поставим в соответствие точке p ∈ I бесконечную в обе стороны
последовательность символов A = {1,2} по правилу
−k
φ
(p) ∈ V
(k =0, ±1, ±2,...)(2.2)
s
k
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]